Как найти ускорение электрона

Решение. Ускорение электрона можно найти из второго закона Ньютона, но для этого надо знать силу, действующую на электрон

Ускорение электрона можно найти из второго закона Ньютона, но для этого надо знать силу, действующую на электрон. Сила, действующая на заряд, находящийся в электрическом поле, как известно, равна F = |q|E, значит, необходимо найти напряженность электрического поля между катодом и анодом. Так как катод представляет собой тонкую нить, воспользуемся формулой для напряженности поля, созданного тонкой заряженной нитью с линейной плотностью заряда τ.

, где r – расстояние от оси нити. Для нахождения τ воспользуемся связью между напряженностью и разностью потенциалов электростатического поля. В данном случае

.

напряженности поля равен .

Теперь по второму закону Ньютона .

Рассчитаем ускорение электрона, учитывая, что

Для нахождения скорости электрона воспользуемся связью работы и кинетической энергии. По теореме о кинетической энергии приращение кинетической энергии тела равно суммарной работе всех сил, действующих на тело: ΔW_к = A_{всех сил}. В этом случае на электрон действует только сила электрического поля, а начальная скорость электрона по условию мала, поэтому

,

где Δφ – разность потенциалов между катодом и точкой, в которой находится электрон. Отсюда .

Разность потенциалов найдем, используя связь напряженности поля и разности потенциалов:

И, наконец, рассчитаем скорость электрона

Ответ: а = 2,55·10 15 м/с 2 , v = 5,23·10 6 м/с.

Пример 2. Электрон влетает в поле плоского конденсатора со скоростью v₀ = 1 Мм/с под углом α = 30 о к его пластинам. Длина пластин l = 5 см. Найти напряженность поля, при которой скорость электрона при вылете из конденсатора будет направлена параллельно его пластинам.

Поле плоского конденсатора является однородным, поэтому на электрон в этом поле будет действовать постоянная сила, а значит движение электрона будет равноускоренным. Для описания этого движения выберем начало координат в точке влета электрона, направим ось х вдоль пластин, а ось у – перпендикулярно им (рис.2.2). Тогда закон движения электрона примет вид . Скорость электрона при этом равна . Запишем эти уравнения в проекциях на выбранные оси координат:

Так как в точке вылета x = l, то , а так как электрон вылетает параллельно пластинам, то в точке вылета v_y = 0, тогда . Отсюда

.

По второму закону Ньютона , отсюда .

Тогда окончательно получаем

.

Вычислим напряженность поля:

Ответ: Е = 49,3 В/м.

Пример 3. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено диэлектриком. Расстояние между пластинами d = 2 мм. На пластины подана разность потенциалов U₁ = 600 В. Если, отключив источник напряжения, вынуть диэлектрик из конденсатора, то разность потенциалов на пластинах возрастет до U₂ = 1800 В. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на диэлектрике σ_св и диэлектрическую восприимчивость κ диэлектрика.

Задача 700 (Рымкевич А. П. Физика. Задачник. 10-11 кл. — 17-е изд. — М.: Дрофа, 2013 — 188 с.)

С каким ускорением движется электрон в поле напряжённостью \( 10 \, \textit <кВ/м>\)?

1) Чтобы отыскать ускорение электрона в первую очередь надо определить силу \(F\), с которой электрическое поле действует на электрон и затем, зная силу, по второму закону Ньютона найти ускорение \(a\).

2) Найдём силу \( F \). По определению напряженность электрического поля \( \vec \) в данной точке равна

где \( \vec \) — сила, действующая на точечный заряд, помещённый в данную точку поля;

\( q \) — величина точечного заряда, помещённого в данную точку поля. В нашем случая это заряд электрона \(q_e \approx 1,602 \cdot 10^ <-19>\, \textit <Кл>\) (знак заряда не учитываем, так как в задаче нет необходимости определять направления движения тел и направления действия сил).

