Чем волновые уравнения отличаются от уравнений максвелла

Электромагнитная теория Максвелла. Волновое уравнение. Уравнение волны. Электрическая и магнитная компоненты электромагнитного излучения

Примерно к 1860 г. благодаря работам Неймана, Вебера, Гельмгольца и Феличи электродинамика считалась уже наукой окончательно систематизированной, с чётко определёнными границами. Основные исследования теперь уже, казалось, должны были идти по пути нахождения и вывода всех следствий из установленных принципов и их практического применения. Однако перспективу такой спокойной работы нарушил молодой шотландский физик Джемс Кларк Максвелл (1831—1879), указав на гораздо более широкую область применений электродинамики. С полным основанием Дюэм писал: «Никакая логическая необходимость не толкала Максвелла придумывать новую электродинамику; он руководствовался лишь некоторыми аналогиями и желанием завершить работу Фарадея в таком же духе, как труды Кулона и Пуассона были завершены электродинамикой Ампера, а также, возможно, интуитивным ощущением электромагнитной природы света». Быть может, основным побуждением, которое заставило Максвелла заняться работой, вовсе не требовавшейся наукой тех лет, было восхищение новыми идеями Фарадея, столь оригинальными, что учёные того времени не способны были воспринять их и усвоить. Поколению физиков-теоретиков, воспитанных на понятиях и математическом изяществе работ Лапласа, Пуассона и Ампера, мысли Фарадея казались слишком расплывчатыми, а физикам-экспериментаторам — слишком мудрёными и абстрактными. Фарадей, который по своему образованию не был математиком, начав свою карьеру разносчиком в книжной лавке, а затем, поступив в лабораторию Дэви на положение ассистента, чувствовал настоятельную необходимость в разработке некоего теоретического метода, столь же действенного, как и математические уравнения. В предисловии к своему знаменитому «Трактату»

Максвелл писал: «Приступив к изучению труда Фарадея, я установил, что его метод понимания явлений был также математическим, хотя и не представленным в форме обычных математических символов, Я также нашёл, что этот метод можно выразить в обычной математической форме и, таким образом, сравнить с методами профессиональных математиков. Так, например, Фарадей видел силовые линии, пронизывающие всё пространство, там, где математики видели центры сил, притягивающих на расстоянии; Фарадей видел среду там, где они не видели ничего, кроме расстояния; Фарадей предполагал источник и причину явлений в реальных действиях, протекающих в среде, они же были удовлетворены тем, что нашли их в силе действия на расстоянии, приписанной электрическим флюидам. Когда я переводил то, что я считал идеями Фарадея, в математическую форму, я нашел, что в большинстве случаев результаты обоих методов совпадали, так что ими объяснялись одни и те же явления и выводились одни и те же законы действия, но что методы Фарадея походили на те, при которых мы начинаем с целого и приходим к частному путём анализа, в то время как обычные математические методы основаны на принципе движения от частностей и построения целого путем синтеза. Я также нашел, что многие из открытых математиками плодотворных методов исследования могли быть значительно лучше выражены с помощью идей, вытекающих из работ Фарадея, чем в их оригинальной форме». Что же касается математического метода Фарадея, Максвелл в другом месте замечает, что математики, которые считали метод Фарадея лишённым научной точности, сами не придумали ничего лучшего, как использование гипотез о взаимодействии вещей, не обладающих физической реальностью, как, например, элементов тока, «которые возникают из ничего, проходят участок провода и затем снова превращаются в ничто». Чтобы придать идеям Фарадея математическую форму, Максвелл начал с того, что создал электродинамику диэлектриков. Теория Максвелла непосредственно связана с теорией Моссотти. В то время как Фарадей в своей теории диэлектрической поляризации намеренно оставил открытым вопрос о природе электричества, Моссотти, сторонник идей Франклина, представляет себе электричество как единый флюид, который он называет эфиром и который, по его мнению, присутствует с определенной степенью плотности во всех молекулах. Когда молекула находится под действием силы индукции, эфир концентрируется на одном конце молекулы и разрежается на другом; из-за этого возникает положительная сила на первом конце и равная ей отрицательная — на втором. Максвелл целиком принимает эту концепцию. В своем «Трактате» он пишет: «Электрическая поляризация диэлектрика представляет собой состояние деформации, в которое тело приходит под действием электродвижущей силы и которое исчезает одновременно с прекращением этой силы. Мы можем представить себе ее как нечто такое, что можно назвать электрическим смещением, производимым электродвижущей силой. Когда электродвижущая сила действует в проводящей среде, она вызывает там ток, но если среда непроводящая или диэлектрическая, то ток не может проходить через эту среду. Электричество, однако, смещено в ней в направлении действия электродвижущей силы, и величина этого смещения зависит от величины электродвижущей силы. Если электродвижущая сила увеличивается или уменьшается, то в той же пропорции соответственно увеличивается или уменьшается и электрическое смещение. Величина смещения измеряется количеством электричества, пересекающего единицу поверхности при возрастании смещения от нуля до максимальной величины. Такова, следовательно, мера электрической поляризации». Если поляризованный диэлектрик состоит из совокупности рассеянных в изолирующей среде проводящих частиц, на которых электричество распределено определенным образом, то всякое изменение состояния поляризации должно сопровождаться изменением распределения электричества в каждой частице, т. е. настоящим электрическим током, правда ограниченным лишь объемом проводящей частицы. Иначе говоря, каждое изменение состояния поляризации сопровождается током смещения. В том же «Трактате» Максвелл говорит: «Изменения электрического смещения, очевидно, вызывают электрические токи. Но эти токи могут существовать лишь во время изменения смещения, а поскольку смещение не может превысить некоторой величины, не вызывая разрушительного разряда, то эти токи не могут продолжаться бесконечно в одном и том же направлении, подобно токам в проводниках». После того как Максвелл вводит понятие напряженности поля, представляющее собой математическое истолкование фарадеевского понятия поля сил, он записывает математическое соотношение для упомянутых понятий электрического смещения и тока смещения. Он приходит к выводу, что так называемый заряд проводника является поверхностным зарядом окружающего диэлектрика, что энергия накапливается в диэлектрике в виде состояния напряжения, что движение электричества подчиняется тем же условиям, что и движение несжимаемой жидкости. Сам Максвелл так резюмирует свою теорию: «Энергия электризации сосредоточена в диэлектрической среде, будь то твердое тело, жидкость или газ, плотная среда, или разреженная, или же совершенно лишенная весомой материи, лишь бы она была в состоянии передавать электрическое действие. Энергия заключена в каждой точке среды в виде состояния деформации, называемого электрической поляризацией, величина которой зависит от электродвижущей силы, действующей в этой точке. В диэлектрических жидкостях электрическая поляризация сопровождается натяжением в направлении линий индукции и равным ему давлением по всем направлениям, перпендикулярным линиям индукции; величина этого натяжения или давления на единицу поверхности численно равна энергии в единице объема в данной точке».

Трудно более ясно выразить основную идею такого подхода, являющуюся идеей Фарадея: местом, в котором совершаются электрические явления, является среда. Как бы желая подчеркнуть, что это и есть главное в его трактате, Максвелл заканчивает его следующими словами: «Если мы примем эту среду в качестве гипотезы, я считаю, что она должна занимать выдающееся место в наших исследованиях и что нам следовала бы попытаться сконструировать рациональное представление о всех деталях: ее действия, что и было моей постоянной целью в этом трактате». Обосновав теорию диэлектриков, Максвелл переносит её понятия с необходимыми поправками на магнетизм и создаёт теорию электромагнитной индукции. Всё своё теоретическое построение он резюмирует в нескольких, ставших теперь уже знаменитыми уравнениях. Эти уравнения сильно отличаются от обычных уравнений механики — они определяют структуру электромагнитного поля. В то время как законы механики применимы к областям пространства, в которых присутствует материя, уравнения Максвелла применимы для всего пространства независимо от того, присутствуют или не присутствуют там тела или электрические заряды. Они определяют изменения поля, тогда как законы механики определяют изменения материальных частиц. Кроме того, ньютоновская механика отказалась от непрерывности действия в пространстве и времени, тогда как уравнения Максвелла устанавливают непрерывность явлений. Они связывают события, смежные в пространстве и во времени. Такое понимание поля абсолютно согласуется с идеей Фарадея, но находится в непреодолимом противоречии с двухвековой традицией. Поэтому нет ничего удивительного в том, что оно встретило сопротивление. Возражения, которые выдвигались против теории электричества Максвелла, были многочисленны и относились как к фундаментальным понятиям, положенным в основу теории, так и, может быть в еще большей степени, к той слишком свободной манере, которой Максвелл пользуется при выводе следствий из неё. Уравнения, сформированные Дж. Максвеллом на основе накопленных в середине XIX в. экспериментальных результатов, сыграли ключевую роль в развитии представлений теоретической физики и оказали сильное, можно даже сказать решающее влияние не только на все области физики, непосредственно связанные с электромагнетизмом, но и на многие возникшие впоследствии фундаментальные теории. Уравнения Дж. Максвелла описывают любые электромагнитные поля. Но этим их значение не исчерпывается. Они были одной из отправных точек при создании общей теории относительности Альберта Эйнштейна. Эйнштейн писал: «Со времени обоснования теоретической физики Ньютоном наибольшее изменение в её теоретических основах, другими словами, в нашем представлении о структуре реальности, было достигнуто благодаря исследованиям электромагнитных явлений Фарадеем и Максвеллом». Уравнения Максвелла вошли и в квантовую механику, положив начало квантовой электродинамике. До сих пор нет ни одного факта, ставящего под сомнение уравнения Максвелла. Причём, не только в мире привычных для нас размеров и скоростей, но и в квантовой механике, теории относительности, связывая наши представления о мире. Теория Максвелла была разработана методом последовательного теоретического и математического обобщения основных экспериментальных законов электрических и магнитных явлений: закона Кулона в обобщённой форме на основании теоремы Гаусса, закона полного тока и закона электромагнитной индукции. Данная теория, феноменологическая по своей природе, выявила единство и тесную взаимосвязь электрических и магнитных полей, не связывая при этом характер и специфику их взаимодействия с внутренними механизмами взаимодействия поля и вещества. В отличие от господствовавших на то время ошибочных взглядов основывавшихся на концепции дальнодействия и допускающих мгновенное распространение в пространстве взаимодействий между заряженными частицами и не учитывавших роль промежуточной среды – поля, теория Дж. Максвелла напротив, показала, что электромагнитные взаимодействия могут передаваться от одной точки пространства к другой посредством материального агента — электромагнитного поля с конечной скоростью, равной скорости света. В 1865 г. Дж. Максвелл теоретически показал, что электромагнитное поле в виде электромагнитных волн может распространяться в пространстве с конечной скоростью, равной скорости света в вакууме . В общем случае под электромагнитным полем понимают форму материи, через которую осуществляется взаимодействие между электрически заряженными частицами. Понятие поля (электрического и магнитного) было введено в 1830 г. М. Фарадеем. Концепция поля стала возрождением теории близкодействия, основателем которой был Р. Декарт. В 60-х г.г. XIX в. развивая идеи М. Фарадея относительно природы электромагнитного поля, Дж. Максвелл раскрыл его природу и сформулировал основные законы. Согласно данных представлений заряженные частицы или токи образуют во всех точках окружающего пространства поле, действующее на другие заряженные частицы или токи, помещённые в произвольную точку этого пространства. Электромагнитное поле в вакууме характеризуется векторами напряжённости электрического поля и индукции магнитного поля . Этими векторами определяются силы, действующие со стороны электромагнитного поля на подвижные и неподвижные электрически заряженные частицы. В среде электромагнитное поле характеризуется двумя дополнительными параметрами: вектором смещения (индукции) электрического поля и вектором напряжённости магнитного поля . В теории Максвелла раскрывается электромагнитная природа света и таким образом собственно электрические и магнитные явления рассматриваются в совокупности и сведены воедино. Единство электрических и магнитных полей, наличие тесной взаимосвязи между ними позволили по-новому взглянуть на природу электромагнитных явлений и обобщить накопленные экспериментальные данные. Ещё М. Фарадей экспериментально выявил, что изменение во времени магнитного поля приводит к возникновению вихревого электрического поля (явление электромагнитной индукции). Из курса электродинамики известно, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо переменные во времени магнитные поля. В первом случае поле электрических зарядов описывается обобщённым на основании теоремы Гаусса законом Кулона, который можно представить дифференциальным уравнением вида:

