Электрическое напряжение
6.1. Определение электрического напряжения. Напряжение между двумя точками в электрическом поле вычисляется с помощью криво-линейного интеграла, взятого по любой линии, соединяющие эти точки; интегрируется касательная составляющая напряженности электрического поля на выбранной линии (рис.8):
El Edl
Рис.8. Два варианта вычисления напряжения
Вектор l указывающий направление перемещения вдоль линии, соединяющей точки 1 и 2, задаёт направление вычисления напряжения, или короче, направление напряжения. При изменении направления напряжения на противоположное, напряжение изменяет знак, т.е. . В частности, если на рис.8 изменить в противоположную сторону направление вектора l , то проекция напряженности на этот вектор поменяет знак.
Условие потенциальности электрического поля (7) гарантирует, что электрическое напряжение, вычисленное по разным линиям, соединяющим выбранные точки, получается одинаковым. Действительно, циркуляция напряженности электрического поля по замкнутому контуру, проходящему через точки 1 и 2 в направлении вектора l , (рис.8) равна нулю. Разделим этот контур на две линии и , соединяющих точку 1 с точкой 2:
El El E(-l )
Под знаком интеграла, взятого по линии , учтено, что направление циркуляции противоположно направлению вектора l . Значит,
El E(-l ) .
Первый интеграл – это напряжение между точками 1 и 2, вычисленное по линии , второй – то же напряжение, вычисленное по линии . Очевидно, что оба напряжения равны.
Итак, напряжение между двумя точками в электрическом поле можно вычислить по любой линии, соединяющие эти точки. Когда напряжение между точками 1 и 2 измеряется вольтметром, роль линии, соединяющей эти точки, выполняет линия, вдоль которой положены провода, идущие к вольтметру от точек 1 и 2.
Интеграл в определении напряжения (12) называют интегралом типа работы. Дело в том, что напряженность электрического поля равна кулоновской силе, отнесенной к величине пробного заряда, E=F/q. Поэтому напряжение можно интегрировать как отнесённую к единице пробного заряда работу электрических сил, перемещающих этот заряд из одной точки в другую:
Edl F/qdl Fdl
Здесь Edl — работа электрических сил на пути от точки 1 до точки 2. Таким образом, электрическое напряжение характеризует потенциальную способность электрического поля совершать работу, при перемещении электрических зарядов.
6.2. Связь между напряжением и потенциалом. Напряжение между двумя точками в электрическом поле равно разности потенциалов этих точек. Действительно,
Edl dl i j k i j k
где — приращение электрического потенциала на элементарном отрезке dl (полный потенциал дифференциала). Следовательно,
Edl
Обратное утверждение: электрический потенциал любой точки в электрическом поле равен напряжению между этой точкой и точкой нулевого потенциала. Действительно, если в точке 0 , то
Edl
Для запоминания формул и можно использовать рис.9.
Рис.9. Иллюстрация второго закона Кирхгофа (закона напряжений) для замкнутого контура в электрическом поле
Сумма напряжений на отдельных участках замкнутого контура равна нулю, потому что
Edl .
Каждое напряжение в сумме нужно взять со своим знаком (плюс, если направление напряжения совпадает с направлением обхода контура, или минус в противоположном случае). Таким образом, , откуда следует что Если точку 2 совместить с точкой нулевого потенциала 0, то получим .
Краткое содержание третьей лекции. Электрическое поле, возбужденное неподвижными зарядами, потенциально, оно подчиняется трём эквивалентным условиям: E , Edl , E , где — электрический потенциал.
Потенциал электрического поля точечного заряда соответствует закону Кулона:
Здесь постоянная равна нулю, если точку нулевого потенциала выбрать на бесконечности.
Тело, несущее распределённый заряд в объёме , обладает потенциалом
который получается суммированием потенциалов составляющих тело элементарных зарядов .
Потенциал любой точки в электрическом поле можно рассматривать как электрическое напряжение между точкой поля и точкой нулевого потенциала. Напряжение между двумя точками в электрическом поле по определению равно интегралу типа работы от напряженности электрического поля
Edl.
Это напряжение равно разности потенциалов точек 1 и 2: .
