Какие силы в электродинамике носят центральный характер

Основные понятия электродинамики

Электрическое поле — одна из составляющих электромагнитного поля; особый вид материи, существующий вокруг тел или частиц, обладающих электрическим зарядом, а также в свободном виде при изменении магнитного поля (например, в электромагнитных волнах). Электрическое поле непосредственно невидимо, но может наблюдаться благодаря его силовому воздействию на заряженные тела.

Для количественного определения электрического поля вводится силовая характеристика — напряжённость электрического поля.

Напряжённостью электрического поля называют векторную физическую величину, равную отношению силы, с которой поле действует на положительный пробный заряд, помещённый в данную точку пространства, к величине этого заряда. Направление вектора совпадает в каждой точке пространства с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд.

В классической физике, применимой при рассмотрении крупномасштабных (больше размера атома) взаимодействий, электрическое поле рассматривается как одна из составляющих единого электромагнитного поля и проявление электромагнитного взаимодействия.

В классической физике система уравнений Максвелла описывает взаимодействие электрического поля, магнитного поля и воздействие зарядов на эту систему полей.

Сила Лоренца описывает воздействие электромагнитного поля на частицу.

Эффект поля заключается в том, что при воздействии электрического поля на поверхность электропроводящей среды в её приповерхностном слое изменяется концентрация свободных носителей заряда. Этот эффект лежит в основе работы полевых транзисторов.

Основным действием электрического поля является силовое воздействие на неподвижные (относительно наблюдателя) электрически заряженные тела или частицы. Если заряженное тело фиксировано в пространстве, то оно под действием силы не ускоряется. На движущиеся заряды силовое воздействие оказывает и магнитное поле (вторая составляющая силы Лоренца).

Электродинамика — раздел физики, изучающий электромагнитное поле в наиболее общем случае (то есть, рассматриваются переменные поля, зависящие от времени) и его взаимодействие с телами, имеющими электрический заряд (электромагнитное взаимодействие).

Предмет электродинамики изучает связь электрических и магнитных явлений, электромагнитное излучение (в разных условиях, как свободное, так и в разнообразных случаях взаимодействии с веществом), электрический ток (вообще говоря, переменный) и его взаимодействие с электромагнитным полем (электрический ток может быть рассмотрен при этом как совокупность движущихся заряженных частиц). Любое электрическое и магнитное взаимодействие между заряженными телами рассматривается в современной физике как осуществляющееся через посредство электромагнитного поля, и, следовательно, также является предметом электродинамики.

Чаще всего под термином электродинамика по умолчанию понимается классическая (не затрагивающая квантовых эффектов) электродинамика; для обозначения современной квантовой теории электромагнитного поля и его взаимодействия с заряженными частицами обычно используется устойчивый термин квантовая электродинамика.

Основные понятия, которыми оперирует электродинамика, включают в себя:

Электромагнитное поле — это основной предмет изучения электродинамики, вид материи, проявляющийся при взаимодействии с заряженными телами. Исторически разделяется на два поля:

Электрическое поле — создаётся любым заряженным телом или переменным магнитным полем, оказывает воздействие на любое заряженное тело.

Магнитное поле — создаётся движущимися заряженными телами, заряженными телами, имеющими спин, и переменными электрическими полями, оказывает воздействие на движущиеся заряды и заряженные тела, имеющие спин.

Электрический заряд — это свойство тел, позволяющее им взаимодействовать с электромагнитными полями: создавать эти поля, будучи их источниками, и подвергаться (силовому) действию этих полей.

Электромагнитный потенциал — 4-векторная физическая величина, полностью определяющая распределение электромагнитного поля в пространстве. Выделяют:

Электрический потенциал — четырёхмерный вектор. временна́я компонента (X,Y, Z, t)

Векторный потенциал — трёхмерный вектор, образованный оставшимися компонентами четырёхмерного вектора.

Вектор Пойнтинга — векторная физическая величина, имеющая смысл плотности потока энергии электромагнитного поля.

Основные уравнения

Основными уравнениями, описывающими поведение электромагнитного поля и его взаимодействие с заряженными телами являются:

1. Уравнения Максвелла, определяющие поведение свободного электромагнитного поля в вакууме и среде, а также генерацию поля источниками. Среди этих уравнений можно выделить:

2. Теорема Гаусса (закон Гаусса) для электрического поля, определяющая генерацию электростатического поля зарядами.

Закон замкнутости силовых линий магнитного поля (соленоидальности магнитного поля); он же — закон Гаусса для магнитного поля.

3. Закон индукции Фарадея, определяющий генерацию электрического поля переменным магнитным полем. Открыт в 1831 М Фарадеем

ЭДС индукции Е в контуре прямо пропорционален скорости изменения во времени магнитного потока Ф через поверхность S, ограниченную контуром.

4. Закон Ампера — Максвелла — теорема о циркуляции магнитного поля с добавлением токов смещения, введённых Максвеллом, определяет генерацию магнитного поля движущимися зарядами и переменным электрическим полем.

Сила Лоренца определяет силу F, действующую на заряд e, находящийся в электрическом поле Е и магнитном поле, напряженностью В, и двигающийся со скоростью v

c – коэффициент, зависящий от единиц размерности

Закон Джоуля — Ленца, определяющий количество теплоты, выделяющееся в проводнике с сопротивлением R при прохождении по нему электрического тока силой I за время t.

Если ток выражается в амперах, сопротивление R в омах, время t в секундах, то при а=1 Q выражается в джоулях, при а = 0,239 Q выражается в калориях.

Частными уравнениями, имеющими особое значение, являются:

Закон Кулона — в электростатике — закон, определяющий величину электрического поля (напряженность и/или потенциал) точечного заряда; законом Кулона называется также формула, определяющая силу (или потенциальную энергию) электростатического взаимодействия двух точечных зарядов.

Сила взаимодействия заряженных неподвижных тел (или взаимодействия точечных электрических зарядов q), размерами которых можно пренебречь по сравнению с расстоянием между ними, прямо пропорциональна значениям их зарядов q и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними.

F = k (q1 * q2) / r 2

Закон Био — Савара

Отрезок проводника длиной Δl, по которому течёт электрический ток величиной I, создаёт в точке М, находящейся на расстоянии r напряжённость магнитного поля ΔН

Закон Ампера, определяет силу, действующую на проводник, помещённый в магнитное поле В, по которому протекает ток величиной I.

Δl − отрезок проводника, по которому течёт ток I;

В − величина магнитной индукции;

φ − угол между проводником и направлением магнитного поля

Теорема Пойнтинга, выражает собой закон сохранения энергии в электродинамике.