оно может быть преобразовано далее к виду:

Последнее выражение представляет собой обобщённый закон Кулона, описывающий распределение зарядов в элементарном объёме вещества. Описываемое таким образом поле является потенциальным, циркуляция вектора напряжённости по произвольному замкнутому контуру равна нулю:

Силовые линии такого поля являются незамкнутыми: они выходят из позитивных зарядов (источников поля) или идут из бесконечности и входят в негативные заряды (стоки поля) или уходят в бесконечность. По этой причине электростатическое поле не может обеспечить непрерывное движение электрических зарядов вдоль замкнутых проводников, т.е. обеспечить направленное движение зарядов по замкнутому контуру. Для того чтобы в таком проводящем замкнутом контуре возникал и поддерживался длительное время электрический ток, необходимо наличие сторонних сил (сил неэлектрической природы), тогда очевидно:

где — электродвижущая сила (ЭДС). Электрическое поле, которое возникает в контуре вследствие работы сторонних сил, существенно отличается от электростатического поля неподвижных зарядов. Линии напряжённости такого поля являются замкнутыми вдоль проводящего контура, по этой причине циркуляция такого вектора напряжённости будет принимать отличные от нуля значения, т.е.

Электрические поля, возбуждаемые переменным магнитным полем являются вихревыми (соленоидальными). Для таких полей циркуляция вектора напряжённости по произвольному замкнутому контуру отлична от нуля и равна скорости изменения магнитного потока, пронизывающего произвольную поверхность, опирающуюся на контур интегрирования. Такие вихревые поля обуславливают непрерывное движение электрических зарядов вдоль замкнутых проводников, помещённых в это поле, т.е. приводят к возникновению индукционного тока. В основе электродинамики переменных полей лежит закон электромагнитной индукции, открытый в 1831 г. М Фарадеем, суть которого состоит в возникновении тока в произвольном замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур. Ещё в 1820 г. Х. Эрстед открыл, что вокруг проводников с током возникает магнитное поле. В том же году А. Ампер установил, что на проводники с током действует пондемоторная сила – механическая сила, не являющаяся по своей природе механической. Результаты этих исследований стали основой допущения, что электрическое поле можно получить за счёт магнитного. В 1831 г. М. Фарадей заметил, что электрические эффекты возникают только при изменении магнитного поля, т.е. при наложении переменного магнитного поля. Так, если в одном проводнике изменять электрический ток, то в соседнем также будет возникать электрический ток. К аналогичному результату можно прийти, если возле замкнутого проводника перемещать магнит. При этом электрический ток в обоих случаях будет наводиться (индуцироваться) переменным магнитным полем. Такой ток называют индукционным, а явление возникновения индукционного тока в проводнике под действием переменного магнитного поля — явлением электромагнитной индукции. Таким образом, открытие М. Фарадея состояло в том, что индукционный ток в замкнутом контуре может возникнуть во время движения проводящего контура в поле магнита, во время движения магнита относительно замкнутого контура, а также во время изменения тока в катушке, создающей магнитное поле. Всё это сводится к одному общему правилу: «Индукционный ток в замкнутом проводящем контуре возникает каждый раз при изменении магнитного потока пронизывающего замкнутый контур». Для того чтобы электрические заряды (электроны в проводнике) пришли в направленное движение, на них должны действовать сторонние силы , возникающие там, где имеет место изменение магнитного поля. Это в свою очередь привело к открытию закона, устанавливающего взаимосвязь между электрическим и магнитным полями. В тех областях, где имеет место изменение магнитного поля, возникает вихревое электрическое поле. Именно такое электрическое поле, возникающее в переменных магнитных полях, приводит к упорядоченному движению электронов в проводящем контуре, определяя, таким образом, возникновение ЭДС индукции при всяком изменении магнитного потока. Рассмотрим причину возникновения индукционного тока при наложении переменного магнитного поля. Так, в проводнике — проводящем замкнутом контуре, имеются позитивные заряды – ионы кристаллической решётки и свободные электроны проводимости – отрицательно заряженные ионы. При движении проводника в магнитном поле со скоростью , вместе с ним будут перемещаться также и заряды. При этом перемещение зарядов будет определять так называемый конвекционный ток. За направление электрического тока принимается движение положительных зарядов. Поскольку позитивные заряды связаны с кристаллической решёткой проводника и перемещаться не могут, то движущиеся электроны проводимости будут передавать своё движение ионам кристаллической решётки. В постоянном магнитном поле на движущиеся заряды будет действовать сила Лоренца, искривляющая траектории движения зарядов. Последняя направлена противоположно движению этих зарядов и в переменном магнитном поле создавать в проводнике индукционный ток, заряжая один конец проводника позитивно, а другой – негативно. Здесь сила Лоренца будет играть роль сторонних сил, т.е. поскольку по определению:

Вследствие действия сторонних сил (силы Лоренца), проводник заряжается разноимённо, т.е. создаётся разность потенциалов, являющаяся причиной возникновения тока в замкнутом проводящем контуре. Эта разность потенциалов замыкает концы проводника, вследствие чего образовавшуюся систему можно считать замкнутым проводящим контуром. По определению, ЭДС определяется работой сторонних сил при перемещении единичного пробного заряда по замкнутому контуру. Если за замкнутый контур L взять контур произвольного проводника в переменном магнитном поле, тогда:

будем иметь соответственно:

здесь — электродвижущая сила (ЭДС). Для того чтобы установить формулу для вычисления ЭДС индукции, удобно воспользоваться законом сохранения энергии. Впервые такие расчёты были проведены Г. Гельмгольцем. Так, на основании закона Ампера, имеем соответственно:

тогда под действием силы Ампера для одномерного случая (вдоль одной из координатных осей), работа:

учитывая также выражение для элементарного потока магнитной индукции:

будем иметь соответственно:

Если сопротивление проводящего контура равно , то согласно закону сохранения энергии, работа источника тока за время будет слагаться из работы нагревания проводника и работы перемещения его в магнитном поле. Поскольку по определению для ЭДС справедливо уравнение вида:

или переходя к бесконечно малым, имеем:

учитывая также, что:

приходим к выражениям вида:

Полученное нами выше последнее уравнение представляет собой ту работу, которую выполняю сторонние силы (силы источника тока) за время . Для того чтобы вычислить работу идущую на нагревание проводника при прохождении через него тока силой , необходимо знать падение напряжения на данном участке проводника. Падение напряжения можно вычислить на основании уравнения вида:

откуда следует, что:

или переходя к бесконечно малым величинам, будем иметь:

На основании закона Ома для участка цепи:

будем иметь соответственно:

представляет собой аналитическое выражение закона Джоуля – Ленца. Данное уравнение определяет работу, затрачиваемую на нагрев проводника сечением при прохождении через него тока силой . Таким образом, в ходе проделанных выше выкладок, приходим к выражениям для работы:

тогда соответственно будем иметь:

или для полной цепи:

есть ЭДС индукции, которую можно определить как работу сторонних сил. Полученное таким образом уравнение представляет собой аналитическое выражение закона электромагнитной индукции: «ЭДС электромагнитной индукции в контуре, численно равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим замкнутым контуром».

Таким образом, в ходе проведения указанных выше преобразований, приходим соответственно к уравнениям вида:

тогда соответственно будем иметь:

Полученное тождество также является выражением закона электромагнитной индукции М. Фарадея в интегральной форме (обобщённая запись): «При всяком изменении во времени потока магнитной индукции в точках пространства, где есть такое изменение, возбуждается вихревое электрическое поле, циркуляция напряжённости которого по произвольному замкнутому контуру L, равняется скорости изменения потока магнитной индукции сквозь замкнутую поверхность S, опирающуюся на этот контур L». Интересно отметить, что в отличие от потенциального электрического поля, циркуляция вектора, напряжённости которого по замкнутому контуру L равно нулю, т.е.

В отличие от потенциальных электростатических полей, электрическое поле возбуждаемое переменным магнитным полем будет вихревым, т.е. циркуляция вектора напряжённости по замкнутому контуру L будет отлична от нуля:

Действительно, на основании приведенных выше выкладок, не сложно заметить, что:

Такое обобщение закона электромагнитной индукции было сделано впервые Дж. Максвеллом. Данное обобщение состояло в том, что он придал ему характер универсального закона, показав, что вихревое (соленоидальное) электрическое поле возникает везде, где имеет место переменное, изменяющееся во времени магнитное поле, независимо от того, имеется ли в этой области проводящий контур или его нет. Из закона электромагнитной индукции следует, что какова бы ни была причина изменения потока магнитной индукции, охватываемого замкнутым контуром, возникающая в контуре ЭДС индукции всегда будет определяться выражением:

здесь знак минус показывает, что увеличение потока магнитной индукции:

будет вызывать уменьшение ЭДС индукции, а, следовательно, уменьшение работы сторонних сил в контуре, т.е.