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Как определить напряжение между двумя точками электрической цепи
7. Определение напряжения между двумя точками электрической цепи
Эта задача при расчете электрических цепей встречается очень часто. Пусть, например, в цепи на рис. 2.1 требуется найти напряжение между точками m и n.
Прежде всего необходимо показать на схеме или мысленно представить стрелку этого напряжения. Её направление определяется порядком следования индексов у буквы 
. Для напряжения 
она направлена отточки m к точке n. Если мы меняем местами индексы у буквы 
, то следует изменить и направление стрелки на схеме. При этом при расчете меняется знак полученного напряжения, так как 
.
Дальше записываются уравнения по второму закону Кирхгофа для любого контура, включающего в себя эту стрелку, как было сделано при расчете напряжений 
и 
. Так, для контура m31nm при обходе его по часовой стрелке
.
. (7.1)
При соответствующем навыке последняя формула может быть записана сразу, без составления уравнения второго закона Кирхгофа.
В указанном контуре напряжение 
складывается из трех напряжений:
. (7.2)
Порядок индексов у букв U соответствует порядку, в котором мы проходим участок электрической цепи, идя от точки m к точке n по элементам 
, 
и 
.
Теперь находим значение каждого слагаемого в последнем уравнении.
Величина 
, определяющая напряжение между точками m и 3, представляет собой падение напряжения на сопротивлении 
, которое мы должны взять со знаком минус, так как от точки m к точке 3 мы идем против тока 
:
.
.
Здесь в правой части уравнения стоит плюс, так как мысленная стрелка напряжения 
и ток 
направлены в одну сторону.
Третье слагаемое 
представляет собой напряжение на зажимах источника. Если внутреннее сопротивление последнего равно нулю, то это напряжение по величине равно ЭДС, а знак его зависит от взаимного направления стрелок напряжения и ЭДС (рис. 7.1).
Рис. 7.1. Напряжение на зажимах источника
При указанной на схеме полярности зажимов источника потенциал точки b выше потенциала точки a на величину ЭДС:
.
Поэтому при одинаковых направлениях стрелок 
и 
(рис. 7.1, а)
.
Если направления стрелок 
и 
противоположны друг другу (рис. 7.1, б), то
.
С учетом сказанного напряжение на участке 1n (см. рис. 2.1) равно
.
Подставляя найденные значения напряжений на участках в формулу (7.2), приходим к выражению (7.1).
То же самое напряжение, определяемое по участку m2n, будет равно
.
Разумеется, вычисление одного и того же напряжения по двум различным формулам должно привести к одинаковым результатам.
8. Построение графиков
8.1. Общие требования к оформлению графиков. Зависимость мощности от тока
Правила построения графиков рассмотрим на примере зависимости мощности Р1, выделяющейся в сопротивлении первой ветви, от тока I1 в этой ветви. Эта зависимость определяется уравнением баланса мощностей в схеме рис. 6.1, в:
.
Так как 
, то
. (8.1)
Это – уравнение параболы со смещенной вершиной и направленными вниз ветвями (рис. 8.1).
Значения тока, при которых парабола пересекает горизонтальную ось, находятся из уравнения
и 
.
По смыслу 
– это ток, протекающий в схеме рис. 6.1, в при закороченном сопротивлении 
. При токе, равном половине этого значения, мощность 
максимальна:
.
Предположим, что параметры цепи на рис. 6.1, в имеют следующие численные значения:
= 72,4 В; 
= 130 В; 
= 43,6 Ом.
Прежде всего находим максимальные значения абсциссы и ординаты, которые будут определять размеры графика. В нашем примере – это значения 
и 
:
;
.
Исходя из этих величин и предполагаемых размеров графика, выбираем масштаб, который указываем на каждой оси графика в виде равномерной шкалы.
В одной единице длины (сантиметре, миллиметре) может содержаться m × 10 n именованных единиц. Здесь n – целое число, положительное или отрицательное, а для mрекомендуются числа 1, 2, 5.
Положительные значения величин откладываются вправо по оси абсцисс и вверх по оси ординат.
В конце каждой оси ставится буквенное обозначение откладываемой величины и через запятую – ее единица измерения.