Так как в задаче направления действия сил не учтитываются, формулой \( (1) \) воспользуемся в скалярном виде. Так же будем иметь ввиду то, что напряжённость электрического поля \( E \) может измеряться в \( \dfrac<\textit<В>><\textit<м>> \) и в \( \dfrac<\textit<Н>><\textit<Кл>> \), при этом \( 1 \, \dfrac<\textit<В>><\textit<м>> = 1 \, \dfrac<\textit<Н>><\textit<Кл>> \), тогда \( 10 \, \dfrac<\textit<кВ>><\textit<м>> = 10 \cdot 10^3 \, \dfrac<\textit<В>><\textit<м>> = 10 \cdot 10^3 \, \dfrac<\textit<Н>><\textit<Кл>> \). Теперь подставив числовые значения найдём силу \(F\)

$$ E = \frac \quad \Rightarrow \quad F = E \cdot q_e = 10 \, \frac<\textit<кВ>><\textit<м>> \cdot 1,602 \cdot 10^ <-19>\, \textit <Кл>= 10 \cdot 10^3 \, \frac<\textit<Н>><\textit<Кл>> \cdot 1,602 \cdot 10^ <-19>\, \textit <Кл>=$$

3) Найдём ускорение с которым движется электрон, воспользовавшись втором законом Ньютона.

$$ F = m \cdot a, \tag <2>$$

где \(m\) — масса тела, в нашем случае масса электрона \(m_e \approx 9,109 \cdot 10^ <-31>\, \textit <кг>\);

\( a \) — ускорение, с которым движется тело.

Выразим из формулы \( (2) \) ускорение \(a\) и подставим числовые значения

Ответ: электрон движется с ускорением \(a \approx 1,76 \cdot 10^ <15>\, \dfrac<\textit<м>><\textit^2> \).

Движение электронов в электрическом поле

Электрон — это элементарная частица, открытие которой связывают с именем Дж. Дж. Томсона. Он смог доказать, что такая частица существует при помощи эксперимента с катодными лучами. Датой открытия электрона считается 1897 год, хотя попытки найти его предпринимались и до того.

Характеристики электрона

После открытия важной задачей стало определение характеристик электрона. Томсон предоставил свои расчеты касательно массы и заряда спустя пару лет. Для того времени результаты были достаточно точными. Однако позже, по мере развития науки и технологий данные корректировались. Важными характеристиками электрона являются:

• Масса. Для электрона она равна 9.109 × 10 -31 кг.
• Заряд. Величина равна -1.602 × 10 -19 Кл.
• Спин ½. Эта характеристика важна при учете заполнения орбиталей в атомах.

Электрон участвует в гравитационном и электромагнитном взаимодействиях. Его можно рассматривать как волну или как частицу. Античастицей, с которой электрон будет аннигилировать, является позитрон.

Напряженность электрического поля

Любая заряженная частица создает вокруг себя поле. Визуально его изображают линиями напряженности. Они выходят из положительного заряда и заканчиваются на отрицательном. По определению напряженностью называют силу, которая действует на единичный положительный заряд, находящийся в электрическом поле. Ее обозначают латинской буквой E, единицей измерения является ньютон, поделенный на кулон (Н/Кл) или вольт на метр (В/м). Напряженность является векторной величиной, ее направление совпадает с силой, которая действует на положительно заряженную частицу. Поскольку электрон несет отрицательный заряд, то он будет двигаться в противоположную сторону.

Чтобы рассчитать силу, с которой осуществляется движение электрона в электрическом поле, достаточно воспользоваться такой простой формулой:

Ускорение электрона можно выразить так:

Отношение e/m называется удельным зарядом электрона и представляет собой постоянную величину.

В случае с ускоряющим полем (направление начальной скорости заряда совпадает с направлением силы F) кинетическая энергия рассчитывается по формуле:

Работа, совершаемая силой, действующей со стороны поля, рассчитывается по формуле:

Поскольку ускорение электрона происходит под влиянием сил электрического поля, то кинетическую энергию он приобретает благодаря работе этих сил. Поэтому кинетическую энергию можно найти, воспользовавшись следующим выражением:

Из этого выражения легко находится скорость электрона:

Основываясь на этой формуле, можно сделать вывод, что в ускоряющем поле скорость электрона определяется лишь разностью потенциалов между начальной и конечной точками его траектории.

Если же электрон движется в тормозящем поле, то его начальная скорость будет постоянно уменьшаться. Поэтому его начальная кинетическая энергия должна быть больше энергии, затрачиваемой полем на ускорение электрона, чтобы он мог пройти расстояние от катода к аноду. В противном случае электрон не сможет достичь катода. В какой-то момент его движение прекратится, а затем он начнет двигаться в сторону анода. В итоге он вернет себе энергию, затраченную ранее на торможение.