Это в свою очередь означает, что поле индукционного тока направлено навстречу потоку вектора магнитной индукции. Аналогично имеем:

т.е. уменьшение потока магнитной индукции будет вызывать увеличение ЭДС индукции, что в свою очередь приведёт к увеличению работы сторонних сил, что приведёт к совпадению направлений поля индукционного тока и потока вектора магнитной индукции. Аналитическое выражение закона электромагнитной индукции М. Фарадея является обобщением правила Ленца для нахождения направления индукционного тока:

Согласно данному правилу «индукционный ток в контуре имеет всегда такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшего этот индукционный ток» (правило Ленца). Полученное выше тождество вида:

на основании формулы Стокса:

Может быть далее преобразовано далее к виду:

Поскольку контур интегрирования L и поверхность S, опирающаяся на него выбираются произвольно, тогда от равенства интегралов можно перейти к равенству соответствующих подынтегральных выражений:

учитывая, что направление на нормаль также является произвольным, а также что вектор магнитной индукции является функцией координат и времени (завися от них), тогда будем иметь соответственно:

Полученное дифференциальное уравнение представляет собой закон электромагнитной индукции М. Фарадея, записанное в дифференциальной форме, обобщённый Дж. Максвеллом. Данное уравнение описывает закон возникновения вихревого электрического поля в определённой точке пространства, вследствие изменения индукции магнитного поля в этой точке и свидетельствует о том, что направление индукционного тока в замкнутом проводящем контуре зависит от характера изменения магнитного потока. Таким образом, в ходе проделанных выкладок было показано, что переменное магнитное поле порождает наведенное (индуцированное) электрическое поле. Если магнитное поле постоянно, то индуцированного электрического поля не возникает. Следовательно, индуцированное электрическое поле не связано с зарядами, как в случае электростатического поля; его силовые линии замкнуты, подобно силовым линиям магнитного поля. Это означает, что индуцированное электрическое поле, подобно магнитному, является вихревым. Если неподвижный проводник поместить в переменное магнитное поле, то в нём индуцируется ЭДС. При этом, как уже было показано выше, электроны приводятся в направленное движение электрическим полем и возникает индуцированный ток. В этом случае проводник является лишь индикатором индуцированного электрического поля. Поле приводит в движение свободные электроны в проводнике и тем самым обнаруживает себя. Теперь можно утверждать, что и без проводника это поле существует, обладая запасом энергии. Сущность явления электромагнитной индукции заключается не столько в появлении индуцированного тока, сколько в возникновении вихревого электрического поля. Это фундаментальное положение электродинамики установлено Максвеллом как обобщение закона электромагнитной индукции М. Фарадея. В отличие от электростатического поля, индуцированное электрическое поле является не потенциальным, так как работа, совершаемая в индуцированном электрическом поле при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому контуру, равна ЭДС индукции, а не нулю. Направление вектора напряжённости вихревого электрического поля устанавливается в соответствии с законом электромагнитной индукции и правилом Ленца. На основании предложенной электромагнитной теории, Дж. Максвелл обобщил представления относительно электромагнитной индукции. Он показал, что возникновение индукционного тока в замкнутом контуре – частный случай вихревого электрического поля, возникающего в переменном магнитном поле. Так, М. Фарадей представлял электромагнитную индукцию как возбуждение электрического тока в замкнутом контуре под действием переменного магнитного поля. Дж. Максвелл показал, что суть явления электромагнитной индукции сводится к возникновению вихревого электрического поля во всех точках пространства, где есть переменное магнитное поле и таким образом для проявления электромагнитной индукции наличие проводника не обязательно. Таким образом, вихревое электрическое поле возникает везде, где есть переменное магнитное поле, силовые линии такого поля являются замкнутыми, оно способно индуцировать электрические токи. Обобщённый Дж. Максвеллом закон электромагнитной индукции определяется выражением вида:

Данное выражение показывает, что везде, где есть переменное магнитное поле, будет возникать вихревое электрическое поле. Таким образом, электромагнитное поле может существовать свободно, независимо от источников его образующих. Как уже говорилось ранее, электромагнитное поле в вакууме характеризуется векторами напряжённости электрического поля и индукции магнитного поля . Этими векторами определяются силы, действующие со стороны электромагнитного поля на подвижные и неподвижные электрически заряженные частицы. В среде электромагнитное поле характеризуется двумя дополнительными параметрами: вектором смещения (индукции) электрического поля и вектором напряжённости магнитного поля . Соответствие между векторами напряжённости электрического поля и индукции магнитного поля , позволили предположить Дж. Максвеллу, что подобно уравнению, связывающему вектора и , должно существовать уравнение, связывающее соответствующие друг другу вектора и , тогда:

Действительно, с изменением во времени смещения (индукции) электрического поля возникает магнитодвижущая сила (МДС), что и предвидел Максвелл, т.е. имеем соответственно:

Вихревое магнитное поле создаётся также токами проводимости (закон полного тока):

тогда соответственно будем иметь:

Из полученного равенства следует, что в природе существуют два источника вихревого магнитного поля — токи проводимости и переменное электрическое поле, определяемые членами вида:

Поскольку переменное во времени электрическое поле создаёт вихревое магнитное поле также само, как и токи проводимости, тогда:

тогда на основании формулы Стокса:

можно представить к виду:

Поскольку интегрирование ведётся по произвольному контуру и поверхностям, тогда от равенства интегралов можно перейти к равенству соответствующих подынтегральных выражений:

Из полученного выражения, очевидно, что вихревое магнитное поле образуется током проводимости и током смещения , т.е.

поскольку по определению:

здесь первый член представляет собой чистый ток смещения, второй –поляризационный ток смещения. Поляризационный ток смешения связан со смещением под действием электрического поля связанных зарядов и имеет некоторую аналогию с током проводимости. Чистый ток смещения никаких аналогов не имеет (отсутствие смещения зарядов), общего с током имеет только то, что одинаковым образом происходит возбуждение магнитного поля. В ходе проделанных выкладок, приходим к системе уравнений (в интегральной и дифференциальной формах), которые вместе с так называемыми материальными уравнениями составляют полную замкнутую систему уравнений:

и в дифференциальной форме:

к материальным относят уравнения:

Первое уравнение Максвелла представляет собой аналитическое выражение закона электромагнитной индукции Фарадея. Обобщённый его физический смысл состоит в том, что всякое изменение во времени магнитного поля (переменное магнитное поле) возбуждает вихревое электрическое поле.

Второе уравнение Максвелла есть обобщённый закон Био-Саварра-Лапласа и является более общей формой закона полного тока, отражающего тот факт, что источниками вихревого магнитного поля могут быть токи проводимости и токи смещения (переменное электрическое поле).

Третье уравнение Максвелла указывает на отсутствие источников и стоков магнитного поля, подобных электрическому полю.

Четвёртое уравнение Максвелла является обобщением на основе теоремы Гаусса закона Кулона и физически указывает на существование в природе источников электрического поля в виде электрических зарядов, распределённых в пространстве с объёмной плотностью . Уравнения Максвелла вместе с материальными уравнениями составляют полную замкнутую систему уравнений, позволяющую решить любую задачу макроскопической электродинамики. Так, для стационарных полей оказывается справедливым равенство вида:

и система уравнений Максвелла распадается на две независимые системы: на систему уравнений электростатического поля:

и систему уравнений магнитостатического поля:

Таким образом, как это очевидно из приведенных выше рассуждений, статические электрические и магнитные поля не зависят друг от друга. При этом источниками электрических полей будут являться электрические заряды, а источниками магнитных полей – токи проводимости. Для вакуума, уравнения Максвелла для электрического и магнитного полей становятся симметричными. При этом материальные уравнения:

и собственно уравнения Максвелла:

в соответствии с указанными выше условиями для случая вакуума (), могут быть преобразованы и представлены к виду:

Аналогично используя материальные уравнения и соответствующие граничные, физически осмысленные условия для случая вакуума, преобразовываем второе уравнение Максвелла к виду:

,

может быть преобразовано к виду:

и аналогично, с учётом того, что:

может быть представлено далее к виду:

Таким образом, для случая вакуума, система уравнений Максвелла может быть представлена уравнениями вида:

очевидно, здесь источниками вихревого магнитного поля будут переменные электрические поля, а источниками вихревого электрического поля — переменные магнитные поля. Рассмотрим теперь электромагнитное поле в однородном изотропном диэлектрике (), в котором отсутствуют свободные электрические заряды (). При этом материальные уравнения и собственно уравнения Максвелла, которые при данных условиях:

могут быть в таком случае представлены к виду, определяющему взаимосвязь электрического и магнитного полей. Имеем соответственно:

Тогда в соответствии с указанными выше физически осмысленными условиями, первое уравнение Максвелла может быть записано в виде:

из второго уравнения Максвелла:

а также с учётом материальных уравнений:

будем иметь соответственно:

В соответствии с указанными выше условиями:

а также с учётом материальных уравнений:

два других уравнения Максвелла могут быть переписаны в виде:

и таким образом, для описания электромагнитного поля в диэлектрике приходим к системе дифференциальных уравнений вида:

Полученные уравнения показывают, что электромагнитные волны, распространяются в пространстве с конечной скоростью самостоятельно, не зависимо от источников электромагнитного поля. Действительно, из полученных выше уравнений следует, что любое изменение во времени электрического поля приводит к возникновению в пространстве вихревого магнитного поля и, в свою очередь, переменное магнитное поле приводит к возникновению вихревого электрического поля . Переменные электрическое и магнитное поля едины и взаимно обуславливают друг друга, образуя, таким образом, особую форму материи – электромагнитное поле, которое возникнув в определённых точках пространства, не заполняет его мгновенно, а распространяется в виде электромагнитных колебаний, с конечной скоростью, значения которой зависит от свойств среды, в которой распространяются электромагнитные колебания. Полученные выше уравнения можно свести к волновым дифференциальным уравнениям, решением которых являются уравнения волны. Для их получения, продифференцируем обе части уравнения:

по времени, и учтём независимость операций дифференцирования по времени и координатам, поскольку среда, в которой распространяются электромагнитные колебания, считается неподвижной, и таким образом будем иметь соответственно:

В векторном анализе широко используются так называемые векторные операции первого порядка и дифференциальные операции второго порядка:

Так как векторное произведение двух одинаковых векторов равно нулю (получается нуль-вектор). Это означает, что поле градиента есть поле без вихревое (потенциальное).

Так как смешанное произведение трёх векторов, два из которых одинаковы, дают нуль-вектор (равны нулю). Это означает, что поле вихря вектора – соленоидальное (трубчатое). В соленоидальном поле поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю, т.е. поток, сохраняет своё постоянное значение и таким образом не имеет ни источников, ни стоков.

Для реализации данной дифференциальной операции, поступают как в случае смешанного произведения векторов:

тогда соответственно будем иметь:

тогда на основании приведенных выше выкладок, в соответствии с основными дифференциальными операциями второго порядка будем иметь соответственно:

Учитывая, что , т.е. нет свободных зарядов, тогда соответственно:

и таким образом имеем:

Обобщая полученные результаты:

приходим к волновому уравнению вида:

принимая отношение при условии и :

будем иметь соответственно для электрической составляющей электромагнитного излучения:

Проделав аналогичные операции для другого уравнения, будем иметь:

Подставив полученное выражение в исходное уравнение, будем иметь:

тогда соответственно для вектора магнитной индукции будем иметь:

Учитывая, что и как следствие , поэтому:

принимая отношение при условии и :

будем иметь соответственно для магнитной составляющей электромагнитного излучения выражение вида:

Таким образом, в ходе проделанных выкладок, приходим к двум выражениям для электрической и магнитной составляющих электромагнитного излучения:

При выводе соответствующих волновых уравнений, мы формально ввели величину скорости:

преобразуя данное уравнение, нетрудно показать, что данное соотношение справедливо, отвечает концепции близкодействия и для вакуума при условии и , переходит в скорость света, т.е.