Если график строится на белой (нелинованной) бумаге, то чертится масштабная сетка.
Данные для построения графика рассчитываем по формуле (8.1) и сводим их в таблицу (табл. 8.1).
Данные для построения графика
, А
Напряжение участке электрической цепи
Участок электрической цепи, по которому проходит ток одного и того же значения называют ветвью .
Место соединения трех и более ветвей называют узлом .
Замкнутую электрическую цепь, образованную одной или несколькими ветвями называют контуром .
Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимают разность потенциалов между крайними точками этого участка.
На рис. 2.1 изображен участок цепи, содержащий только резистивный элемент, крайние точки которого обозначены буквами a и b. Пусть ток направлен от точки a к точке b (от более высокого потенциала к более низкому).
Следовательно, потенциал точки а () выше потенциала точки b () на значение, равное произведению тока на сопротивление R:
В соответствии с определением напряжение между точками а и b
т. е. напряжение на сопротивлении равно произведению тока, протекающего по резистивному элементу, на значение его сопротивления. Последнее выражение называют законом Ома для участка цепи.
В электротехнике разность потенциалов на концах резистивного элемента (сопротивления) называют либо напряжением на сопротивлении, либо падением напряжения. Положительное направление падения напряжения на каком-либо участке (направление отсчета этого напряжения), указываемое на рисунках стрелкой, совпадает с положительным направлением отсчета тока, протекающего по данному сопротивлению.
Рассмотрим вопрос о напряжении на участке цепи, содержащем не только резистивный элемент, но и ЭДС. На рис. 2.2 показан участок цепи, в которой существует ток . Найдем разность потенциалов (напряжение) между точками a и c для этих участков. По определению,
Выразим потенциал точки а через потенциал точки f. При перемещении от точки f к точке d встречно направлению ЭДС источника Е2 (рис. 2.2) потенциал точки d оказывается ниже (меньше), чем потенциал точки f, на значение ЭДС источника Е2. При перемещении от точки d к точке c согласно направлению ЭДС источника Е1 (рис. 2.2) потенциал точки c оказывается выше (больше), чем потенциал точки d, на значение ЭДС источника Е1. При перемещении от точки c к точке b и далее к точке a потенциал точки a оказывается выше (больше) на величину падения напряжения на резисторах R2 и R1, соответственно, т.е.
Таким образом с учетом вышеизложенного:
напряжение на участке цепи между точками a и f равно:
В общем случае напряжение на участке цепи равно сумме падений напряжения на резистивных элементах цепи и сумме ЭДС источников.
Положительное направление напряжения показывают стрелкой от а к f. Согласно определению , поэтому т.е. изменение чередования (последовательности) индексов равносильно изменению знака этого напряжения.
Законы Кирхгофа
Первый закон Кирхгофа (уравнение электрического состояния для узла) можно сформулировать двояко:
1) алгебраическая сумма токов, входящих в любой узел схемы (рис.2.3,а), равна нулю:
2) сумма токов, входящих в любой узел схемы (рис.2.3,б), равна сумме токов выходящих из этого узла:
Физически первый закон Кирхгофа означает, что движение зарядов в цепи происходит так, что ни в одном из узлов они не скапливаются.
Второй закон Кирхгофа (уравнение электрического состояния контура) также можно сформулировать двояко:
1) алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС вдоль того же контура:
(в каждую из сумм соответствующие слагаемые входят со знаком плюс, если они совпадают с направлением обхода контура, и со знаком минус, если они не совпадают с ним);
2) алгебраическая сумма напряжений (не падений напряжения!) вдоль любого замкнутого контура равна нулю:
Напряжения участков цепи включают и падения напряжения на резистивных элементах и напряжения на источниках ЭДС.
Для левого контура схемы рис.2.4
Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений.
Параллельное и последовательное соединение двухполюсников
Последовательное соединение резистивных элементов
Результирующее падение напряжения на цепи (рис. 2.5) из n последовательно включенных резистивных элементов:
В цепи существует общий ток .