Принцип суперпозиции

Когда источников поля несколько, то следует учесть все. Благодаря принципу суперпозиции для этого достаточно сложить векторы, чтобы получить значение напряженности в любой точке. Математически это выглядит следующим образом:

При сложении учитывается направление и длина каждого вектора. Если зарядов несколько, то можно рассчитать вклад каждого по отдельности, а позже вычислить сумму.

Потенциал электрического поля

Иногда для расчетов удобно использовать понятие потенциала поля. Различают скалярный электростатический и векторный потенциалы. Первый связан с энергией, которой будет обладать пробный заряд в определенной точке. Вычислить потенциал легко, если известны потенциальная энергия и величина заряда частицы:

Единицей измерения потенциала, согласно системе СИ, является В (вольт). Когда речь заходит об этой величине, то следует учитывать, что при вычислении потенциальной энергии, как и при расчете потенциала в точке, может появиться константа. Поэтому в задачах используется не потенциал в одной точке, а разница потенциалов для двух точек. Также выделяют эквипотенциали — поверхности в трехмерном пространстве или линии в двухмерном, где разница потенциалов в любых двух точках равна нулю. Работа по перемещению заряда по такой поверхности силами поля совершаться не будет.

Скалярный потенциал можно рассчитывать только для консервативного поля. Это значит, что когда речь идет об изменяющемся во времени электромагнитном поле, понятие разницы энергий в двух точках видоизменяется.

Векторный потенциал связан с импульсом. Его определяют следующим образом:

Работа сил электрического поля

Чтобы вычислить работу сил, затраченную на перемещение заряда в пространстве, надо знать, как изменилась его кинетическая энергия. Следует учесть, что вклад могут вносить не только силы электрического поля, но и другие, если они присутствуют.

Рассчитать кинетическую энергию можно, если известны масса и скорость электрона в определенный момент:

Работа сил электрического поля вычисляется с использованием понятия потенциала:

При условии, что действуют только силы электрического поля, можно использовать принцип сохранения энергии. Для этого понадобится рассчитать потенциал поля в двух точках, а также учесть кинетическую энергию частицы. Тогда формулу можно упростить до следующего вида:

Сила Лоренца

Для вычисления силы, действующей на электрон при условии отсутствия магнитного поля, достаточно знать характеристики электрического поля. Но когда появляется магнитное поле или электрическое перестает быть статичным, то для расчета потребуется больше информации.

Если на частицу начнет действовать магнитное поле, следует добавить еще одно слагаемое. Сила Лоренца позволяет определить, как измениться траектория движущегося заряда после его попадания в магнитное поле. Тогда сила, действующая на частицу со стороны электромагнитного поля, может быть описана следующим выражением:

Второе слагаемое содержит вектор B, что позволяет учесть влияние магнитного поля. Эта сила связана также со скоростью частицы. Сила Лоренца действует только на движущийся заряд. Она направлена перпендикулярно движению частицы и линиям магнитной индукции. Направление можно определить, используя правило буравчика или левой руки.

Пример

Воспользуемся простой задачей, чтобы понять, как рассчитывается движение электронов в электрическом поле. В ней рассматривается электрическое поле между пластинами конденсатора, магнитное поле отсутствует. Электрон может влетать в электрополе с какой-то начальной скоростью или начинать движение из какой-то точки. Тогда можно применить следующие формулы:

• Сила, действующая на электрон со стороны поля:

• Напряженность между обкладками:

• Второй закон Ньютона:

Этих уравнений достаточно, чтобы вычислить ускорение частицы. Оно будет составлять:

Дальнейшие вычисления зависят от начальной скорости. Если частица неподвижна или движется параллельно линиям напряженности, можно использовать всего одну ось:

С другой стороны, если движение направлено перпендикулярно полю, координаты можно описать следующим образом:

Отсюда можно вычислить скорость в определенный момент времени.

Как видим, электрическое поле всегда оказывает влияние на скорость электрона и его кинетическую энергию, увеличивая или уменьшая их значение. То есть, электрон и электрополе постоянно обмениваются энергией, между ними всегда присутствует энергетическое взаимодействие.

Упр.13 Задание 1 ГДЗ Мякишев 11 класс (Физика)

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.