После подстановки значений данных постоянных в выражение для скорости , даёт:

и таким образом для случая вакуума, значение формальной скорости света совпадают , тогда полученные выше волновые уравнения для электрической и магнитной составляющих электромагнитной волны можно переписать в виде:

Интересно отметить, что при рассмотрении задачи на гармонический осциллятор, несложно получить уравнения волны:

распространяющейся в пространстве по закону синуса или косинуса, из которых после соответствующих преобразований можно легко получить волновое уравнение, описывающее распространение гармонических колебаний в пространстве:

или в общем виде:

При рассмотрении же электромагнитной теории Дж. Максвелла мы получили волновые уравнения, записанные через силовые характеристики электромагнитной волны и , аналогичные по физическому смыслу величине смещения. Очевидно, что уравнение плоской электромагнитной волны, распространяющейся в пространстве по закону синуса или косинуса по аналогии с механическими (упругими) волнами, можно будет также записать в виде:

или в экспоненциальной форме:

что хорошо видно из следующей схемы:

Рис. 1. Электромагнитная волна

Несоответствие нового содержания, появившегося в результате развития электромагнетизма, не только старой форме теории дальнодействия, но и механической теории эфира ощущал уже Фарадей, искавший для выражения этого содержания новую форму. Такую форму он усматривал в силовых линиях, которые следовало рассматривать не статически, а динамически. Развитию этой мысли посвящены его работы «Мысли о лучевых вибрациях» (1846) и «О физических линиях магнитной силы» (1851). Открытие Фарадеем в 1845 году связи между магнетизмом и светом явилось новым содержанием в учении о свете и вместе с тем еще раз указывало на строгую поперечность световых колебаний. Все это плохо укладывалось в старую форму механического эфира». Фарадей выдвигает идею силовых линий, в которых происходят поперечны

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Парадоксы перехода от уравнений Максвелла к волновому уравнению Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Рысин А.В., Рысин О.В., Бойкачев В.Н., Никифоров И.К.

В статье рассматриваются парадоксы перехода от классических уравнений Максвелла к волновому уравнению , которые, в конечном счете, привели к неправильному пониманию природы взаимодействия электромагнитных и гравитационных полей. А это в свою очередь не позволило понять механизм связи между электромагнитными и гравитационными силами. Предложен способ решения указанных ошибок и парадоксов, что позволило исправить создавшееся положение отдельного независимого существования электромагнитных функций от пространства и времени. Это, в свою очередь, позволило понять природу их единства.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Рысин А.В., Рысин О.В., Бойкачев В.Н., Никифоров И.К.

PARADOXES TRANSITION FROM THE EQUATION MAXWELL TO THE WAVE EQUATION

The article deals with the paradoxes of transition from the classical Maxwell equations to the wave equation, which, ultimately, led to an incorrect understanding of the nature of the interaction of electromagnetic and gravitational fields. And this in turn is not possible to understand the communication mechanism between the electromagnetic and gravitational forces. The way to solve these errors and paradoxes, which made it possible to correct the situation of a separate independent existence of electromagnetic functions of space and time. This, in turn, allowed to understand the nature of their unity.

Текст научной работы на тему «Парадоксы перехода от уравнений Максвелла к волновому уравнению»

PHYSICS AND MATHEMATICS

ПАРАДОКСЫ ПЕРЕХОДА ОТ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА К ВОЛНОВОМУ УРАВНЕНИЮ

Рысин А.В., Рысин О.В.,

АНО «НТИЦ «Техком» г.Москва, радиоинженеры

Бойкачев В.Н., АНО «НТИЦ «Техком» г.Москва, директор кандидат технических наук Никифоров И.К.

безработный, г. Чебоксары, кандидат технических наук, доцент

PARADOXES TRANSITION FROM THE EQUA TION MAXWELL TO THE WA VE EQUA TION

ANO "STRC" Technical Committee "Moscow, radio engineers

Boykachev V.N., ANO "STRC" Technical Committee "Moscow, director, candidate of technical sciences

Nikiforov I.K., unemployed, Cheboksary, candidate of technical sciences, associate professor

В статье рассматриваются парадоксы перехода от классических уравнений Максвелла к волновому уравнению, которые, в конечном счете, привели к неправильному пониманию природы взаимодействия электромагнитных и гравитационных полей. А это в свою очередь не позволило понять механизм связи между электромагнитными и гравитационными силами. Предложен способ решения указанных ошибок и парадоксов, что позволило исправить создавшееся положение отдельного независимого существования электромагнитных функций от пространства и времени. Это, в свою очередь, позволило понять природу их единства.

The article deals with the paradoxes of transition from the classical Maxwell equations to the wave equation, which, ultimately, led to an incorrect understanding of the nature of the interaction of electromagnetic and gravitational fields. And this in turn is not possible to understand the communication mechanism between the electromagnetic and gravitational forces. The way to solve these errors and paradoxes, which made it possible to correct the situation of a separate independent existence of electromagnetic functions of space and time. This, in turn, allowed to understand the nature of their unity.

Ключевые слова: волновое уравнение, дивергенция, ротор, уравнения Максвелла.

Keywords: wave equation, divergence, rotor, Maxwell's equations.

При нахождении решения в виде волнового уравнения электромагнитной волны использовались два математических метода. Первый — это метод применения некоторой математической операции к обеим частям линейного уравнения; второй -метод подстановки одного уравнения в другое для уменьшения количества неизвестных переменных. Метод решения системы линейных дифференциальных уравнений подстановкой путем сокращения количества неизвестных переменных не вызывает нарушения логики, так как здесь не вводится никаких новых математических операций. Но вот метод использования дополнительных математических (причем ранее не существовавших) операций вызывает сомнение. При этом возникли следующие проблемы, которые не учитывались математиками.

Первая проблема в том, что всякая математическая операция, примененная в математике, в физике эквивалентна воздействию реального объекта, который приводит к формированию нового объекта. В физике чудес не бывает, и если возникла

необходимость преобразования исходного вида, то оно обязательно связано с какими-либо изменениями. А иначе должен оставаться исходный, независимый вид. Иными словами, если существовало изначальное дифференциальное уравнение, то в физике — это реальный объект, и если применить к нему математическую операцию, то физически это будет означать воздействие на данный объект другого объекта, а не наличие того же самого неизмененного объекта, математически описанного в другой форме. Таким образом, в математике применение математической операции (а это всегда означает изменение, а иначе — это ничто) к обеим частям уравнения не влияет на результат, а в физике — это означает взаимодействие реальных объектов, которые образуют новый объект.

Из указанного логически вытекает вторая проблема. Если произошло преобразование первоначального объекта в результате взаимодействия двух объектов, то применима ли подстановка перемен-

ных из другого дифференциального уравнения, эк- не вызывала сомнений? Почему это является про-вивалентность которых до применения математи- блемой можно понять из следующего примера. ческой операции в виде воздействующего объекта Если в формуле энергии Эйнштейна

Е = с( Р2 + М02с2)0'5 = с(Ак Рк ) (1)

(здесь к изменяется от 0 до 3; Р0 = М0С ; квадратното корня в виде уравнений Р\ = Рх ; р = Ру; Р3 = Р2) вместо извлечения

(E -MqC2) — c(Px — iPy ) — cPz = 0 ; (E -MqC2) — c(Px + iPy ) + cPz = 0;

(E + MqC2) — c(Px — iPy ) — cPz = 0; (E + Mqc2) — c(Px + iPy ) + cP^ = 0.

и с получением матриц Дирака применить ма- Вот и при выводе волнового уравнения, само

тематическую операцию возведения обеих частей волновое уравнение для напряженности электриче-

равенства в квадрат, то в результате магнитный ского и магнитного поля получено на основе клас-

спин электрона мы никоим образом не получим. сических уравнений Максвелла. Однако подста-

Математически мы не нарушили равенства, новка одного уравнения Максвелла в другое произ-

так как с точки зрения математики, возведение в ведено лишь после того, как с одним из

квадрат равенства не влияет на результат, однако классических уравнений Максвелла была прове-

реальных физических свойств по магнитному дена математическая операция ротора и изменен

спину мы не получили. Физически эта математиче- порядок дифференцирования по переменным. Рас-

ская операция означает преобразование объекта, и смотрим более подробно ошибки, которые возни-

чтобы теперь использовать метод подстановки пе- кают при этом.

ременных надо быть уверенным, что мы имеем те Приведем известное математическое соответ-

же самые переменные, что и в начальных диффе- ствие классических уравнений Максвелла волно-

ренциальных уравнениях, а не получили новые. Это вым уравнениям. При этом учтем, что для вектора

сомнение основывается на преобразовании к°°рди- JJ верно известное соотношение: наты во время и, наоборот, при любых изменениях

в соответствии с СТО Эйнштейна.

rotrot H = grad div H — V2H. (3)

Так как div Й = 0, то уравнение (3) можно понять саму схему преобразований ортогональных

электрических и магнитных компонент. Поэтому

^ ^ операцию применения ротора будем рассматривать

rotrotЙ = -V2H . (4) последовательно на конкретном электромагнитном

Однако векторная запись уравнения не дает колебании. Вначале покажем, что дает применение

операции ротора к уравнению

£q dEx / dt = -dHy / dz + dHz / 8y. (5)

Операция ротора в этом случае по составляю- (8 / 8x -8 / 8y) мы получим ноль. Поэтому в ре-щей (8 / 8y — 8 / 8z) не производится, так как вме- зультате для классического уравнения Максвелла в сте с составляющими (8/ 8z -8/8x) и частных производных имеем:

sq 82Ex / dzdt — sq 82Ex / dxdt + sq 82Ex / dxdt — sq 82Ex / 8y8t =

= 82 Hz / 8y8z — 82 Hz / 8x8y + 82 Hz / dxdz + 82 Hz / 8x8y — (6)

— 82 Hy / dxdz + 82 Hy / 8z8y — (82 Hy / 8z2 + 82 Hz / 8y2).

Учит^1вая, что в обычной математике порядок из-за замкнутости магнитных силовых линий. Со-дифференцирования по переменным можно ме- кращая одинаковые противоположные члены,

нять, считается, что 8Hz / 8z = 0 и 8Hy / 8y = 0 имеем:

s0 82Ex /8z8t — s0 82Ex /8y8t = -(82Hy /8z2 + 82Hz /8y2). (7)

В уравнении (7) мы поменяли в левой части по- точки зрения нашей теории этого делать было рядок дифференцирования по переменным, хотя с нельзя в силу того, что всякое дифференцирование

— это изменение, и последующее дифференцирование имеет дело с новым объектом, а не с предыдущим. Практически, если бы перестановка переменных не влияла бы на результат, то это означало бы на самом деле возможность создания вечного двигателя в одной противоположности, так как таким путем можно было бы восстановить в одной и той же противоположности первоначальное положение без затрат. Необходимо отметить, что запись второго порядка дифференцирования типа

д2Иг / ду2 является корректной с точки зрения Эвклидовой математики, но не физики, так как по физике это означает, что есть двойное изменение делимого, в то время как делитель возводится в квадрат. А это говорит о неэквивалентности изменения переменных, что сразу нарушает закон равенства изменений, и при этом изменение одной величины не дает адекватного изменения другой величины. Кроме того, возведение в квадрат сразу

№одИх / а = дЕу / д^ — дЕ2 / ду.