Закон Ома — открыт в 1826 году, это физический закон, определяющий связь между напряжением, силой тока и сопротивлением проводника в электрической цепи. Назван в честь его первооткрывателя Георга Ома.

Формулировка закона Ома

Сила тока в участке цепи прямо пропорциональна напряжению, и обратно пропорциональна электрическому сопротивлению данного участка цепи.

Закон Ома записывается формулой: ,

где: I — сила тока (А),

U — напряжение (В),

R — сопротивление (Ом).

Закон Ома для участка электрической цепи имеет вид:

или или

U — напряжение или разность потенциалов,

Схема, иллюстрирующая три составляющие закона Ома

Диаграмма, помогающая запомнить закон Ома. Нужно закрыть искомую величину, и два других символа дадут формулу для её вычисления

Закон Ома также применяется ко всей цепи, но в несколько изменённой форме:

Особенности электродинамики как раздела физической науки

Пост посвящен особенностям электродинамики, всё подробно рассмотрено.

Для выявления особенностей электродинамики как раздела физической науки следует рассмотреть историю развития электродинамики, показать борьбу физических идей при смене механической картины мира электродинамической картиной мира.

Принципиальным при рассмотрении особенностей электродинамики является то, что электромагнитные взаимодействия специфичны и не сводимы к механическим.

Классическая механика исходила из принципа дальнодействия и представления о мгновенной передаче этого действия. В случае же электромагнитного взаимодействия, как показало развитие науки, необходимо исходить из принципа близкодействия, при этом учитывать конечную скорость передачи действия. Если бы справедлив был принцип дальнодействия, то в электродинамике основным понятием был бы электрический заряд q, а поле являлось всего лишь вспомогательным понятием. В действительности без понятия электромагнитного поля (совместно с понятием электрического заряда q) нет электродинамики. В решении этих важнейших для электродинамики вопросов существенную роль сыграли работы М. Фарадея, а определяющую — работы Дж. К. Максвелла.

В электродинамике рассматривают следующие силы:

1. Сила, характеризующая взаимодействие покоящихся зарядов: (для вакуума);

она носит центральный характер, зависит от расстояния между взаимодействующими зарядами и не зависит от скорости.

2. Сила взаимодействия тока и магнитной стрелки [1] (опыт Эрстеда); она зависит не только от расстояния между взаимодействующими объектами, но и от силы тока, которая, в свою очередь, зависит от скорости движения заряженных частиц заряда.

3. Сила, характеризующая взаимодействие двух параллельны проводников с токами; она не является центральной. Эта сила пропорциональна силе тока в проводниках (а значит, заряду и скорости его движения) и обратно пропорциональна расстоянии между ними.

4. Сила, действующая на движущийся заряд со стороны магнитного поля. Она зависит от скорости движения заряда, но не является центральной.

Во всех случаях говорится о скорости частиц относительно какой-то системы отсчета, именно это и учитывают в электродинамике. В электродинамике рассматривают силы, которые зависят не только от расстояний, но и от скорости движения зарядов в выбранной системе отсчета. Подобные силы в механике Ньютона не рассматривали.

Длительное время электрические и магнитные явления изучались в историческом порядке, при этом главное внимание обращалось на токи и их взаимодействие, на заряды и их взаимодействие, но не подчеркивалась специфика этих явлений и взаимодействий. Постепенно сложилось учение об электричестве и магнетизме. По современным представлениям, нет отдельных учений об электричестве и магнетизме, а есть электродинамика, объединившая их, причем не путем простого суммирования, а исходя из принципиально важных для этих явлений подходов. Она не только описывает эти явления, но и дает им современное объяснение. Поэтому при изучении основ электродинамики не следует постепенно накапливать факты, а потом, в конце, давать им объяснение, надо принципиальные особенности электродинамики показывать как можно раньше, из них все время исходить, всюду учитывать.

Эти особенности в основном сводятся к тому, что электромагнитные взаимодействия специфичны, для их объяснения следует исходить из принципа близкодействия и учитывать конечную скорость передачи действия.

[1] На магнитную стрелку, имеющую два полюса, действует пара сил. Поэтому стрелка и поворачивается.

Примеры центральных сил: подробные факты

В этой статье мы собираемся кратко обсудить некоторые примеры центральных сил и понять подробные факты.

Ниже приводится список примеров центральной силы:

Равномерное круговое движение:

Если объект движется по круговой траектории без изменения своей скорости, то говорят, что объект движется равномерно по кругу. Ускорение объекта происходит из-за изменяющейся скорости, которая наблюдается в основном потому, что направление составляющей скорости продолжает изменяться, поскольку сила касается круговой траектории объекта. Хотя скорость объектов меняется в зависимости от касательной силы, скорость объектов остается той же.

Если скорость объекта немного снизится, объект будет ускоряться внутрь. Это потому, что сила направлена к центру, который перпендикулярен движению объекта.

Ускорение за счет кругового движения равно

Следовательно, сила, действующая на объект

Равномерное круговое движение;
Изображение Фото: Стек бирже

Ярмарочных езды:

примеры центральной силы

Ярмарочных езды; Кредит изображения: Города-побратимы

Вы, должно быть, сталкивались с ярмаркой аттракционов в парках развлечений. Он состоит из стульев, подвешенных на веревках, прикрепленных к круглому большому диску в центре. Когда этот диск вращается, прикрепленные к нему струны будут вращаться вместе с человеком, сидящим на стуле, в круговых движениях.

У аттракциона нет равномерного кругового движения, поскольку скорость не постоянна, а направление скорости постоянно меняется. В то время как сила направлена к центру, а скорость человека, сидящего на стуле, перпендикулярна направлению силы. Это центростремительная сила, и из-за центростремительной силы в проводе, прикрепленном к креслу, создается натяжение, которое уравновешивает как центростремительную силу, так и силу тяжести.

Автомобиль поворачивает по круговой дорожке:

Смотрите исходное изображение

Автомобиль разворачивается;
Изображение Фото: научный. возобновляемый

Когда автомобиль поворачивает по круговой траектории, центральная сила действует внутрь, чтобы нейтрализовать центробежную силу, действующую наружу. Сила трения между шинами и металлической дорогой создает центростремительную силу, необходимую автомобилю для поворота.

циклотрон:

Циклотрон работает по принципу электромагнетизма, который имеет как электрическое, так и магнитное поля, перпендикулярные друг другу, и заряженные частицы ускоряются в этом поле для достижения высоких энергий. Он состоит из двух дисков полукруглой D-образной формы, называемых Dees.