Для линейных резистивных элементов:
где эквивалентное сопротивление цепи из n последовательно соединенных резистивных элементов:
Для нелинейных резистивных элементов НЭ1 и НЭ2 результирующая ВАХ эквивалентного резистивного элемента определяется графическим способом (рис. 2.6).
В интересующем диапазоне токов (соответствующем участку ВАХ нелинейного элемента) задаются несколькими значениями токов (). Для каждого из выбранных значений тока, например , определяют результирующее напряжение на последовательно включенных элементах:
На уровне каждой из ординат откладывают найденные значения абсцисс . Результирующую ВАХ получают, проводя линию через найденные точки.
Параллельное соединение резистивных элементов
При параллельном соединении двухполюсных элементов (рис. 2.7) на их полюсах будет общее падение напряжения .
Общий ток , для n параллельно включенных двухполюсных элементов
Для линейных двухполюсных элементов ток через k-тый резистивный элемент , где – проводимость k-того резистивного элемента. Таким образом общий ток
где эквивалентная проводимость равна сумме проводимости параллельно включенных двухполюсных элементов.
В частном случае для двух элементов эквивалентная проводимость , или эквивалентное сопротивление
Для нелинейных резистивных элементов НЭ1 и НЭ2 результирующая ВАХ эквивалентного резистивного элемента определяется графическим способом (рис. 2.8).
В интересующем диапазоне напряжений (соответствующем участку ВАХ нелинейного элемента) задаются несколькими значениями напряжений (). Для каждого из выбранных значений напряжения, например , определяют результирующий (суммарный) ток через параллельно включенные элементы:
На уровне каждой из абсцисс откладывают найденные значения ординат . Результирующую ВАХ получают проводя линию через найденные точки.
Последовательное и параллельное соединение линейных индуктивных элементов
При последовательном соединении n линейных индуктивных элементов их результирующая индуктивность определяется
При параллельном соединении n линейных индуктивных элементов их результирующая индуктивность определяется
Последовательное и параллельное соединение линейных емкостных элементов
При последовательном соединении n линейных емкостных элементов их результирующая емкость определяется
При параллельном соединении n линейных емкостных элементов их результирующая емкость определяется
Разводка электрических схем
До сих пор мы анализировали схемы с одной батареей и одним резистором, не учитывая соединительные провода между компонентами при формировании полной цепи. Имеет ли значение для наших расчетов длина провода или «форма» цепи? Давайте посмотрим на несколько принципиальных схем и выясним это.
Рисунок 1 – Пара схем
Когда мы рисуем провода, соединяющие точки в электрической цепи, мы обычно предполагаем, что эти провода имеют незначительное сопротивление. Таким образом, они не вносят заметного влияния в общее сопротивление цепи, и поэтому единственное сопротивление, с которым нам приходится иметь дело, – это сопротивление компонентов. В приведенных выше схемах единственное сопротивление вносится резисторами 5 Ом, поэтому это всё, что мы будем учитывать в наших расчетах. В реальной жизни металлические провода на самом деле также обладают сопротивлением (как и источники питания!), но эти сопротивления, как правило, намного меньше, чем сопротивление других компонентов схемы, и поэтому их можно без опасений игнорировать. Исключения из этого правила составляют разводка мощных систем, где даже очень небольшое сопротивление проводника может вызвать значительные падения напряжения при обычных (в этом случае высоких) уровнях силы тока.
Электрически общие точки в цепи
Если сопротивление соединительного провода очень мало или отсутствует, мы можем рассматривать соединенные этим проводом точки в цепи как электрически общие. То есть точки 1 и 2 в приведенных выше цепях могут быть физически близко друг к другу или далеко друг от друга, но это не имеет значения для любых измерений напряжения или сопротивления относительно этих точек. То же самое касается точек 3 и 4. Это как если бы выводы резистора были подключены непосредственно к клеммам батареи для всего, что касается наших расчетов по закону Ома и измерений напряжения. Это полезно знать, потому что это означает, что вы можете заново нарисовать принципиальную схему или повторно развести схему, по желанию сокращая или удлиняя провода, не оказывая заметного влияния на работу схемы. Важно только то, что компоненты соединяются друг с другом в одинаковой последовательности.