исключает переход в противоположность, а это означает, что величина может скачком изменяться только в одной противоположности. Понятно, что здесь имеем элемент чуда в виде сингулярности и о необходимости противоположностей на основе корпускулярно-волнового дуализма надо забыть. Это возможно делать при рассмотрении процессов только на основе одной противоположности, например, волновых свойств. Кроме того, такая замена допустима, если переменная выражается через экспоненциальные функции. Понятно, что значение напряженности электрического поля Ех в формуле (7) никак не согласуется со значениями

которые действительно соответствуют

составляющим ротора для этих частных производных по формуле

При этом, если следовать правилу рассмотрения значения частных производных как векторов

Е и Н, получим, что надо считать

Еу = Ег = Ех. Однако,

из такой подстановки

следуют следующие парадоксы.

С точки зрения классических уравнений Максвелла при подстановке уравнения (8) в уравнение

(7), изменение Их по времени в уравнении равно изменению Ех по координатам г и у, а не Ел, и

Е2. Иными словами, исчезает ортогональность электрических и магнитных составляющих. Кроме того, получается, что электрическая составляющая в этом случае должна иметь три координаты, а это говорит о существовании дивергенции от замкнутых соленоидных полей, чего быть не может. Таким образом, бездумная векторная подстановка при рассмотрении в конкретных частных производных встречается с алогизмами. Если это не принимать во внимание, тогда после подстановки можно получить волновое уравнение вида

Вообще вопрос подстановки уравнений (8) в (7) с получением уравнения (9) парадоксален, и с точки зрения того, что значение нуля (которое следует из наличия ротора по вектору Е) соответствует числовому значению при изменении Н по времени, то есть идет подстановка вместо нуля числового значения. Но, кроме того, подставляемые объекты не только ортогональны, но и имеют иную физическую суть. Это тоже самое, что если бы вам вместо арбуза дали бы дыню с тем же весом.

Иными словами, формализм математики не учитывает физическую суть процесса.

Естественно, что и в этом случае для выполнения волнового уравнения надо иметь значения сразу трех составляющих напряженности магнитного поля по координатам, а значит, магнитное замкнутое (соленоидное) поле также должно иметь дивергенцию.

Отсюда следует вывод: невозможно получить волновое уравнение, ориентируясь на классические уравнения Максвелла, так как вместо компоненты

Нх, изменяемой по времени, должны быть изменяемые по времени компоненты Ну и И2 . В лю-

бом случае две составляющие, изменяемые по времени, классические уравнения Максвелла дать не могут.

Следовательно, чисто математический подход имеет следующие парадоксы:

• Операция ротора, примененная к классическому уравнению Максвелла, не имеет физического аналога в виде реального корпускулярно-волнового объекта.

• Замена переменных при дифференцировании также не подкреплена никакой физической необходимостью. Иными словами, с точки зрения математического подхода «хотим делаем так, а хотим, делаем иначе». Но в мироздании нельзя поменять действие сразу на противодействие, то есть всегда вначале имеется причина, а потом следствие. Поэтому вторичное воздействие происходит уже на видоизмененный корпускулярно-волновой объект, что связано со сменой параметров по принципу СТО и ОТО Эйнштейна.

• Подстановка одного уравнения в другое также не связана ни с какой физической операцией, то есть изменение самого вида объекта (над которым осуществляется воздействие) происходит «по щучьему велению, по моему хотению».

Таким образом, векторная запись классических уравнений Максвелла позволила скрыть все ошибки перехода, связанные с преобразованием уравнений Максвелла в волновые уравнения. Кроме того, так и остался нерешенным вопрос о правомерности подстановки обычного уравнения Максвелла в уравнение, преобразованного под действием математической операции ротора для уменьшения числа неизвестных переменных, так как в уравнении (9) все переменные ортогональны! Надо также отметить, что в уравнении (7) имеем три дифференциальных члена, что явно не соответствует симметрии при изменении в противоположностях, то есть ошибка по количеству переменных в обычном уравнении Максвелла соответствует такой же ошибке в волновом уравнении (7).

Есть также и иной способ вывода волнового уравнения плоской электромагнитной волны [1]. И

он основывается на том, что одна дифференциальная компонента по координате в классических уравнениях Максвелла считается равной нулю. В этом случае уравнение Максвелла вырождается в уравнение непрерывности, и тогда говорить о выводе из классических уравнений Максвелла волновых уравнений вообще не имеет смысла. Более того, уравнение плоской электромагнитной волны (как это будет показано в дальнейшем) не дает в дальнейшем возможности связать нейтрино и антинейтрино с электромагнитной волной, так как для образования плоской электромагнитной волны требуется два классических уравнения Максвелла. Иными словами, это навсегда ставит крест на проблеме связи всех элементарных частиц.

Рассмотрим, для наглядности, как Фейнман совершает эти ошибки. Фейнман начинает доказательство от классических уравнений Максвелла для пустого пространства:

div E = 0; rot E = -dB / dt; div B = 0; c2 rot B = dE / dt.

Рассматривая плоскую электромагнитную волну, он считает, что величина полей зависит только от х, так, что по у и по г поля не меняются. Далее он расписывает первое уравнение системы (10) покомпонентно:

dlv Е = дЕх / дх + дЕу / ду + дЕ2 / дz =(10 . 1)

Так как Фейнман предположил, что поля по у и по г не меняются, то, следовательно, последних два члена уравнения (11) равны нулю. Тогда согласно уравнению (11):

И далее следует вывод, что при распространении плоских волн электрическое поле должно располагаться поперёк направления своего распространения. Соответственно, у него ещё остаётся возможность каким-то сложным образом изменяться по координате х. Тогда поперечное поле Е можно разбить на две компоненты по y и по z . Здесь выбирается случай только с одной поперечной компонентой по у, то есть с нулевой z-компонентой. При этом оговаривается, что общее решение всегда можно представить в виде суперпозиции двух таких полей. Следующий шаг касается росписи в частных компонентах rot E :

(rot E)x =dEz /dy-dEy /dz = 0; (rot E)y =dEx /dz-dEz /dx = 0; (rot E)z =dEy /dx-dEx /dy = 0.

И вот тут уже получаем ошибку в последнем уравнении (13). Она связана с тем, что мы уже не имеем уравнение ротора как такового, характеризующего замкнутое электрическое поле, а имеем вектор с началом и концом, то есть имеем движение от

источника до поглотителя. Иными словами ротор не имеет возвратного направления движения при такой записи. Далее считается, что, в соответствии со вторым уравнением системы (10) имеем:

dBx / dt = 0; dBy / dt = 0; dBz / dt = -dEy / dx.

В последнем уравнении системы (14) фактиче- классическое уравнение Максвелла заменили урав-ски получается уравнение непрерывности, что со- нением непрерывности.

ответствует наличию зарядов. Иными словами Проведем аналогичный подход с теми же рас-

суждениями и к магнитной составляющей:

с2(rot E)x = e2(dBz /dy-dBy /dz) = dEx /dt = 0;

с2 (rot E)y = с2 (dBx / dz — dBz / dx) = dEy / dt; с2 (rot E)z = с2(dBy / dx — dBx / dy) = dEz / dt = 0.

с2 (-dBz / dx) = dEy / dt.

Здесь также классическое уравнение Макс- стороны уравнений совпадут с точностью до мно-велла подменено на уравнение непрерывности. Да- 2

лее продифференцируем последнее уравнение в си- жителя с . В итоге имеем уравнение: стеме (14) по х, а уравнение (16) по t, тогда левые

д2Еу /дх2 — (1/е2)д2Еу /дг2 = 0. (17)

Далее делается совсем уж парадоксальный вывод, что классические уравнения Максвелла дали информацию о том, что у электромагнитных волн есть только компоненты поля, расположенные под прямым углом к направлению распространения волн. Понятно, что данный вывод связан с превращением классического уравнения Максвелла в уравнение непрерывности, что мягко говоря, противоречит логике вывода самих уравнений Максвелла, в которых в роторе присутствуют обязательно две дифференциальные компоненты. Однако, если сравнить уравнение (9) и уравнение (17), то мы увидим, что в уравнении (9) присутствуют сразу три компоненты по координатам. Возникает вопрос: «Так какой из этих выводов считать правильным»? Тут явная неоднозначность и первый, и

dHx / dt — ic\xo dHt / dx sq dEx / dt -ic&o dEt / dx =

второй метод вывода волнового уравнения из классических уравнений Максвелла являются парадоксальными.

Суть ошибки вывода волнового уравнения из классических уравнений Максвелла в том, что не учитывался присущий любому объекту мироздания корпускулярно-волновой дуализм. Именно этого недостатка лишены усовершенствованные уравнения Максвелла [2], которые аналогичны по виду уравнениям Дирака, но без члена с массой покоя, и в принципе отражают уравнения нейтрино и антинейтрино. Поэтому, рассмотрим вариант получения волнового уравнения, исходя из усовершенствованных уравнений Максвелла, учитывающих корпус-кулярно-волновой дуализм, например, в виде:

= дЕ у / Се — дЕ2 / ду;

дИу / Се + СИ2 / су . ( )

Здесь / = — мнимая единица.

Необходимо сразу отметить, что поиск уравнений вида (17) для электромагнитного поля в реальном мире невозможен. Это связано с тем, что из вида таких уравнений следует независимость электрических и магнитных полей. Собственно это означает и опровержение классических уравнений Максвелла. Поэтому суть поиска должна сводится к тому, что в уравнениях общего взаимодействия должны прослеживаться члены, имеющие производные второго порядка, как для электрического, так и магнитного поля, как по координатам длины, так и по времени.

Именно поиском таких решений мы и займёмся. Но прежде проанализируем процессы взаимодействия, дающие операцию ротора. Это операция нам важна именно потому, что получить дифференциалы второго порядка от дифференциалов первого порядка можно только вводя изменения, что и обеспечивает операция ротора. Кроме того необходимо понять, что в уравнениях Максвелла взаимодействуют ортогональные составляющие, поэтому применять операцию например дифференцирования по одной и той же переменной не имеет смысла, так как взаимодействуют корпускулярно-волновые объекты всеми своими составляющими и именно это обеспечивает преобразование с получением нового объекта.