Частоты вращающихся внутри циклотрона частиц не зависят от энергий, связанных с частицами. Когда частица высвобождается внутри циклотрона, электромагнитное поле позволяет частице двигаться по круговой траектории внутри обоих Ди. Частица ускоряется за счет электрического поля. Ускорение частицы увеличивает энергию частицы. С увеличением энергии увеличивается и радиус кругового пути, пройденного частицей. Магнитное поле заставляет частицы совершать круговое движение.

Gravitron:

Поездка на гравитроне — еще одно увлекательное занятие в парке развлечений. Человека ставят напротив цилиндрической стены, и постепенно скорость гравитрона увеличивается. Когда скорость вращения гравитрона становится очень высокой, пол под стоящим на нем человеком удаляется, но, что удивительно, всадник остается прикрепленным к стене гравитрона.

Наездник, стоящий внутри гравитрона, испытывает центробежную силу, которая в три раза превышает силу, создаваемую гравитацией, что позволяет гонщикам оставаться прикрепленными к стенке гравитрона, а не падать при удалении пола под ним.

Потолочные вентиляторы:

Вращение гребных винтов зависит от ротора, к которому они прикреплены. Ротор работает по принципу электромагнетизма. По мере протекания тока в катушке в катушке индуцируется магнитное поле, которое создает крутящий момент вокруг оси ротора. Магниты в роторе вентилятора отталкиваются статором, что помогает увеличить скорость вращения ротора. Ротор и статор отталкиваются друг от друга в каждом цикле. Круговое движение ротора заставляет лопасти вентилятора двигаться равномерно по кругу. Следовательно, это также один из примеров центральной силы.

Мельница:

Смотрите исходное изображение

Вращение лопастей ветряка; Кредиты изображений: турбогенератор

мельницы преобразовывать энергию ветра в электрическую энергия; а также используются для помола зерна, извлечения масла из семян, откачки воды из-под земли и т.д.

Когда лопасти движутся, когда скорость ветра достаточна для движения лопастей, вал начинает вращаться, производя механическую энергию из энергии ветра. Двигатель помогает увеличить количество оборотов в секунду, который затем подключается к генератору для преобразования полученной механической энергии в электрическую. движение лопастей ветряных мельниц является примером центральной силы. Скорость лопасти находится на круговой траектории, а центральная сила, действующая по направлению к центру, заставляет двигатель вращаться с высокой скоростью.

Движение электронов вокруг ядра:

Объемная масса, составляющая атом, сосредоточена в центре, называемом ядром атома, а более легкие массы вращаются вокруг ядра атома.

Масса протона m_p = 1.67 * 10 -27

Масса нейтрона m_n = 1.76 * 10 -27

Масса электрона m_e = 9.1 * 10 -31

Масса электрона очень мала по сравнению с протоном и нейтроном. Электрон является отрицательно заряженной частицей, и протоны добавляют положительный заряд внутри ядра, поскольку нейтроны не имеют заряда, разница в зарядах притягивается друг к другу, но длина волны электронов намного больше, чем радиус протона, и, следовательно, электроны и протоны не сталкиваются друг с другом.

Вращающийся электрон связан с центробежной силой, которая уравновешивает силу притяжения между двумя противоположно заряженными частицами и избегает попадания электрона в ядро.

Искусственные спутники Земли:

Спутник вокруг Земли вращается в равномерное круговое движение из-за гравитационного притяжения Земли. Поскольку масса Земли намного больше, чем у спутника, на спутник действует сила, направленная к центру Земли, и скорость спутника остается перпендикулярной направлению силы, которая стремится поддерживать движение спутника по кругу. орбиту вокруг Земли.

Спутник будет совершать равномерное круговое движение вокруг Земли под действием центростремительной силы F=mv 2 /r, которые уравновешивают гравитационную силу и, следовательно,

«v» — это скорость искусственных спутников, вращающихся вокруг планеты Земля.

колесо обозрения:

Колесо обозрения — это гигантское колесо в парках развлечений, которое вращается вверх с помощью шестеренок и двигателей, в то время как гравитация Земли тянет колесо обратно в нормальное положение, и это повторяется. Колесо вращается вокруг центральной оси. Сила из-за центростремительное ускорение который действует по направлению к центру колеса

есть угловое ускорение r — радиус колеса.

Сила, действующая на пассажира, является комбинированным действием центростремительной силы и силы тяжести. масса пассажира меняется в зависимости от центростремительного ускорения и гравитация. Ускорение колеса обозрения; Кредит изображения: RealWorldФизика

Когда колесо перемещается из положения вниз в положение вверх, ему требуется достаточная сила, чтобы двигаться вверх, противодействуя гравитационному притяжению, действующему вниз. Ускорение колеса направлено вверх. Сила, действующая на тело, есть сумма центростремительное ускорение а также гравитационная сила, которая дается как

CodeCogsEqn 6

По мере увеличения высоты от земли потенциальная энергия тела увеличивается, и пассажир чувствует себя тяжелее из-за своего веса.

Достигнув вершины колеса, центростремительное ускорение теперь направлен вниз. Сила, действующая на человека сейчас, будет минимальной, потому что само гравитационное притяжение ускоряет колесо вниз, следовательно, общая сила, действующая на тело, равна .

В этот момент потенциальная энергия преобразуется в кинетическую, и тело свободно ускоряется вниз, не испытывая никакой силы. Это еще можно назвать свободным падением тела. Следовательно, пассажир чувствует себя легче с этого момента до достижения нижней части колеса, где кинетическая энергия тела становится почти нулевой и возобновляет формирование потенциальной энергии.

Миксер Grinder:

Вал вращается за счет муфты двигателя на основном блоке и в основании размольного стакана. С вращающимся валом лезвие, прикрепленное к валу, также вращается и помогает измельчать смесь. Вращение лезвия связано с центральной осью силы на валу. Вращение лезвий заставляет частицы пищи совершать круговое движение; это создает вакуум в центре и перемещает частицы к стенкам банки.

Что такое центральная сила

Сила, действующая на частицу или объект, направленная к фиксированной точке в центре вдоль линии, соединяющей объект в пространстве, и величина силы зависит от расстояния между объектом и фокусом, называется центральной силой.

Он действует только на линии, соединяющей два объекта, взаимодействующих друг с другом, и действует в центре двух тел.

Угловой момент, которым обладает объект на круговой траектории, постоянен. Общая работа, выполняемая объектом в движении, равна нулю, и, следовательно, общая энергия постоянна. Следовательно, это консервативная сила.

