Нелинейные цепи постоянного тока
Нелинейная электрическая цепь — это электрическая цепь, в состав которой входит хотя бы один нелинейный элемент.
Нелинейный элемент — это элемент, характеристики и параметры которого зависят от величины и/или направления связанных с ним переменных (электрический ток, магнитный поток, температура, световой поток, напряжение и т.п.).
Нелинейные элементы описываются нелинейными характеристиками, которые задаются графиками, таблично или определяются экспериментально. Нелинейные элементы можно разделить на двухполюсные и многополюсные. В многополюсных нелинейных элементах содержатся три и более полюсов, при помощи которых данные элементы присоединяются к электрической цепи. Этими полюсами могут быть:
- Магнитные усилители.
- Пентоды.
- Тетроды.
- Многообмоточные трансформаторы.
- Электронные диоды. .
Особенностью многополюсных элементов является то, что их свойства определяются зависимостью выходных характеристик от входных переменных и наоборот. Входные характеристики строятся для ряда фиксированных значений одного из выходных параметров, а выходные для ряда значений одного из входных.
Нелинейные элементы также делятся на безынерционные и инерционные. У инерционных элементов характеристики зависят от скорости изменения переменных. Для данных элементов статические характеристик, определяющие зависимость между действующими значениями переменных, отличаются от динамических характеристик, которые устанавливают связь между мгновенными значениями переменных. В безынерционных нелинейных элементах характеристики никак не зависят от скорости изменения переменных. В них статические и динамические характеристики совпадают. Понятие инерционного и безынерционного элемента относительно, так как безынерционный нелинейный элемент может быть рассмотрен в допустимом диапазоне частот, в случае выхода из которого он становится инерционным.
Нелинейные элементы также делят на управляемые и неуправляемые. Обычно к неуправляемым элементам относятся двухполюсники. Характеристика неуправляемого нелинейного элемента изображается единственной кривой. Управляемыми элементами являются электронные лампы тиристоры транзисторы, операционные усилители и т.п. То есть это те элементы, которые кроме главной цепи имеют хотя бы одну управляющую, электрический ток и напряжение которой оказывают влияние на вольтамперные характеристики основной цепи
Нелинейные электрические цепи постоянного тока
Нелинейные свойства нелинейных цепей постоянного тока определяются наличием в них нелинейных резисторов. Так как в нелинейных резисторах отсутствует прямая пропорциональность между напряжением и током, они не могут быть охарактеризованы одним значением сопротивления. Соотношение между напряжением и током зависит от их мгновенных значений, а также интегралов и производных по времени. В зависимости от условий функционирования нелинейного резистора и характера поставленной задачи различают динамическое, статическое и дифференциальное сопротивления. В том случае, когда нелинейный элемент является безынерционным (характеристики не зависят от скорости изменения переменных), то он может быть охарактеризован статическим и дифференциальным сопротивлением, график которых изображен на рисунке ниже.
Рисунок 1. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В этом случае статическое сопротивление представляет собой отношение напряжения на резистивном элементе в протекающему через него электрическому току (точка 1 на рисунке), то есть:
$Rcm = U1 / I1 = mRtga$
Дифференциальное сопротивление является отношением бесконечно малого приращения напряжения к такому же приращению электрического тока, то есть:
$R = du / di = mRtgB$
У неуправляемого нелинейного резистора статическое сопротивление всегда больше нуля, значение дифференциального сопротивления может быть отрицательным.
Методы расчета нелинейных цепей постоянного тока. Графический метод
Состояние электрических нелинейных цепей постоянного тока может описываться на основании законов Кирхгофа, имеющих общий характер. Для нелинейных цепей неприменим метод наложения, поэтому методы расчета линейных электрических цепей на основе законов Кирхгофа и метод наложения не распространяются на нелинейные. Как таковых общих методов расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока не существует. Распространены способы, которые имеют самые различные области применения и возможности. При расчете и анализе нелинейной электрической цепи постоянного тока составленные системы уравнений могут быть решены следующими способами:
- Инерционные.
- Графические.
- Аналитические.
- 4 Графоаналитические.
При использовании графических методов поставленная задача решается при помощи графических построений на плоскости, а характеристики ветвей цепи записываются в функции одного аргумента, который является общим. Благодаря этому система уравнений сводится к одному нелинейному уравнению, у которого одна неизвестная. Самыми распространенными графическими способами расчета нелинейной цепи постоянного тока являются: расчет для последовательных цепей с резистивными элементами, метод пересечений, метод двух узлов.