Это также означает, что измерения напряжения между наборами «электрически общих» точек будут одинаковыми. То есть напряжение между точками 1 и 4 (непосредственно на батарее) будет таким же, как напряжение между точками 2 и 3 (непосредственно на резисторе). Внимательно посмотрите на следующую схему и попытайтесь определить, какие точки являются общими друг для друга:
Рисунок 2 – Запутанный путь в формировании полной схемы
Здесь у нас есть только 2 компонента, не считая проводов: батарея и резистор. Хотя соединительные провода образуют законченную цепь извилистым путем, на пути тока есть только несколько электрически общих точек. Точки 1, 2 и 3 являются общими друг для друга, потому что они напрямую связаны между собой проводом. То же самое и с точками 4, 5 и 6.
Напряжение между точками 1 и 6 составляет 10 вольт, идущее прямо от батареи. Однако, поскольку точки 5 и 4 являются общими для 6, а точки 2 и 3 являются общими для 1, те же 10 вольт также присутствуют и между этими другими парами точек:
Поскольку электрически общие точки соединены вместе проводом (нулевого сопротивления), между ними нет значительного падения напряжения, независимо от величины тока, проводимого через этот соединительный провод от одной физической точки к другой. Таким образом, если бы мы измеряли напряжения между общими точками, мы должны были бы измерить (практически) ноль:
Расчет падения напряжения по закону Ома
Это также имеет смысл математически. С батареей на 10 В и резистором 5 Ом ток в цепи будет 2 ампера. Если сопротивление провода равно нулю, падение напряжения на любом непрерывном участке провода можно определить с помощью закона Ома:
Должно быть очевидно, что рассчитанное падение напряжения на любом непрерывном отрезке провода в цепи, где предполагается, что провод имеет нулевое сопротивление, всегда будет равно нулю, независимо от величины тока; поскольку ноль, умноженный на что-либо, равен нулю. Поскольку общие точки в цепи будут показывать одинаковые результаты измерений напряжения и сопротивления, то провода, соединяющие общие точки, часто имеют одно и то же обозначение. Это не означает, что точки подключения клемм имеют одинаковую маркировку, только соединительные провода. Возьмем для примера эту схему:
Рисунок 3 – Соединительные провода
Точки 1, 2 и 3 являются общими друг для друга, поэтому провод между точками 1 и 2 обозначен так же (провод #2), как провод, соединяющий точки 2 и 3 (провод #2). В реальной схеме провод, тянущийся от точки 1 до 2, может даже быть не того же цвета или размера, что и провод, соединяющий точки 2 и 3, но они должны иметь одинаковые метки. То же самое касается проводов, соединяющих точки 6, 5 и 4.
Падение напряжения между общими точками должно равняться нулю
Знание того, что электрически общие точки имеют нулевое падение напряжения, является ценным принципом поиска и устранения неисправностей. Если я измеряю напряжение между точками в цепи, которые должны быть общими друг для друга, я должен получить значение ноль. Однако если я обнаружил значительное напряжение между этими двумя точками, то я могу с уверенностью сказать, что они не могут быть соединены вместе напрямую. Если эти точки должны быть электрически общими, но показания вольтметра говорят другое, то я знаю, что в схеме есть неисправность, а именно «разрыв» между этими точками.
Нулевое напряжение технически означает незначительное напряжение
Последнее замечание: для большинства практических целей можно предположить, что проводники имеют нулевое сопротивление. Однако в действительности по длине провода всегда будет присутствовать какое-то небольшое сопротивление, если только это не провод из сверхпроводника. Зная это, мы должны иметь в виду, что изученные здесь принципы в отношении общих электрических точек корректны в значительной степени, но не в абсолютной. То есть правило, согласно которому электрически общие точки гарантированно имеют нулевое напряжение между ними, более точно сформулировано следующим образом: электрически общие точки будут иметь очень маленькое падение напряжения между ними. Это небольшое, практически неизбежное сопротивление, обнаруживаемое в любом куске соединительного провода, при прохождении тока должно создавать маленькое падение напряжения по всей его длине. Пока вы понимаете, что эти правила основаны на идеальных условиях, вы не будете недоумевать, когда столкнетесь с каким-либо условием, которое может показаться исключением из правила.