Центральная сила такая же, как центростремительная сила, которая представляет собой силу, действующую на объект перпендикулярно его скорости, и испытывает тангенциальную силу, которая стремится удерживать объект на круговой траектории.

Часто задаваемые вопросы

Центральная сила — это сила контакта?

Когда сила применяется к любому объекту в результате физического контакта с этим телом, это называется контактной силой, следовательно, центральная сила не может быть контактной силой.

Центральная сила — это когда сила действует по направлению к центру между объектами в фокусе в пространстве. Это связано с полем или силой притяжения между объектами, разделенными расстоянием.

Электромагнитная сила — это центральная сила?

Электромагнитная сила — это центральная сила.

Частица в магнитном поле движется в направлении, перпендикулярном силе, которая отвечает за круговое движение частицы, присутствующей в поле. Сила действует по направлению к центру этого кругового пути, достигаемого движущейся частицей.

Какие силы в электродинамике носят центральный характер

В этой статье мы собираемся кратко обсудить некоторые примеры центральных сил и понять подробные факты.

Ниже приводится список примеров центральной силы:

Равномерное круговое движение:

Ускорение за счет кругового движения равно

Следовательно, сила, действующая на объект

Равномерное круговое движение;
Изображение Фото: Стек бирже

Ярмарочных езды:

примеры центральной силы

Ярмарочных езды; Кредит изображения: Города-побратимы

Автомобиль поворачивает по круговой дорожке:

Смотрите исходное изображение

Автомобиль разворачивается;
Изображение Фото: научный. возобновляемый

циклотрон:

Gravitron:

Потолочные вентиляторы:

Мельница:

Смотрите исходное изображение

Вращение лопастей ветряка; Кредиты изображений: турбогенератор

Движение электронов вокруг ядра:

Масса протона m_p = 1.67 * 10 -27

Масса нейтрона m_n = 1.76 * 10 -27

Масса электрона m_e = 9.1 * 10 -31

Искусственные спутники Земли:

«v» — это скорость искусственных спутников, вращающихся вокруг планеты Земля.

колесо обозрения:

есть угловое ускорение r — радиус колеса.

Миксер Grinder:

Что такое центральная сила

Часто задаваемые вопросы

Центральная сила — это сила контакта?

Электромагнитная сила — это центральная сила?

Электромагнитная сила — это центральная сила.

Классическая задача центральной силы — Classical central-force problem

В классической теории потенциала проблема центральной силы заключается в том, чтобы определить движение частицы в единственном центральном потенциальном поле. Центральная сила — это сила (возможно, отрицательная), которая направлена от частицы прямо к фиксированной точке в пространстве, центру, и величина которой зависит только от расстояния объекта до центра. Во многих важных случаях проблема может быть решена аналитически, т. Е. С помощью хорошо изученных функций, таких как тригонометрические функции.

Решение этой проблемы важно для классической механики, поскольку многие естественные силы являются центральными. Примеры включают гравитацию и электромагнетизм, описанные законом всемирного тяготения Ньютона и законом Кулона соответственно. Проблема важна еще и потому, что некоторые более сложные задачи классической физики (такие как задача двух тел с силами вдоль линии, соединяющей два тела) могут быть сведены к задаче центральной силы. Наконец, решение проблемы центральной силы часто дает хорошее начальное приближение к истинному движению, как при вычислении движения планет в Солнечной системе.

Содержание

1 Основы
- 1.1 Определение центральной силы
- 1.2 Потенциальная энергия
- 1.3 Одномерная задача
- 1.4 Равномерное круговое движение
- 1.5 Связь с классической задачей двух тел
- 2.1 Плоское движение
- 2.2 Полярные координаты
- 2.3 Удельный угловой момент
- 2.4 Постоянная пространственная скорость
- 2.5 Эквивалентное параллельное силовое поле
- 3.1 Уравнение Бине
- 3.2 Орбита частицы
- 3.3 Точки поворота и замкнутые орбиты
- 4.1 Проблема Кеплера
- 4.2 Центральные силы с точными решениями
- 4.3 Вращающиеся орбиты
- 5.1 Вывод Ньютона
- 6.1 Лагранжева механика
- 6.2 Гамильтонова механика
- 6.3 Гамильтон-Якоби е quation
Основы

Суть проблемы центральной силы состоит в том, чтобы решить положение rчастицы, движущейся под действием центральной силы F, либо как функция времени t, либо как функция угла φ относительно центра силы и произвольного ось.

Определение центральной силы

Центральная сила притяжения, действующая на тело в положении P (показано красным). По определению, центральная сила должна указывать либо на фиксированную точку O (если она притягивает), либо в сторону от нее (если отталкивает).

Консервативная центральная сила F имеет два определяющих свойства. Во-первых, он должен направлять частицы либо прямо к, либо прямо от фиксированной точки в пространстве, центра силы, который часто обозначается O . Другими словами, центральная сила должна действовать вдоль линии, соединяющей O с текущим положением частицы. Во-вторых, консервативная центральная сила зависит только от расстояния r между O и движущейся частицей; он не зависит явно от времени или других дескрипторов положения.

Это двойное определение может быть выражено математически следующим образом. Центр силы O может быть выбран в качестве начала системы координат. Вектор r, соединяющий O с текущим положением частицы, известен как вектор положения . Следовательно, центральная сила должна иметь математическую форму

где r — величина вектора | r | (расстояние до центра силы) и r̂= r/ r — это соответствующий единичный вектор. Согласно второму закону движения Ньютона, центральная сила F создает параллельное ускорение a, масштабируемое массой m частицы

Для сил притяжения F (r) отрицательно, потому что оно сокращает расстояние r до центра. И наоборот, для сил отталкивания F (r) положительно.

Потенциальная энергия

Если центральная сила является консервативной силой, то величина F (r) центральной силы всегда может быть выражена как производная от времени -независимая потенциальная энергия функция U (r)

Таким образом, полная энергия частицы — сумма ее кинетической энергии и ее потенциальной энергии U — является постоянной величиной; энергия называется сохраненной. Чтобы показать это, достаточно того, что работа W, выполняемая силой, зависит только от начального и конечного положений, а не от пути, пройденного между ними.

W знак равно ∫ р 1 р 2 F ⋅ dr = ∫ r 1 r 2 F (r) r ^ ⋅ dr = ∫ r 1 r 2 F dr = U (r 1) — U (r 2) _ > ^ _ > \ mathbf \ cdot d \ mathbf = \ int _ _ > ^ _ > F (r) >> \ cdot d \ mathbf = \ int _ > ^ > Fdr = U (r_ ) — U (r_ )>

Эквивалентно, достаточно, чтобы curl силового поля F равно нулю; используя формулу для локона в сферических координатах,

, поскольку частные производные равны нулю для центральной силы; величина F не зависит от угловых сферических координат θ и φ.