Итак, начнём с того, что суть всех изменений в мироздании ограничена двумя состояниями в двух противоположностях — замкнутым и разомкнутым [2]. Поэтому любое взаимодействие связано с переходом из одного состояния в другое. Отсюда, при-

меняя операцию ротора (что связано с дифференцированием и переходом к усовершенствованному уравнению Максвелла), мы пытаемся перевести замкнутое состояние объекта в разомкнутое состояние прямолинейного движения. И если нам это удастся, то в противоположности мы получим разомкнутое состояние, так как в мироздании не могут входить полностью замкнутые объекты сразу в двух противоположностях в силу того, что они в этом случае не смогут ни с чем взаимодействовать и должны быть полностью независимы. Это также и потому, что ротору в противоположности должно соответствовать прямолинейное движение. В этом случае объект (двигающийся в нашей пространственно-временной системе со скоростью света) при замкнутом движении переходит как бы в состояние покоя. Естественно, что в системе координат, связанной с нашей системой через скорость света, он будет уже представляться объектом, движущимся со скоростью света и прямолинейно. Иными словами, замкнутость объекта в одной противоположности должна выражаться разомкнутостью в другой. Как это возможно? Это возможно только в том случае, когда координатное представление в одной противоположности не совпадает с координатным представлением в другой. Только тогда одно и тоже явление выглядит по-разному, что собственно и характеризует противоположности, а иначе мы бы имели однородность везде и всюду. По нашей теории это означает, что координатное значение длины преобразуется во время, и наоборот (в соответствии с СТО и ОТО Эйнштейна). Именно этого не могут понять большинство физиков, и пытаются координату времени оставить временем при любых изменениях (то есть «абсолютизировать»

время, а значит и пространство), забывая о том, что если бы все оставалось без изменений, то и самих преобразований по СТО Эйнштейна вообще не было бы.

Однако при переходе из одной противоположности в другую меняются не только значения с замкнутых составляющих на разомкнутые составляющие, но меняется и уровень иерархии, и вместо волны, двигающейся со скоростью света, получается частица с массой покоя [2]. В этом случае из нашего поля зрения (при переходе в противоположность) пропадают те значения координат, по которым происходили изменения со скоростью света, и которые в этой противоположности преобразуются во время, так как единственно возможное преобразование в нашем мироздании — это преобразование координаты во время, и наоборот. Если бы объект не мог бы изменить свое состояние с переходом корпускулы в волну и обратно, то он был бы константой, замкнутой на себя, и ни с чем бы не взаимодействовал. Как известно, свойство корпускулы выражается через пространственно-временное искривление, а свойства волны — напряженностями электрических и магнитных полей в виде составляющих Е и Н, которые на самом деле есть закономерности. Ранее (в других статьях) мы показали, что для исключения разрывов (сингулярностей) необходимо представлять пространство и время по отношению друг к другу не только как меры длины и времени (как бы независимых и не связанных с друг другом ортогональных величин, что соответствует статике и линейности), но и в соответствии с СТО и ОТО Эйнштейна и преобразованиями Лоренца — Минковского, как закономерности, что соответствует динамике и нелинейности. Поэтому, в принципе, задача по анализу преобразований и изменений сводится к тому, чтобы показать, что, в данном случае, в динамике выступает в виде закономерностей (качества) и соответствует значениям Е и Н, а в статике в виде количества — ортогональных параметров, пространства и времени. Действительно, неоднородности пространства и времени можно выразить через количественный параметр, а само изменение этого количества через закономерности — иного просто не дано (более подробно о связи количественной характеристики с закономерностью было рассмотрено в [2]). Кстати, мы это и видим на основе преобразований Лоренца — Мин-ковского, когда новые количественные значения координаты и времени связываем через старые значения координат и времени, но с учетом закономерностей изменения за счет движения. Таким образом, вся задача физики сводится к установлению количественных и качественных изменений посредством математики с использованием правильной логики построения мироздания. И перед нами стоит задача — вывести из такой логики правильную математику взаимодействия и показать как разо-мкнутость в статике (что соответствует представлению в параметрах одной противоположности) соответствует замкнутости, т.е. взаимодействию противоположностей, в динамике. Здесь надо понять, что

скорость движения, дающая новое пространственно-временное искривление по преобразованиям Лоренца, — это не нечто отдельное, так как всякое движение связано с изменениями, а изменения возникают в результате неравенства (равенство

— это всегда отсутствие сил, дающих направленность движения). Неравенство — это опять-таки результат пространственно-временного искривления. В итоге получаем, что результат наличия движения

— это результат пространственно-временного искривления небытия. Таким образом, мы видим, что пространственно-временное искривление в одной противоположности дает движение в другой противоположности, и это все следует из преобразований Лоренца — Минковского.

Учитывая, что только усовершенствованные уравнения Максвелла в противоположности (в соответствии с преобразованием по геометрии Мин-ковского) выражаются в виде значений координат и времени [2], то соответственно, чтобы получить дифференциальные значения, приводящие к изменению, необходимы усовершенствованные уравнения Максвелла, которые в противоположности отобразятся в виде координат длины и времени. Еще раз отметим, что напряженности Е и Н — это противоположности (а иначе бы отличий не было бы). А это означает, что они выполняют друг для друга, своего рода, роль координат длины и времени. И как противоположности, напряженности электрических и магнитных полей при выполнении ими функций координат друг для друга имеют обратно пропорциональную связь, что и отражает формула Н / Е = С . Аналогичную связь имеют длина и время в преобразованиях Минковского. Понятно, что процесс взаимодействия выражен в виде перемножения или деления, так как иначе не было бы самого процесса изменения и величины были бы независимы. Для учета взаимодействия мы должны использовать реальные корпускулярно-волновые объекты, которые отображаются не одним, а двумя усовершенствованными уравнениями Максвелла. Взаимодействие объектов бывает только взаимным, а это связано с изменениями каждого из них.

Проведем последовательно всю цепочку преобразования от начала и до конца. Будем считать, что вначале преобразовывается корпускулярно-волновой объект, который описывается системой уравнений (18). Преобразование означает изменение, а изменение в пространственно-временной системе связано с изменением по координате и по времени. Учитывая СТО и ОТО Эйнштейна, такое изменение может дать только корпускулярно-вол-новой объект, который совершает движение по данной координате. Изменение отражается через дифференцирование. Этот результат мы получим, если использовать методику, применённую при получении уравнения (9), с так называемой операцией ротора (д / дх — д / дх) и (д / дх — д / ду), например, для нижнего уравнения системы уравнений (18), мы применим дифференцирование по д / дх и

— д / ду, так как член с д / дх взаимно сокращается. Кроме того, наличие членов вида дЕх / дх ,

противоречит наличию ротора вообще, так как соответствует варианту дивергенции и градиента. Ещё раз подчеркнём, что у нас ротор — это аналог

от воздействия одного усовершенствованного уравнения Максвелла на другое, а не математическая абстракция, и это воздействие связано с переходом в противоположность. После дифференцирования нижнее уравнение из системы (18) будет выглядеть следующим образом:

sq [d2Ex / dtdz — d2Ex / dtdy — ic(d2Et / dxdz — d2Et / дхду)] = = d2Hz / dydz + d2Hy / dzdy — (д2Ну / d2 z + d2Hz / д2 y).

Перепишем уравнение (19) в следующем виде:

Sq [д2Ех / дtдz — icд2Et / дxдz — д2Ех / дtдy + icд2Et / дхду] = = 32Hz / дyдz + д2Hy / дzдy — (д2Hy / д2 z + B2Hz / д2 у).

Учтем теперь известное свойство, которое дает наша теория [2] при применении принципа относительности, симметрии и эквивалентности для противоположностей, и сделаем перенос мнимой единицы, меняя тем самым замкнутость на разомкну-тость, и наоборот. Иными словами, воздействие в виде д / Се и — д / ду может отобразиться только в виде изменения, а возможное изменение связано с переходом в противоположность. В противном случае изменение количества никогда бы не давало бы изменения качества. Ну а отличие противоположностей только одно — замкнутость меняется на разомкнутость, и наоборот. Если же предположить отсутствие изменений, то тогда величины становятся независимы, а это означает также и отмену самой операции дифференцирования. Поэтому перенос мнимой единицы показывает именно эти изменения, произошедшие с первоначальным объектом. Кроме того, так как всякое изменение по д / Се и — д / ду ведет к переходу в противоположную систему, а это, в соответствии с СТО и ОТО Эйн-

штейна, возможно только единственным преобразованием г в t и t в г, а также у в t и t в у, при этом считается х=y=z=сt в соответствии с преобразованиями Лоренца — Минковского, то в уравнении (20)

а c д2 Et / дхду

с д2Еу / дхдг, так как время меняется на координату длины, и наоборот. Иных изменений кроме как координаты длины на время и наоборот просто быть не может в нашем замкнутом мироздании. В этом случае Се (с учетом нормировки деления на постоянное значение скорости света) перейдет в дг , и соответственно, мнимая проекция станет действительной проекцией на г. Аналогично имеем и в случае дифференцирования по ду. В итоге имеем вид:

sq [д2Ex /дtдz — icд2Et /дxдz] = sq [д2Ex /дzдt -д2Ez /дхд^ =

= sq (icд2Ht / дyдt — SH2/ д20];

sq [-д^ / Ыду + ic32Et /дхду] = sq [-д^ / дyдt -д2Ey /дxдt] = = sq (ic^H / дzдt — дHz2 / д20].

Действительно, с точки зрения логики — нет никакой необходимости представлять реальные величины в виде мнимых величин. Значение величины с мнимой единицей в усовершенствованных уравнениях Максвелла может быть только одно, и в зависимости от того, где находится величина с мнимой единицей, процесс рассматривается разомкнутым. Это еще было отмечено при выводе формул (18) в [2]. Убирая мнимую единицу в левой части уравнения (20), мы переводим рассмотрение из одной противоположности в другую. Поэтому

напряженность Ег из проекции на время перешла

в проекцию по координате Е2, а Се (после нормировки на скорость света) — в дг. Фактически мы осуществили переход от разомкнутого представления в замкнутое, т.е. из пространственно-временного представления Е — в пространственно-временное представление Н, так как в противоположностях значения замкнутых функций меняются на разомкнутые, и наоборот. Как мы уже отмечали ранее, цикличность и взаимосвязь возможны только в случае преобразования. А это связано с тем, что замкнутое состояние меняется на разомкнутое, а разомкнутое — на замкнутое. Больше способов преобразования нет, а отсутствие изменений означает,

что замена формы дифференциальной записи от исходного вида невозможна, так как новая запись означает новые связи. Именно с этим парадоксом невозможности замены дифференциального вида мы столкнулись, когда попытались простой подстановкой переменных прийти к иному дифференциальному виду.