Нелинейные элементы и цепи
К нелинейным элементам относятся элементы, у которых вольт-амперная характеристика нелинейна. Электрическая цепь, в состав которой входит хотя бы один нелинейный элемент, называют нелинейной электрической цепью.
По виду вольт-амперной характеристики различают нелинейные элементы с симметричной и несимметричной характеристиками (по отношению к началу координат). Значение тока в нелинейном элементе с симметричной характеристикой не зависит от полярности приложенного напряжения (рис.4), т.е. сопротивление этого элемента не зависит от направления тока в нем. В нелинейном элементе с несимметричной характеристикой значение тока зависит от полярности приложенного напряжения (рис.5), т.е. сопротивление элемента зависит от направления тока в нем.
К нелинейным элементам с симметричной характеристикой относятся лампы накаливания, терморезисторы, тиритовые и вилитовые элементы, бареттеры, электрическая дуга между одинаковыми электродами и другие.
Рассмотрим несколько примеров нелинейных элементов с симметричными характеристиками:
а) лампа накаливания
С ростом тока сопротивление нити увеличивается и возрастание тока замедляется (рис.6). Сопротивление не зависит от направления тока.
С ростом тока сопротивление нити уменьшается (рис.7). Терморезистор применяют для компенсации изменений сопротивлений элементов, изготовленных из металлических проводников, сопротивление которых увеличивается с увеличением тока в цепи. При последовательном же включении общее сопротивление цепи не изменяется.
в) тиритовые и вилитовые элементы
С увеличением напряжения их проводимость увеличивается. Например:
при увеличении напряжения в 2 раза ток I увеличивается в 10 раз (рис.8). Из тиритовых дисков выполняют разрядники, предназначенные для защиты установок высокого напряжения от перенапряжений.
К нелинейным элементам с несимметричной вольт-амперной характеристикой относятся электронные лампы, полупроводниковые диоды, транзисторы, электрическая дуга при неоднородных электродах и прочие.
а) полупроводниковый диод
Проводит электрический ток, если к аноду приложен положительный потенциал, а к катоду — отрицательный (рис.9).
Ток коллектора различен для разных токов базы (рис.10)
Нелинейные элементы характеризуются двумя параметрами: статическим Rст и дифференциальным Rдиф сопротивлениями. Эти сопротивления изменяются от точки к точке вольт-амперной характеристики.
Статическим сопротивлением называется отношение напряжения к току в данной точке (рис.11)
Дифференциальное сопротивление определяется производной к ВАХ в точке А, т.е. тангенсом угла наклона касательной в точке А.
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Что называется нелинейным элементом электрической цепи
Нелинейными называются цепи, в состав которых входит хотя бы один нелинейный элемент.
Нелинейными называются элементы, параметры которых зависят от величины и (или) направления связанных с этими элементами переменных (напряжения, тока, магнитного потока, заряда, температуры, светового потока и др.). Нелинейные элементы описываются нелинейными характеристиками, которые не имеют строгого аналитического выражения, определяются экспериментально и задаются таблично или графиками.
Нелинейные элементы можно разделить на двух – и многополюсные. Последние содержат три (различные полупроводниковые и электронные триоды) и более (магнитные усилители, многообмоточные трансформаторы, тетроды, пентоды и др.) полюсов, с помощью которых они подсоединяются к электрической цепи. Характерной особенностью многополюсных элементов является то, что в общем случае их свойства определяются семейством характеристик, представляющих зависимости выходных характеристик от входных переменных и наоборот: входные характеристики строят для ряда фиксированных значений одного из выходных параметров, выходные – для ряда фиксированных значений одного из входных.
По другому признаку классификации нелинейные элементы можно разделить на инерционные и безынерционные. Инерционными называются элементы, характеристики которых зависят от скорости изменения переменных. Для таких элементов статические характеристики, определяющие зависимость между действующими значениями переменных, отличаются от динамических характеристик, устанавливающих взаимосвязь между мгновенными значениями переменных. Безынерционными называются элементы, характеристики которых не зависят от скорости изменения переменных. Для таких элементов статические и динамические характеристики совпадают.
Понятия инерционных и безынерционных элементов относительны: элемент может рассматриваться как безынерционный в допустимом (ограниченном сверху) диапазоне частот, при выходе за пределы которого он переходит в разряд инерционных.
В зависимости от вида характеристик различают нелинейные элементы с симметричными и несимметричными характеристиками. Симметричной называется характеристика, не зависящая от направления определяющих ее величин, т.е. имеющая симметрию относительно начала системы координат: . Для несимметричной характеристики это условие не выполняется, т.е. . Наличие у нелинейного элемента симметричной характеристики позволяет в целом ряде случаев упростить анализ схемы, осуществляя его в пределах одного квадранта.