Поскольку скалярный потенциал V (r) зависит только от расстояния r до начала координат, он имеет сферическую симметрию. В этом отношении проблема центральной силы аналогична геодезическим Шварцшильда в общей теории относительности и квантово-механической трактовке частиц в потенциалах сферическая симметрия.

Одномерная задача

Если начальная скорость v частицы выровнена с вектором положения r, то движение навсегда останется на линии определяется r . Это следует потому, что сила — а по второму закону Ньютона также ускорение a — также совпадает с r . Чтобы определить это движение, достаточно решить уравнение

Один из методов решения — использовать сохранение полная энергия

Взяв обратное и интегрируя, получаем:

В оставшейся части статьи предполагается, что начальная скорость v частицы не выровнена с вектором положения r, то есть, что вектор углового момента L= r× m v не равен нулю.

Равномерное круговое движение

Каждая центральная сила может вызывать равномерное круговое движение при условии, что начальный радиус r и скорость v удовлетворяют уравнению для центростремительной силы

Если это уравнение выполняется в начальные моменты, оно будет выполняться во всех последующих случаях; частица будет продолжать двигаться по кругу радиуса r со скоростью v бесконечно.

Связь с классической задачей двух тел

Положения x1и x2двух тел могут быть выражены через их относительное расстояние r и положение их центр масс Rcm.

Проблема центральной силы касается идеальной ситуации («проблема одного тела»), в которой одиночная частица притягивается или отталкивается от неподвижной точки O, центра силы. Однако физические силы обычно действуют между двумя телами; и по третьему закону Ньютона, если первое тело прикладывает силу ко второму, второе тело прикладывает равную и противоположную силу к первому. Следовательно, оба тела ускоряются, если между ними присутствует сила; нет совершенно неподвижного центра силы. Однако, если одно тело в подавляющем большинстве массивнее другого, его ускорением относительно другого можно пренебречь; центр более массивного тела можно рассматривать как приблизительно неподвижный. Например, Солнце намного массивнее планеты Меркурий; следовательно, Солнце можно представить как неподвижный центр силы, сводя проблему к движению Меркурия в ответ на силу, приложенную Солнцем. В действительности, однако, Солнце также движется (хотя и незначительно) в ответ на силу, приложенную планетой Меркурий.

Преобразование любой классической задачи двух тел в эквивалентную задачу одного тела. Масса μ одного эквивалентного тела равна приведенной массе двух исходных тел, а его положение r равно разнице их положений.

Однако такие приближения не нужны. Законы движения Ньютона позволяют преобразовать любую классическую задачу двух тел в соответствующую точную задачу одного тела. Чтобы продемонстрировать это, пусть x1и x2будут положениями двух частиц, а r= x1− x2- их относительным положением. Тогда, согласно второму закону Ньютона,

Окончательное уравнение выводится из третьего закона Ньютона ; сила второго тела на первое тело (F21) равна силе первого тела на второе (F12) и противоположна ей. Таким образом, уравнение движения для r можно записать в виде

В качестве частного случая проблема двух тел, взаимодействующих с помощью центральной силы, может быть уменьшена к проблеме центральной силы одного тела.

Качественные свойства

Плоское движение

Иллюстрация плоского движения. Вектор L углового момента постоянен; следовательно, вектор положения r и вектор скорости v должны лежать в желтой плоскости, перпендикулярной к L.

. Движение частицы под действием центральной силы F всегда остается в плоскости, определяемой его начальным положением и скоростью. Это можно увидеть по симметрии. Поскольку положение r, скорость v и сила F лежат в одной плоскости, никогда не бывает ускорения, перпендикулярного этой плоскости, потому что это нарушит симметрия между «над» плоскостью и «под» плоскостью.

Чтобы продемонстрировать это математически, достаточно показать, что угловой момент частицы постоянен. Этот угловой момент Lопределяется уравнением

L = r × p = r × mv = \ mathbf \ times \ mathbf

= \ mathbf \ times m \ mathbf >

где m — масса частицы, а p — ее линейный импульс. Следовательно, вектор углового момента L всегда перпендикулярен плоскости, определяемой вектором положения частицы r и вектором скорости v.

В общем случае скорость изменения углового момента L равняется чистому крутящему моменту r× F

d L dt = r ˙ × mv + r × mv ˙ = v × mv + r × F = r × F, >

> = >> \ times m \ mathbf + \ mathbf \ times m >> = \ mathbf \ times m \ mathbf + \ mathbf \ times \ mathbf = \ mathbf \ times \ mathbf \,>

Первый член m v× vвсегда равен нулю, потому что вектор cross product всегда равен нулю для любых двух векторов, указывающих в одном или противоположных направлениях. Однако, когда F представляет собой центральную силу, оставшийся член r× Fтакже равен нулю, поскольку векторы r и F указывают в одном или противоположных направлениях. Следовательно, вектор L углового момента является постоянным. Тогда

р ⋅ L = р ⋅ (r × p) = p ⋅ (r × r) = 0 \ cdot \ mathbf = \ mathbf \ cdot (\ mathbf \ times \ mathbf

\ cdot (\ mathbf \ times \ mathbf ) = 0>

Следовательно, положение частицы r (и, следовательно, скорость v ) всегда лежит в плоскости, перпендикулярной L.

полярным координатам

Вектор положения r точки P в плоскость может быть задана расстоянием r от центра (начало координат O ) и ее азимутальным углом φ. Декартовы компоненты вектора x и y равны r cos φ и r sin φ соответственно.

Поскольку движение является плоским, а сила радиальная, обычно переключают на полярные координаты. В этих координатах вектор положения r представлен в виде радиального расстояния r и азимутального угла φ.

р знак равно (Икс, Y) знак равно р (соз ⁡ φ, грех ⁡ φ) = (х, \ y) = г (\ соз \ varphi, \ \ sin \ varphi) >

Взяв первую производную по времени, получаем вектор скорости частицы v

v = drdt = r ˙ (cos ⁡ φ, sin ⁡ φ) + r φ ˙ (- sin ⁡ φ, cos ⁡ φ) = >

> = > (\ cos \ varphi, \ \ sin \ varphi) + r > (- \ sin \ varphi, \ cos \ varphi)>

Аналогично, вторая производная положения частицы r равна ее ускорению a

Скорость v и ускорение a могут быть выражены через радиальное a nd азимутальные единичные векторы. Радиальный единичный вектор получается делением вектора положения r на его величину r, как описано выше

r ^ = (cos ⁡ φ, sin ⁡ φ) > = (\ соз \ varphi, \ \ sin \ varphi)>

Азимутальный единичный вектор задается как

φ ^ = (- sin ⁡ φ, cos ⁡ φ) >> = (- \ sin \ varphi, \ \ cos \ varphi)>

Таким образом, скорость можно записать как

, тогда как ускорение равно

Удельный угловой момент

Удельный угловой момент h равен скорости v, умноженной на r ⊥, составляющей вектора положения r, перпендикулярной вектору скорости v . h также равно радиальному расстоянию r, умноженному на азимутальную составляющую v φ скорости. Обе эти формулы равны rv cos β.