7. Определение напряжения между двумя точками электрической цепи
Прежде всего необходимо показать на схеме или мысленно представить стрелку этого напряжения. Её направление определяется порядком следования индексов у буквы . Для напряжения она направлена отточки m к точке n. Если мы меняем местами индексы у буквы , то следует изменить и направление стрелки на схеме. При этом при расчете меняется знак полученного напряжения, так как .
Дальше записываются уравнения по второму закону Кирхгофа для любого контура, включающего в себя эту стрелку, как было сделано при расчете напряжений и . Так, для контура m31nm при обходе его по часовой стрелке
.
. (7.1)
При соответствующем навыке последняя формула может быть записана сразу, без составления уравнения второго закона Кирхгофа.
В указанном контуре напряжение складывается из трех напряжений:
. (7.2)
Порядок индексов у букв U соответствует порядку, в котором мы проходим участок электрической цепи, идя от точки m к точке n по элементам , и .
Теперь находим значение каждого слагаемого в последнем уравнении.
Величина , определяющая напряжение между точками m и 3, представляет собой падение напряжения на сопротивлении , которое мы должны взять со знаком минус, так как от точки m к точке 3 мы идем против тока :
.
.
Здесь в правой части уравнения стоит плюс, так как мысленная стрелка напряжения и ток направлены в одну сторону.
Третье слагаемое представляет собой напряжение на зажимах источника. Если внутреннее сопротивление последнего равно нулю, то это напряжение по величине равно ЭДС, а знак его зависит от взаимного направления стрелок напряжения и ЭДС (рис. 7.1).
Рис. 7.1. Напряжение на зажимах источника
Рассмотрим рис. 7.1.
При указанной на схеме полярности зажимов источника потенциал точки b выше потенциала точки a на величину ЭДС:
.
Поэтому при одинаковых направлениях стрелок и (рис. 7.1, а)
.
Если направления стрелок и противоположны друг другу (рис. 7.1, б), то
.
С учетом сказанного напряжение на участке 1n (см. рис. 2.1) равно
.
Подставляя найденные значения напряжений на участках в формулу (7.2), приходим к выражению (7.1).
То же самое напряжение, определяемое по участку m2n, будет равно
.
Разумеется, вычисление одного и того же напряжения по двум различным формулам должно привести к одинаковым результатам.
8. Построение графиков
8.1. Общие требования к оформлению графиков. Зависимость мощности от тока
Правила построения графиков рассмотрим на примере зависимости мощности Р1, выделяющейся в сопротивлении первой ветви, от тока I1 в этой ветви. Эта зависимость определяется уравнением баланса мощностей в схеме рис. 6.1, в:
.
Так как , то
. (8.1)
Это – уравнение параболы со смещенной вершиной и направленными вниз ветвями (рис. 8.1).
Значения тока, при которых парабола пересекает горизонтальную ось, находятся из уравнения
и соответственно равны
и .
По смыслу – это ток, протекающий в схеме рис. 6.1, в при закороченном сопротивлении . При токе, равном половине этого значения, мощность максимальна:
.
Предположим, что параметры цепи на рис. 6.1, в имеют следующие численные значения:
= 72,4 В; = 130 В; = 43,6 Ом.
Прежде всего находим максимальные значения абсциссы и ординаты, которые будут определять размеры графика. В нашем примере – это значения и :
;
.
Исходя из этих величин и предполагаемых размеров графика, выбираем масштаб, который указываем на каждой оси графика в виде равномерной шкалы.
В одной единице длины (сантиметре, миллиметре) может содержаться m × 10 n именованных единиц. Здесь n – целое число, положительное или отрицательное, а для mрекомендуются числа 1, 2, 5.
Положительные значения величин откладываются вправо по оси абсцисс и вверх по оси ординат.
В конце каждой оси ставится буквенное обозначение откладываемой величины и через запятую – ее единица измерения.
Если график строится на белой (нелинованной) бумаге, то чертится масштабная сетка.
Данные для построения графика рассчитываем по формуле (8.1) и сводим их в таблицу (табл. 8.1).
Данные для построения графика
, А