По типу характеристики можно также разделить все нелинейные элементы на элементы с однозначной и неоднозначной характеристиками. Однозначной называется характеристика , у которой каждому значению х соответствует единственное значение y и наоборот. В случае неоднозначной характеристики каким-то значениям х может соответствовать два или более значения y или наоборот. У нелинейных резисторов неоднозначность характеристики обычно связана с наличием падающего участка, для которого , а у нелинейных индуктивных и емкостных элементов – с гистерезисом.
Наконец, все нелинейные элементы можно разделить на управляемые и неуправляемые. В отличие от неуправляемых управляемые нелинейные элементы (обычно трех- и многополюсники) содержат управляющие каналы, изменяя напряжение, ток, световой поток и др. в которых, изменяют их основные характеристики: вольт-амперную, вебер-амперную или кулон-вольтную.
Нелинейные электрические цепи постоянного тока
Нелинейные свойства таких цепей определяет наличие в них нелинейных резисторов.
В связи с отсутствием у нелинейных резисторов прямой пропорциональности между напряжением и током их нельзя охарактеризовать одним параметром (одним значением ). Соотношение между этими величинами в общем случае зависит не только от их мгновенных значений, но и от производных и интегралов по времени.
Параметры нелинейных резисторов
В зависимости от условий работы нелинейного резистора и характера задачи различают статическое, дифференциальное и динамическое сопротивления.
Если нелинейный элемент является безынерционным, то он характеризуется первыми двумя из перечисленных параметров.
Статическое сопротивление равно отношению напряжения на резистивном элементе к протекающему через него току. В частности для точки 1 ВАХ на рис. 1
Под дифференциальным сопротивлением понимается отношение бесконечно малого приращения напряжения к соответствующему приращению тока
Следует отметить, что у неуправляемого нелинейного резистора всегда, а может принимать и отрицательные значения (участок 2-3 ВАХ на рис. 1).
В случае инерционного нелинейного резистора вводится понятие динамического сопротивления
определяемого по динамической ВАХ. В зависимости от скорости изменения переменной, например тока, может меняться не только величина, но и знак .
Методы расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока
Электрическое состояние нелинейных цепей описывается на основании законов Кирхгофа, которые имеют общий характер. При этом следует помнить, что для нелинейных цепей принцип наложения неприменим. В этой связи методы расчета, разработанные для линейных схем на основе законов Кирхгофа и принципа наложения, в общем случае не распространяются на нелинейные цепи.
Общих методов расчета нелинейных цепей не существует. Известные приемы и способы имеют различные возможности и области применения. В общем случае при анализе нелинейной цепи описывающая ее система нелинейных уравнений может быть решена следующими методами:
- графическими;
- аналитическими;
- графо-аналитическими;
- итерационными.
Графические методы расчета
При использовании этих методов задача решается путем графических построений на плоскости. При этом характеристики всех ветвей цепи следует записать в функции одного общего аргумента. Благодаря этому система уравнений сводится к одному нелинейному уравнению с одним неизвестным. Формально при расчете различают цепи с последовательным, параллельным и смешанным соединениями.
а) Цепи с последовательным соединением резистивных элементов.
При последовательном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается ток, протекающий через последовательно соединенные элементы. Расчет проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХ отдельных резисторов в системе декартовых координат строится результирующая зависимость . Затем на оси напряжений откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине напряжения на входе цепи, из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью . Из точки пересечения перпендикуляра с кривой опускается ортогональ на ось токов – полученная точка соответствует искомому току в цепи, по найденному значению которого с использованием зависимостей определяются напряжения на отдельных резистивных элементах.
Применение указанной методики иллюстрируют графические построения на рис. 2,б, соответствующие цепи на рис. 2,а.
Графическое решение для последовательной нелинейной цепи с двумя резистивными элементами может быть проведено и другим методом – методом пересечений. В этом случае один из нелинейных резисторов, например, с ВАХ на рис.2,а, считается внутренним сопротивлением источника с ЭДС Е, а другой – нагрузкой. Тогда на основании соотношения точка а (см. рис. 3) пересечения кривых и определяет режим работы цепи. Кривая строится путем вычитания абсцисс ВАХ из ЭДС Е для различных значений тока.
Использование данного метода наиболее рационально при последовательном соединении линейного и нелинейного резисторов. В этом случае линейный резистор принимается за внутреннее сопротивление источника, и линейная ВАХ последнего строится по двум точкам.
б) Цепи с параллельным соединением резистивных элементов.