Поскольку F = m a по второму закону движения Ньютона, и поскольку F является центральной силой, тогда только радиальная составляющая ускорения a может быть ненулевой; угловая составляющая a φ должна быть равна нулю

ddt (r 2 φ ˙) = r (2 r ˙ φ ˙ + r φ ¨) = ra φ Знак равно 0

> \ left (r ^ > \ right) = r (2 > > + r >) = ra _ = 0>

Это выражение в скобках обычно обозначается h

h = r 2 φ ˙ = rv φ = | r × v | знак равно vr ⊥ знак равно L м > = rv _ = \ left | \ mathbf \ times \ mathbf \ right | = vr _ = >>

что равно скорости v, умноженной на r ⊥, компонент радиус-вектора, перпендикулярный скорость. h — величина удельного углового момента , поскольку она равна величине L углового момента, деленной на массу m частицы.

Для краткости угловая скорость иногда обозначается как ω

Однако не следует предполагать, что ω постоянна. Поскольку h константа, ω изменяется с радиусом r в соответствии с формулой

Поскольку h постоянна и r положительно, угол φ изменяется монотонно в любой задаче о центральной силе, непрерывно увеличиваясь (h положительный) или непрерывно уменьшаясь (h отрицательный).

Постоянная пространственная скорость

Поскольку площадь A равна ⁄ 2r⊥vt, поверхностная скорость dA / dt (скорость, с которой A уносится частицей) равна ⁄ 2r⊥v = ⁄ 2h.

Величина h также равна удвоенному площади скорость, которая представляет собой скорость, с которой область выметается частицей относительно центра. Таким образом, поверхностная скорость постоянна для частицы, на которую действует центральная сила любого типа; это второй закон Кеплера. И наоборот, если движение под действием консервативной силы F является плоским и имеет постоянную площадную скорость для всех начальных условий радиуса r и скорости v, то азимутальный ускорение a φ всегда равно нулю. Следовательно, согласно второму закону Ньютона, F = m a, сила является центральной силой.

Постоянство пространственной скорости может быть проиллюстрировано равномерным круговым и линейным движением. При равномерном круговом движении частица движется с постоянной скоростью v по окружности радиуса r. Поскольку угловая скорость ω = v / r постоянна, площадь заметания за время Δt равна ω rΔt; следовательно, равные площади выметаются за равное время Δt. При равномерном линейном движении (т. Е. Движении в отсутствие силы согласно первому закону движения Ньютона) частица движется с постоянной скоростью, то есть с постоянной скоростью v вдоль линии. За время Δt частица выметает область ⁄ 2 vΔtr ⊥ (прицельный параметр ). Расстояние r ⊥ не меняется при движении частицы вдоль линии; он представляет собой расстояние наибольшего сближения линии с центром O (прицельный параметр ). Так как скорость v также не меняется, то пространственная скорость ⁄ 2vr⊥является константой движения; частица сметает равные площади за равное время.

Площадь A кругового сектора равна ⁄ 2 rφ = ⁄ 2 rωt = ⁄ 2 rv φ т. Следовательно, поверхностная скорость dA / dt равна ⁄ 2 r v φ = ⁄ 2 h. Для равномерного кругового движения r и v φ постоянны; таким образом, dA / dt также является постоянным.

Эквивалентное параллельное силовое поле

Путем преобразования переменных любую задачу центральной силы можно преобразовать в эквивалентную задачу параллельной силы. Вместо обычных декартовых координат x и y определены две новые переменные положения ξ = x / y и η = 1 / y, а также новая координата времени τ

Соответствующие уравнения движения для ξ и η задаются следующим образом:

Поскольку скорость изменения ξ постоянна, его вторая производная равна нулю

Поскольку это ускорение в ξ направления и поскольку F = ma по второму закону Ньютона, следует, что сила в Направление ξ равно нулю. Следовательно, сила действует только в направлении η, что является критерием для задачи параллельной силы. Явно ускорение в направлении η равно

потому что ускорение в направлении y равно

Здесь F y обозначает y-компоненту центрального сила, а y / r равно косинусу угла между осью y и радиальным вектором r.

Общее решение

уравнение Бине

Поскольку центральная сила F действует только по радиусу, только радиальная составляющая ускорения отлична от нуля. Согласно второму закону движения Ньютона величина F равна массе m частицы, умноженной на величину ее радиального ускорения

Это уравнение имеет коэффициент интегрирования drdt

F (r) dr = F (r) drdtdt = m (drdtd 2 rdt 2 — h 2 r 3 drdt) dt = m 2 d [(drdt) 2 + (hr) 2]

> \ right) \, dt \\ = > \, d \ left [\ left (

> \ right) ^ + \ left ( > \ right) ^ \ right] \ end >>

∫ r F (r) dr = m 2 [(drdt) 2 + (hr) 2] F (r) \, dr = > \ left [\ left (

> \ right) ^ + \ left ( > \ right) ^ \ right ]>

Если h не равно нулю, независимую переменную можно изменить с t на ϕ

, что дает новое уравнение движения

∫ р F (r) dr = mh 2 2 [(- 1 r 2 drd φ) 2 + (1 r) 2] F (r) \, dr = > > \ left [\ left (- >> > \ right) ^ + \ left ( > \ right) ^ \ right]>

Замена переменных на обратный радиус u = 1 / r дает

где C — постоянная интегрирования, а функция G (u) определяется как

Это уравнение становится квазилинейным при дифференцировании по ϕ

d 2 ud φ 2 + u = — 1 mh 2 u 2 F (1 / u) u> >> + u = — u ^ >> F (1 / u)>

Это известно как уравнение Бине. Интегрирование (1) дает решение для ϕ

где ϕ 0 — другая постоянная интегрирования. Проблема центральной силы называется «интегрируемой», если это окончательное интегрирование может быть решено в терминах известных функций.