Действительно, исходный дифференциальный вид строго регламентирует связь между составляющими, а изменения обязательно связаны с получением иного дифференциального вида и, причем, он никак не может нарушить принцип корпускулярно-волнового дуализма, то есть замкнутости одних составляющих и разомкнутости других. Необходимо отметить, что в правой части уравнения (6) эти изменения с переходами в противоположность осуществляются именно с теми членами, которые компенсируются или являются нулевыми в силу отсутствия дивергенции от соленоидных значений. Однако, как это можно видеть из уравнения (21), замкнутость электрических силовых линий соответствует разомкнутости магнитных, то есть необходимое условие существования объектов в виде противоположностей в замкнутом и разомкнутом виде сохраняется. В данном случае вопрос замены переменных непосредственно связан при рассмотрении операции дифференцирования не как абстракции математической операции, а как результат взаимодействия объекта, описываемого усовершенствованным уравнением Максвелла, с внешними силами другого объекта. В результате чего произошло преобразование исходного объекта, что, в соответствии с СТО и ОТО Эйнштейна, всегда со-

провождается изменениями и связано с преобразованием координаты длины на время, и наоборот. В случае классических уравнений Максвелла никаких физических преобразований, связанных с изменениями, даже не рассматривается. Там для изменений достаточно одной противоположности — а это парадокс.

Таким образом, выражение с д Ег / дхдг при рассмотрении из противоположности будет выглядеть как с д2Е2 / дхд(, так как время меняется на координату, и, наоборот (в соответствии с СТО Эйнштейна). А дх с учетом нормировки деления на постоянное значение скорости света перейдет в д1, и соответственно, мнимая проекция Е[ станет действительной проекцией на г. Также, соответственно, так как д1 переходит в дх и наоборот, то

в члене д2Ех / д1дг будет перестановка переменных, так как мы поменяли переносом мнимой единицы точку наблюдения. То есть мы тоже используем перестановку переменных, но исходя из физики преобразования (за счет воздействия, от смены точки наблюдения, а не за счет известного в математике правила, что перестановка не влияет на результат). Аналогично это относится и к изменению по у. При этом у нас не возникает варианта вечного двигателя, так как перестановка осуществляется с переходом в противоположность, а не в той же самой противоположности. Соответственно мы учтём, что:

dEx / dz — dEz / dx = (icdHt / dy — dHy / dt); dEy /dx — dEx /dy = ^q (icdHt /dz — dHz /dt).

Иными словами мы учитываем, что при пере- ности электрического поля отражаются через ком-ходе в противоположность компоненты напряжён- поненты магнитного поля. Тогда уравнение (21)

в0 [-д2Ех / дГдх — 1сд1Е1 / дхдх] = в0 [-д2Ех / дхдг — д2Е2 / дхдГ] =

= в0[ц0 (icd2Ht / dydt — dHl / d2t)];

s0 [-d2Ex / dtdy + icd2Et / dxdy]=s0 [-d2Ex / dydt +d2Ey / dxdt] =

= s0 [|i0 (iicd2Ht / dzdt — dHz2 / d2t)].

Теперь подставим правые части системы урав- уравнения (20). Мы можем записать для действи-нений (23) после знака равенства в левую часть тельной части:

s0 [ц0 (- d2H / dh — dH2 / dh)] = -d2Hy / d2z + d2Hz / d2y.

Аналогично для мнимой части:

¡г0^0с (-д2Н / дудг + дН2 / дхдг) = / (д2И2 / дудх + д2Ну / дгду).

Мы видим, что здесь есть компоненты изменения волнового вида как по времени, так и по коор-

динатам длины. Аналогичный вариант мы наблюдали и в получении уравнения волны из классических уравнений Максвелла в (9). Однако, у нас уже

нет присутствия сразу трёх ортогональных составляющих по напряжённости поля в одном уравнении, как это было в (9), что говорит о наличии дивергенции. Но мы должны отметить тот факт, что в уравнении (24) есть распространение Нг вдоль

оси у, аналогично есть распространение Ну вдоль

оси г. А как же быть с распространением этих составляющих по оси х? Эта проблема решается только на основании нашей теории, где учитывается то, что электромагнитная волна не чисто волновой объект, а корпускулярно-волновой объект (а иначе нельзя было бы решить проблему появления вторичных источников излучения для огибания волной препятствия из-за полной независимости от

80^о (д 2 Ну / д2г + дн2 / д2 г)] = (1 /

среды), как и все объекты в нашем мироздании. Поэтому уравнение (25) отражает волновые процессы в противоположности. Причём надо учитывать тот факт, что пространственно-временное отображение в бытии (условно — мир, где мы находимся), не эквивалентно пространственно-временному отображению в небытии (условно — противоположный нам мир, связанный с нашим через скорость света). При этом значения координат длин по у и г меняются с координатой времени, так как изменения происходят именно по ним. В итоге, переходя в противоположность, в уравнении (25) убираем мнимую единицу и с точки зрения «стороннего» наблюдателя имеем рассмотрение процесса в противоположности:

е2)(д2Hz / d2t + д2Hy / д2t).

Мы получили одинаковый вид и слева и справа уравнения. При этом нам не важно, что изменения в правой части после знака равенства осуществлялись и по дг , и по ду, так как преобразование по любому связано с переходом во время. Здесь мы не меняли в правой части проекции Ну и Нг на Нг

, так как рассматривается двойное изменение, что связано с возвратом в исходную противоположность, и изменения могут касаться лишь замены компонент по осям z и у, но так как у нас обе эти компоненты присутствуют в уравнении, то это не имеет принципиального значения. Далее, так как изменения для электромагнитной волны происходят не только по времени, но и в пространстве, то тут надо учесть, что в левой части уравнения (25) изменения по времени уже были, — а это означает,

sq^q (д2Ну / d2t + дН^ / d2t)] = (д2Hy / д2х + d2Hz / д2x) = (1 / c2)(d2Hz / d2t + d2Hy / d2t). (27)

что в противоположности, эти изменения уже относятся к единственно неизменной координате длины — это по оси х, так как все остальные изменения по у, г и / уже осуществлялись в уравнении (25). Иными словами, статика в одной противоположности, требует динамику в другой противоположности, а иначе противоположностей как таковых не было бы и получить замкнутый кругооборот по противоположностям было бы невозможно. Кроме того, замкнутый обмен через время по осям по у, г должен давать незамкнутое движение (изменение) по третьей координат х. Иначе, был бы возможен независимый полностью замкнутый объект, который бы не имел связи с координатой х, в силу отсутствия каких либо изменений (обмена) по этой координате, а значит и движения. Отсюда получаем один единственно возможный вид с учётом 2

Sq^q = 1/c , а также x = ct:

Собственно мы рассмотрели вариант взаимодействия с учётом перехода в противоположность и обратно, что и соответствует двойному дифференцированию. Понятно, что указанный вид даёт искомый результат, что не получилось в ныне принятой электродинамике с классическими уравнениями Максвелла. Аналогично можно получить и волновое уравнение и по электрической компоненте. Иными словами, взаимодействие нейтрино и антинейтрино в виде усовершенствованных уравнений Максвелла (а это взаимодействие выражается через ротор, компоненты которого играют также роль противоположностей ортогональных друг к другу, и подстановку компонентов из другого усовершенствованного уравнения Максвелла) даёт новый уровень иерархии в виде электромагнитных волн, которые описываются волновыми уравнениями. В этом случае мы не имеем разрыва между нейтрино, антинейтрино и электромагнитной волной, что получалось в случае классических уравнений Максвелла. Конечно, в реальности взаимный переход

ещё более сложен ( мы ведь рассмотрели только частный случай), отсюда собственно дальше и получаются электрон, позитрон и другие частицы, и он связан с взаимным преобразованием компонент с учётом противоположностей по замкнутому циклу. Некоторое представление об этом можно получить в [2], но в данной статье у нас стояла конкретная задача — показать парадоксы вывода волновых уравнений через классические уравнения Максвелла. Кроме того, мы показали, как эта проблема решена с помощью усовершенствованных уравнений Максвелла.

1. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнма-новские лекции по физике. т. 6. Электродинамика. — М.: Мир, 1977. С. 127.

2. Рысин А.В. Революция в физике на основе исключения парадоксов / А.В. Рысин, О.В.Рысин, В.Н. Бойкачев, И.К. Никифоров. — М.: Техносфера, 2016 г. 875 с.

Чем волновые уравнения отличаются от уравнений максвелла

Распространение электромагнитного поля в пространстве – это волновой процесс, описание которого можно получить из уравнений Максвелла. Уравнения Максвелла описывают свойства электромагнитных волн в наиболее общем случае, но их непосредственное использование не всегда удобно. Поэтому для случая линейных и однородных сред можно получить более простые волновые уравнения, из которых следуют все законы геометрической оптики.

1.3.1. Волновые уравнения

В оптике часто рассматривают изменение электрического и магнитного полей независимо друг от друга, и тогда векторный характер поля не является существенным, а электромагнитное поле можно рассматривать и описывать как скалярное (подобно звуковому полю). Скалярная теория значительно проще векторной, и вместе с тем дает возможность достаточно глубоко анализировать распространение световых пучков и процессы образования изображения в оптических системах. В геометрической оптике скалярная теория широко используется именно благодаря тому, что электрическое и магнитное поля в этом случае могут быть описаны независимо друг от друга, а волновые уравнения одинаковы для векторного и скалярного полей.

Рассмотрим вывод волновых уравнений непосредственно из уравнений Максвелла. Возьмем уравнение для ротора электрического поля, определяемого через производную по времени от магнитной индукции:

Векторно домножим это уравнение на :

Воспользовавшись выражением (А.13) из Приложения А, получим:

Так как дивергенция электрического поля в диэлектрической среде , то в однородной среде , что следует из уравнений Максвелла (4, 5). Тогда получим волновое уравнение для электрической составляющей поля:

(1.3.1)

или

Поскольку , одно векторное уравнение распадается на три скалярных уравнения:

Рассуждая аналогичным образом, можно получить волновое уравнение для магнитной составляющей поля:

(1.3.3)

Поскольку , то это векторное уравнение также распадается на три скалярных уравнения:

Из уравнений Максвелла следует, что каждая из составляющих , , вектора подчиняется абсолютно одному и тому же скалярному уравнению. Поэтому, если требуется знать изменение только какой-нибудь одной из составляющих вектора , мы можем рассматривать векторное поле как скалярное. Перед тем, как окончательно перейти к скалярной теории, следует заметить, что составляющие вектора не являются независимыми функциями, что вытекает из условия . Поэтому, хотя скалярные волновые уравнения являются следствием уравнений Максвелла, обратно перейти от них к уравнениям Максвелла нельзя.

Пусть скалярная величина – это любая из составляющих электрического вектора: (, или ). Иными словами, это возмущение поля в какой-то точке пространства в какой-то момент времени . Тогда можно записать волновое уравнение в общем виде:

(1.3.5)

где – вторая производная возмущения по пространственным координатам,

– вторая производная возмущения по времени,

Смысл этого уравнения заключается в том, что волна образуется тогда, когда у некоторого возмущения вторая производная по пространственным координатам пропорциональна второй производной по времени.