При параллельном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается напряжение, приложенное к параллельно соединенным элементам. Расчет проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХ отдельных резисторов в системе декартовых координат строится результирующая зависимость . Затем на оси токов откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине тока источника на входе цепи (при наличии на входе цепи источника напряжения задача решается сразу путем восстановления перпендикуляра из точки, соответствующей заданному напряжению источника, до пересечения с ВАХ ), из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью . Из точки пересечения перпендикуляра с кривой опускается ортогональ на ось напряжений – полученная точка соответствует напряжению на нелинейных резисторах, по найденному значению которого с использованием зависимостей определяются токи в ветвях с отдельными резистивными элементами.
Использование данной методики иллюстрируют графические построения на рис. 4,б, соответствующие цепи на рис. 4,а.
в) Цепи с последовательно-параллельным (смешанным) соединением резистивных элементов.
1. Расчет таких цепей производится в следующей последовательности:
Исходная схема сводится к цепи с последовательным соединением резисторов, для чего строится результирующая ВАХ параллельно соединенных элементов, как это показано в пункте б).
2. Проводится расчет полученной схемы с последовательным соединением резистивных элементов (см. пункт а), на основании которого затем определяются токи в исходных параллельных ветвях.
Метод двух узлов
Для цепей, содержащих два узла или сводящихся к таковым, можно применять метод двух узлов. При полностью графическом способе реализации метода он заключается в следующем:
Строятся графики зависимостей токов во всех i-х ветвях в функции общей величины – напряжения между узлами m и n, для чего каждая из исходных кривых смещается вдоль оси напряжений параллельно самой себе, чтобы ее начало находилось в точке, соответствующей ЭДС в i-й ветви, а затем зеркально отражается относительно перпендикуляра, восстановленного в этой точке.
Определяется, в какой точке графически реализуется первый закон Кирхгофа . Соответствующие данной точке токи являются решением задачи.
Метод двух узлов может быть реализован и в другом варианте, отличающемся от изложенного выше меньшим числом графических построений.
В качестве примера рассмотрим цепь на рис. 5. Для нее выражаем напряжения на резистивных элементах в функции :
| ; | (1) |
| ; | (2) |
| . | (3) |
Далее задаемся током, протекающим через один из резисторов, например во второй ветви , и рассчитываем , а затем по с использованием (1) и (3) находим и и по зависимостям и — соответствующие им токи и и т.д. Результаты вычислений сводим в табл. 1, в последней колонке которой определяем сумму токов
Таблица 1. Таблица результатов расчета методом двух узлов
Алгебраическая сумма токов в соответствии с первым законом Кирхгофа должна равнять нулю, поэтому получающаяся в последней колонке табл. 1 величина указывает, каким значением следует задаваться на следующем шаге.
В осях строим кривую зависимости и по точке ее пересечения с осью напряжений определяем напряжение между точками m и n. Для найденного значения по (1)…(3) рассчитываем напряжения на резисторах, после чего по заданным зависимостям определяем токи в ветвях схемы.
- Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
- Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
- Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.: Энергия- 1972. –200с.
Контрольные вопросы и задачи
- Почему метод наложения неприменим к нелинейным цепям?
- Какие параметры характеризуют нелинейный резистор?
- Почему статическое сопротивление всегда больше нуля, а дифференциальное и динамическое могут иметь любой знак?
- Какие методы используют для анализа нелинейных резистивных цепей постоянного тока?
- Какая последовательность расчета графическим методом нелинейной цепи с последовательным соединением резисторов?
- Какая последовательность расчета графическим методом нелинейной цепи с параллельным соединением резисторов?
- Какой алгоритм анализа цепи со смешанным соединением нелинейных резисторов?
- В чем сущность метода двух узлов?
- В цепи на рис. 2,а ВАХ нелинейных резисторов и , где напряжение – в вольтах, а ток – в амперах; . Графическим методом определить напряжения на резисторах.
1.5. Нелинейные электрические цепи
Нелинейная электрическая цепь это электрическая цепь, содержащая один или несколько нелинейных элементов [ 1 ] .
Нелинейный элемент это элемент электрической цепи, параметры которого зависят от определяющих их величин (сопротивление резистивного элемента от тока и напряжения, ёмкость емкостного элемента от заряда и напряжения, индуктивность индуктивного элемента от магнитного потока и электрического тока).
Таким образом, вольт–амперная u ( i ) характеристика резистивного элемента, вебер–амперная ψ( i ) характеристика индуктивного элемента и кулон–вольтная q ( u ) характеристика емкостного элемента имеют вид не прямой линии (как в случае линейного элемента), а некой кривой, обычно определяемой экспериментально и не имеющей точного аналитического представления.