Орбита частицы

Полная энергия системы E tot равна сумме потенциальной энергии и кинетической энергии

Поскольку полная энергия постоянна, скорость изменения r может быть рассчитана

который может быть преобразован (как и раньше) в производную от r по азимутальному углу φ

Интегрирование и использование формулы углового момента L = mh дает формулу

что указывает на то, что угловой момент способствует эффективной потенциальной энергии

Изменение переменной интегрирования на обратный радиус дает интеграл

, который выражает указанные выше константы C = 2mE tot / L и G (u) = 2mU (1 / u) / L, указанное выше, в терминах полной энергии E tot и потенциальной энергии U (r).

Точки поворота и замкнутые орбиты

Скорость изменения r равна нулю, когда эффективная потенциальная энергия равна полной энергии

Точки, в которых выполняется это уравнение, называются поворотными точки. Орбита по обе стороны от точки поворота симметрична; иными словами, если азимутальный угол определен таким образом, что φ = 0 в точке поворота, то орбита будет такой же в противоположных направлениях, r (φ) = r (−φ).

Если есть две точки поворота, так что радиус r ограничен между r min и r max, тогда движение содержится в кольцевом пространстве с этими радиусами. Поскольку радиус изменяется от одной точки поворота к другой, изменение азимутального угла φ равно

Орбита замыкается сама на себя при условии, что Δφ равно рациональной дроби 2π, то есть

, где m и n — целые числа. В этом случае радиус колеблется ровно m раз, а азимутальный угол φ совершает ровно n оборотов. В общем, однако, Δφ / 2π не будет таким рациональным числом, и, таким образом, орбита не будет замкнутой. В этом случае частица в конечном итоге пройдет сколь угодно близко к каждой точке в кольцевом пространстве. Два типа центральной силы всегда создают замкнутые орбиты: F (r) = αr (линейная сила) и F (r) = α / r (закон обратных квадратов ). Как показал Бертран, эти две центральные силы — единственные, которые гарантируют замкнутые орбиты.

В общем, если угловой момент L отличен от нуля, член L / 2mr предотвращает падение частицы в начало координат, если только эффективная потенциальная энергия стремится к отрицательной бесконечности в пределе r, стремящегося к нулю. Следовательно, если есть единственная точка поворота, орбита обычно уходит в бесконечность; точка поворота соответствует точке минимального радиуса.

Конкретные решения

Проблема Кеплера

В классической физике многие важные силы подчиняются закону обратных квадратов, например гравитация или электростатика. Общая математическая форма таких центральных сил, обратных квадрату:

для константы α , которая отрицательна для силы притяжения и положительна для силы отталкивания.

Этот частный случай классической проблемы центральной силы называется проблемой Кеплера. Для силы, обратно пропорциональной квадрату, полученное выше уравнение Бине является линейным

Решение этого уравнения имеет вид

u (φ) = — α mh 2 [1 + e cos ⁡ (φ — φ 0)] >> \ left [1 + e \ cos \ left (\ varphi — \ varphi _ \ right) \ right]>

, что показывает, что орбита представляет собой конический участок эксцентриситет е; здесь φ 0 — начальный угол, а центр силы находится в фокусе конического участка. Используя формулу полуугла для синуса, это решение также можно записать как

u (φ) = u 1 + (u 2 — u 1) sin 2 ⁡ (φ — φ 0 2) + (u_ -u_ ) \ sin ^ \ left ( > > \ right)> Что касается всех центральных сил, частица в задаче Кеплера выметает равные области за равное время, как показано двумя синими эллиптическими секторами. Центр силы расположен в одном из фокусов эллиптической орбиты.

где u 1 и u 2 — константы, причем u 2 больше чем u 1. Две версии решения связаны уравнениями

Поскольку функция sin всегда больше нуля, u 2 — это наибольшее возможное значение u и обратное наименьшее возможное значение r, т. е. расстояние ближайшего доступа (периапсис ). Поскольку радиальное расстояние r не может быть отрицательным числом, равно как и обратное ему u; следовательно, u 2 должно быть положительным числом. Если u 1 также положительно, это наименьшее возможное значение u, которое соответствует наибольшему возможному значению r, расстоянию наибольшего сближения (апоапсис ). Если u 1 равно нулю или отрицательно, то наименьшее возможное значение u равно нулю (орбита уходит в бесконечность); в этом случае единственными значимыми значениями φ являются те, которые делают u положительным.

Для силы притяжения (α 0) u 1 должно быть отрицательным, поскольку u 2 положительны по определению, а их сумма отрицательна; следовательно, орбита является гиперболой. Естественно, если нет силы (α = 0), орбита является прямой линией.

Центральные силы с точными решениями

Уравнение Бине для u (φ) может быть решено численно почти для любой центральной силы F (1 / u). Однако лишь небольшая часть сил приводит к формулам для u в члены известных функций. Как было показано выше, решение для φ может быть выражено как интеграл по u

Проблема центральной силы называется «интегрируемой», если это интегрирование может быть решено в терминах известных функций.

Если сила является степенной, т. Е. Если F (r) = α r, то u может быть выражено через круговые функции и / или эллиптические функции, если n равно 1, -2, -3 (круговые функции) и -7, -5, -4, 0, 3, 5, -3/2, -5/2, -1/3, -5 / 3 и -7/3 (эллиптические функции). Точно так же только шесть возможных линейных комбинаций степенных законов дают решения в терминах круговых и эллиптических функций

F (r) = A r — 3 + B r + C r 3 + D r 5 + Br + Cr ^ + Dr ^ > F (r) = A r — 3 + B r + C r — 5 + D r — 7 + Br + Cr ^ + Dr ^ > F (r) = A r — 3 + B r — 2 + C r + D + Br ^ + Cr + D> F (r) = A r — 3 + B r — 2 + C r — 4 + D r — 5 + Br ^ + Cr ^ + Dr ^ > F (r) = A r — 3 + B r — 2 + C r — 3/2 + D r — 5/2 + Br ^ + Cr ^ + Dr ^ > F (r) = A r — 3 + B r — 1/3 + C r — 5/3 + D r — 7/3 + Br ^ + Cr ^ + Dr ^ >

Следующие особые случаи первых двух типов силы всегда приводят к круговые функции.

упоминается Ньютоном в следствии 1 предложения VII принципов как сила, возникающая при круговых орбитах, проходящих через точку притяжения.

Вращающиеся орбиты

Воспроизвести медиа Иллюстрация теоремы Ньютона о вращающихся орбитах. Зеленая планета совершает одну (субгармоническую) орбиту на каждые три орбиты голубой планеты (k = 1/3). GIF версия этой анимации находится здесь.