Можно показать, что скорость распространения волны для диэлектриков связана с электрической и магнитной проницаемостями среды следующим образом:

следовательно, скорость распространения волны в пространстве определяется так:

Тогда общий вид волнового уравнения можно записать следующим образом:

Волновое уравнение для одной оси координат:

Отношение скорости света в вакууме к скорости света в среде называется показателем преломления данной среды по отношению к вакууму (index of refraction):

(1.3.10)

1.3.2. Монохроматическое поле

Монохроматическое поле – это поле, зависящее от времени по гармоническому закону (рис.1.3.1):

(1.3.11)

где – амплитуда возмущения (функция пространственных координат),
– циклическая частота изменения поля во времени,
– фаза поля (функция пространственных координат).

Рис.1.3.1. Изменение монохроматического поля во времени.

Монохроматическое поле также характеризуется периодом колебаний , или частотой :

причем циклическую частоту можно выразить через частоту :

Гармоническую волну характеризуют также пространственный период – длина волны :

и волновое число :

Излучение с определенной длиной волны обладает соответствующим цветом (рис.1.3.2).

Рис.1.3.2. Спектр видимого излучения.

Постоянными характеристиками, не зависящими от показателя преломления, для монохроматического поля являются: частота , циклическая частота и период колебаний . Длина волны и волновое число меняются в зависимости от показателя преломления, так как меняется скорость распространения света в среде . Итак, частота в среде всегда сохраняется, а длина волны изменяется. Длину волны и волновое число в некоторой среде с показателем преломления можно определить так:

где – длина волны в вакууме, – волновое число в вакууме.

Иногда при описании монохроматического поля вместо фазы используют другие понятия. Введем в выражение для волнового возмущения волновое число вместо циклической частоты :

Тогда волновое возмущение запишется так:

(1.3.18)

где – это эйконал поля:

,

(1.3.19)

Слово “эйконал” происходит от греческого слова (эйкон – образ). В русском языке этому соответствует слово “икона”.

В отличие от фазы поля эйконал более удобная величина для оценки изменения фазы от луча к лучу, так как непосредственно связан с геометрической длиной хода луча.

Оптическая длина луча (optical path difference, OPD) – это произведение показателя преломления на геометрическую длину пути .

Приращение эйконала равно оптической длине луча:

(1.3.20)

Если фаза изменяется на , то эйконал изменяется на : ;
если фаза изменяется на , то эйконал изменяется на : ;
если фаза изменяется на , то эйконал изменяется на : .

Эйконал имеет огромное значение в теории оптического изображения, так как понятие эйконала позволяет, во-первых, описать весь процесс образования изображения с позиций волновой теории света, а во-вторых, наиболее полно проанализировать искажения передачи изображения оптическими приборами. Теория эйконала, разработанная в XIX веке Петцвалем, Зейделем и Шварцшильдом, явилась важным фундаментальным достижением геометрической оптики, благодаря которому стало возможным создание оптических систем высокого качества.

1.3.3. Комплексная амплитуда

Гармонические колебания удобно описывать через комплексную амплитуду. Для этого применяют экспоненциальное представление комплексных чисел:

где – действительная часть, а – мнимая часть комплексной функции.

Представим, что монохроматическое поле (1.3.18) – это действительная часть от некоторой функции:

где составляющая зависит только от пространственных координат, а составляющая зависит только от времени.

Пусть – комплексная амплитуда поля, то есть функция только пространственных координат:

(1.3.23)

где – вещественная амплитуда (или просто амплитуда).

Если вещественная амплитуда волны не зависит от пространственных координат, то такая волна называется однородной волной .

Тогда эйконал поля выразим так:

(1.3.24)

где – фаза поля.

Удобство использования такой записи заключается в простоте сложения полей. Допустим, имеются два поля: , и . При сложении полей их комплексные амплитуды складываются, а временной экспоненциальный множитель можно вынести за скобки и не учитывать:

Таким образом, можно считать, что комплексная амплитуда полностью описывает монохроматическое поле, так как она объединяет амплитуду и эйконал.

1.3.4. Уравнение Гельмгольца

Если поле монохроматическое, то дифференцирование по времени, сводится к умножению скалярной амплитуды на мнимый множитель . Таким образом, если подставить в волновое уравнение (1.3.5) описание монохроматического поля (1.3.23), то после преобразований мы получим волновое уравнение для монохроматического поля, в которое будет входить только комплексная амплитуда (уравнение Гельмгольца).

§1.1. Уравнения Максвелла.

Свет представляет собой электромагнитные волны, которые полностью описываются системой уравнений Максвелла.

где -напряженность магнитного поля, и —вектора напряженности и индукции электрического поля, c — скорость света в вакууме,  обьемная плотность заряда, — плотность тока. Для описания взаимодействия излучения с веществом, необходимо ввести материальное уравнение, связывающее индукцию электрического поля в среде , с напряженностью электрического поля, падающей волны. Системой уравнений Максвелла описываются процессы излучения, распространения и взаимодействия света с веществом.

Волны в вакууме описываются условиями: , , . Уравнения Максвелла, полученные при этих условиях, описывают распространение света, на расстояниях меньше длины волны .

Процессы излучения волн характеризуются наличием движущихся зарядов, при этом необходимо, чтобы заряды двигались с ускорением, как будет показано в последующих лекциях, то есть необходимо наличие в системе переменных токов .

Взаимодействие излучения с веществом представляют собой следующие процессы: во-первых, это локальный отклик среды на воздействие и, во-вторых, переизлучение света частицами среды, в-третьих, интерференция полученных волн.

Локальный отклик среды определяется поляризацией вещества , и построением материального уравнения .

Если интенсивность (и напряженности) электромагнитного поля не велика, тогда, мы находимся в рамках линейной оптики. В этом случае и диэлектрическая восприимчивость вещества не зависит от интенсивности света. Для изотропных сред не зависит от направления распространения и поляризации волны и является постоянной. Индукция и напряженность электрического поля связаны уравнением

при этом диэлектрическая проницаемость среды  имеет вид

В анизотропных средах диэлектрическая восприимчивость зависит от направления от направления распространения и поляризации волны и имеет тензорный характер. При этом

Среда может быть описана с помощью тензорной диэлектрической проницаемостью и соответствующим ей показателем преломления

Нелинейные оптические явления характеризуются зависимостью диэлектрической восприимчивости от интенсивности падающего света , и соответствующей зависимостью поляризации вещества .

В рамках уравнений Максвелла могут быть описаны, также процессы поглощения (или усиления) в активных средах. Для этого вводится, комплексная диэлектрическая проницаемость при этом действительная часть описывает законы преломления, а комплексная поглощение.

§1.2 Электромагнитные волны в вакууме.

Волновое уравнение в вакууме.

Для описания распространения света в вакууме полагаем:

Система уравнений Максвелла в этом случае приобретает вид:

с учетом уравнения (2) получим

Используем соотношение и с учетом уравнения (3) получим волновое уравнение для :

Аналогичное уравнение получается и для , для этого необходимо найти из уравнения (2)

Так как вектора и можно разложить по компонентам

то волновое уравнение для компонент примет вид

Иногда в этом случае говорят о скалярной волне. Рассмотрим скалярные волны, для этого вместо компонент векторов и введена функция

Решение волнового уравнения имеет в вид плоской волны, распространяющейся вдоль оси z, волновой фронт которой представляет собой плоскость перпендикулярную направлению распространения :

Волновое уравнение для данной функции:

Решение определяется функцией вида , это две бегущие волны, распространяющиеся в различных направлениях, в скобках записаны аргументы функций. Решение такого вида сохранят вид волны: это основное требование к волнам в вакууме. Проверим данное предположение. Найдем вид функции , которая описывает волну бегущую «вперед» в момент времени , учтем, что волновой фронт перемещается на расстояние , тогда

Аналогичные рассуждения для функции , которая описывает волну, бегущую «назад» дают равенство

Решение выражает фундаментальный факт конечности скорости распространения электромагнитной волны.

Волна приходит в точку с координатой , через .

Обратите внимание, что в последующих курсах электродинамики все решения подобного вида носят название запаздывающих.

1.2.2. Плоские волны. Связь между компонентами.

Рассмотрим волну, распространяющуюся вдоль оси вид, который описывается функциями

это волны, имеющие плоский волновой фронт, так как фаза зависит только от Z

Из уравнения (3), для плоских волн соотношение

Получим ( -я компонента вектора не зависит от координаты ).

Рассмотрим первое уравнение Максвелла для -ой компоненты

Выполнив аналогичные преобразования для всех компонент векторв и получаем следующие уравнения:

Уравнения показывают важнейшее свойство электромагнитных волн– их поперечность смотри 5 и 8.

Простейшей функцией, удовлетворяющей уравнениям Максвелла, является гармоническая волна

где , — модуль волнового вектора ,

Направление волнового вектора совпадает с направлением распространения волнового фронта (поверхности одинаковой фазы). Распространение волнового фронта описывается уравнением

Продифференцируем данное выражение по времени и найдем фазовую скорость:

Проверим, удовлетворяет ли решение (9) волновому уравнению.

Функция (9) удовлетворяет волновому уравнению.

Найдем из уравнения Максвелла .

Воспользуемся уравнением Z.

Вектора и совершают в бегущей волне колебания в фазе, но в перпендикулярных плоскостях. (рисунок)

Если зафиксировать время t,то вдоль оси Z получим косинусоидальное-распределение напряженностей и (мгновенная фотография).

Если зафиксировать точку Z, то уравнения описывают изменение и со временем.

В общем виде можно записать уравненение волны, не зависящее от системы координат.

здесь радиус вектор, проведенный из начала координат в точку наблюдения.

Волновому уравнению удовлетворяют также волны

и волны, распространяющиеся в противоположном направлении.

Лекция 2

1.2.3. Поляризация плоских электромагнитных волн.

Решением волнового уравнения и системы уравнений Максвелла также являются суперпозиции частных решений.

Рассмотрим суперпозицию волн поляризованных в двух взаимно перпендикулярных плоскостях

,

,

напряженность результирующей волны можно найти по формуле

В общем случае конец вектора описывает эллипс. Для нахождения траектории движения, конца вектора нужно исключить время t.

Найдем:

Воспользуемся формулой:

Конец вектора описывает эллипс, такая поляризация называется эллиптической.

Рассмотрим следующий случай:

1. , где = 1, 2, 3…(рисунок)

Уравнения преобразуются к следующему виду :

уравнение прямой, лежащей в 1-3 квадранте координатной плоскости.

Компоненты и колеблются синфазно и их результирующее колебание, происходит по прямой.

2. ,где =1, 3… (рисунок)

; .

П рямая находится в 2-ом и 4-ом квадранте координатной плоскости. Компоненты и совершают колебания в противофазе.

3. ,где =1, 2, 3…

,если амплитуды , то в этом случае вектор описывает эллипс, ориентированный по осям X и Y, а в случае

получаем круговую поляризацию.

В случае эллиптической и круговой поляризации волна представляет спираль, летящую со скоростью света, не вращаясь.

В этом случае разность фаз определяется начальным сдвигом фаз.

В общем случае разность фаз, которая определяется разностью хода волн поляризованных по осям X и Y

,где -разность хода.

Например, волны могут двигаться с разными скоростями, как это бывает в анизотропных средах.

или

;