Нелинейная электрическая цепь обладает рядом существенных отличий от линейной и в ней могут возникать специфические явления
1.5. Нелинейные электрические цепи
Рис. 1.28. УГО нелинейных резистивного, индуктивного и емкостного элементов
(например гистерезис), поэтому этого методы расчёта линейных цепей к нелинейным цепям неприменимы. Особо следует отметить неприменимость к нелинейным цепям метода наложения (суперпозиции).
Важно понимать, что характеристики реальных элементов никогда не бывают линейными, однако в большинстве инженерных расчётов они, с допустимой точностью, могут считаться линейными.
Все полупроводниковые элементы (диоды, транзисторы, тиристоры и т. д.) являются нелинейными элементами.
Условные графические обозначения нелинейных резистивного, индуктивного и емкостного элементов приведены на рис. 1.28 . На выносной площадке мажет указываться параметр, вызывающий нелинейность (например температура для терморезистора)
1.5.2. Параметры нелинейных элементов
Нелинейные элементы характеризуются статическими ( R ст , L ст , и C ст ) и дифференциальными ( R д , L д , и C д ) параметрами.
Статические параметры нелинейного элемента определяются как отношение ординаты выбранной точки характеристики к её абсциссе (рис. 1.29 ).
Статические параметры пропорциональны тангенсу угла наклона прямой, проведённой через начало координат и точку, для которой производится расчёт. Для примера на рис. 1.29 получим:
F ст = y A = m y tg α, x A m x
где α–– угол наклона прямой, проведённой через начало координат и рабочую точку A ;
m y и m x –– масштабы по осям ординат и абсцисс соответственно.
1. Основные положения
Рис. 1.29. К определению статических и дифференциальных параметров
F ст = y A , F диф = dy x A dx
Отсюда статические параметры резистивного, индуктивного и емкостного элементов будут иметь следующий вид:
Дифференциальные параметры нелинейного элемента определяются как отношение малого приращения ординаты выбранной точки характеристики к малому приращению её абсциссы (рис. 1.29 ).
Дифференциальные параметры пропорциональны тангенсу угла наклона касательной в рабочей точке характеристики и осью абсцисс. Для примера на рис. 1.29 получим:
F диф = dy = m y tg β, dx m x
где β –– угол наклона касательной в рабочей точке B характеристики и осью абсцисс;
m y и m x –– масштабы по осям ординат и абсцисс соответственно. Отсюда дифференциальные параметры резистивного, индуктив-
ного и емкостного элементов будут иметь следующий вид:
1.5. Нелинейные электрические цепи
1.5.3. Методы расчёта нелинейных цепей
Нелинейность параметров элементов усложняет расчёт цепи, поэтому в качестве рабочего участка стараются выбрать либо линейный, либо близкий к нему участок характеристики и рассматривают, с допустимой точностью, элемент как линейный. Если же это невозможно или нелинейность характеристики является причиной выбора элемента (особенно это характерно для полупроводниковых элементов), то применяют специальные методы расчёта –– графический , аппроксимации
( аналитической и кусочно–линейной ) и ряд других. Рассмотрим эти методы более подробно.
Идея метода состоит в построении характеристик элементов цепи (вольт–амперной u ( i ), вебер–амперной ψ( i ) или кулон–вольтной q ( u )), а затем, путём их графических преобразований (напр. сложения), получения соответствующей характеристики для всей цепи или её участка.
Графический метод расчёта является наиболее простым и наглядным в применении, обеспечивая в основной массе расчётов необходимую точность, однако он применим для небольшого количества нелинейных элементов в цепи и требует аккуратности при проведении графических построений.
Пример расчёта нелинейной цепи графическим методом для последовательного соединения линейного и нелинейного резистивных элементов приведён на рис. 1.30 , а , для параллельного –– на рис. 1.30 , б .
При расчёте последовательной цепи в одних осях строятся характеристики всех рассчитываемых элементов (для рассматриваемого примера это u нэ ( i ) для нелинейного резистора R нэ и u лэ ( i ) для линейного R лэ ). Характер изменения общего напряжения в цепи u ( i ) определяется путём сложения характеристик нелинейного u нэ ( i ) и линейного u лэ ( i ) элементов u ( i ) = u нэ ( i ) + u лэ ( i ). Сложение производится при одинаковых значении тока (для i = i 0 : u 0 = u нэ 0 + u лэ 0 , см. рис. 1.30 , а .).
Расчёт параллельной цепи производится аналогично, только характеристика всей цепи строится путём сложения токов, при постоянном напряжении (для u = u 0 : i 0 = i нэ 0 + i лэ 0 , см. рис. 1.30 , б .).