Термин r встречается во всех приведенных выше законах силы, указывая на то, что добавление силы обратного куба не влияет на разрешимость проблемы. с точки зрения известных функций. Ньютон показал, что с корректировкой начальных условий добавление такой силы не влияет на радиальное движение частицы, а умножает ее угловое движение на постоянный коэффициент k. Расширение теоремы Ньютона было открыто в 2000 году Магомедом и Вавда.

Предположим, что частица движется под произвольной центральной силой F 1 (r), и пусть ее радиус r и азимутальный угол φ обозначается как r (t), а φ 1 (t) как функция времени t. Теперь рассмотрим вторую частицу с той же массой m, которая совершает такое же радиальное движение r (t), но та, чья угловая скорость в k раз больше, чем у первой частицы. Другими словами, азимутальные углы двух частиц связаны уравнением φ 2 (t) = k φ 1 (t). Ньютон показал что сила, действующая на вторую частицу, равна силе F 1 (r), действующей на первую частицу, плюс центральная сила обратного куба

F 2 (r) = F 1 (r) + L 1 2 мр 3 (1 — к 2) (r) = F_ (r) + ^ > > > \ left (1-k ^ \ right)>

Если k больше единицы, F 2−F1- отрицательное число; таким образом, добавленная сила обратного куба привлекательна. И наоборот, если k меньше единицы, F 2−F1- положительное число; добавленная сила обратного куба является отталкивающей. Если k — целое число, такое как 3, орбита второй частицы называется гармоникой орбиты первой частицы; напротив, если k является обратным целому числу, например ⁄ 3, вторая орбита называется субгармоникой первой орбиты.

Историческое развитие

Рис. 10: Геометрическое доказательство Ньютона того, что движущаяся частица сметает равные площади в равное время тогда и только тогда, когда сила, действующая на нее в точке B, является центральной сила. Здесь треугольник OAB имеет ту же площадь, что и треугольники OBC и OBK.

Вывод Ньютона

Классическая проблема центральной силы была геометрически решена Исааком Ньютоном в его Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, в которой Ньютон представил свои законы движения. Ньютон использовал эквивалент интегрирования чехарда для преобразования непрерывного движения в дискретное, чтобы можно было применять геометрические методы. В этом подходе положение частицы рассматривается только в равномерно распределенные моменты времени. Для иллюстрации частица на Фиг.10 расположена в точке A в момент времени t = 0, в точке B в момент времени t = Δt, в точке C в время t = 2Δt и так далее для всех времен t = nΔt, где n — целое число. Предполагается, что между этими временными точками скорость постоянна. Таким образом, вектор rAB= rB− rAравен Δt, умноженному на вектор скорости vAB(красная линия), тогда как rBC= rC− rBравен vBCΔt (синяя линия). Поскольку скорость постоянна между точками, предполагается, что сила действует мгновенно в каждой новой позиции; например, сила, действующая на частицу в точке B, мгновенно изменяет скорость с vABна vBC. Вектор разности Δ r= rBC− rABравен Δ v Δt (зеленая линия), где Δ v= vBC− vAB- изменение скорости в результате действия силы в точке B . Поскольку ускорение a параллельно Δ v и поскольку F = m a, сила F должна быть параллельным Δ v и Δ r . Если F является центральной силой, она должна быть параллельна вектору rBот центра O до точки B (пунктирная зеленая линия); в этом случае Δ r также параллельно rB.

. Если в точке B не действует сила, скорость не изменяется, и частица достигает точки K в момент времени t = 2Δt. Площади треугольников OAB и OBK равны, потому что у них одинаковое основание (r AB) и высота (r ⊥). Если Δ r параллельно rB, треугольники OBK и OBC также равны, потому что они имеют одно и то же основание (r B), а высота не изменяется. В этом случае площади треугольников OAB и OBC одинаковы, и частица выметает равные площади за равное время. И наоборот, если площади всех таких треугольников равны, то Δ r должно быть параллельно rB, из чего следует, что F является центральной силой. Таким образом, частица сметает равные площади за равное время тогда и только тогда, когда F является центральной силой.

Альтернативные выводы уравнений движения

Лагранжева механика

Формула для радиальной силы также может быть получена с помощью лагранжевой механики. В полярных координатах лагранжиан L отдельной частицы в поле потенциальной энергии U (r) задается формулой

Тогда уравнения движения Лагранжа

, поскольку величина F (r) радиальной силы равна отрицательной производной потенциальной энергии U (r) в радиальном направлении.

Гамильтонова механика

Формула радиальной силы также может быть получена с использованием гамильтоновой механики. В полярных координатах гамильтониан можно записать как

Поскольку азимутальный угол φ не входит в гамильтониан, его сопряженный импульс p φ является константой движения. Этот сопряженный импульс является величиной L углового момента, как показано гамильтоновым уравнением движения для φ

Соответствующее уравнение движения для r:

Взяв вторую производную от r по времени и используя уравнение движения Гамильтона для p r дает уравнение радиальной силы

Гамиль Уравнение Тона-Якоби

Орбитальное уравнение может быть получено непосредственно из уравнения Гамильтона – Якоби. Принимая радиальное расстояние r и азимутальный угол φ в качестве координат, уравнение Гамильтона-Якоби для задачи центральной силы может быть записано

где S = S φ (φ) + S r (r) — E tot t является главной функцией Гамильтона, E tot и t представляют собой полную энергию и время соответственно. Это уравнение может быть решено путем последовательного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, начиная с уравнения φ

где p φ — константа движения, равная величине углового момента L. Таким образом, S φ (φ) = Lφ, и уравнение Гамильтона – Якоби принимает вид

Центральная сила

Пусть частица движется в постоянном силовом поле F = F (г), которое обладает следующими свойствами: 1) величина силы зависит только от расстояния между частицей и некоторой неподвижной точкой С, называемой центром силового поля, 2) направление вектора силы совпадает с прямой линией, соединяющей частицу с центром С. Такая сила называется центральной.

Построим прямоугольную декартову систему координат, начало которой совместим с центром силового поля (рис. 4.5). В такой системе координат центральная сила описывается формулой

где F(r) — проекция вектора силы на радиус-вектор,

— расстояние между частицей, находящейся в произвольной точке пространства и центром силы С. Из определения центральной силы вытекают другие ее замечательные свойства.

Рис. 4.5. Центральная сила

1. Так как вектор силы (4.49) коллинеарен радиус-вектору, векторное произведение этих векторов равно нулю, т.е. момент центральной силы равен нулю:

При этом из уравнения (4.9) следует, что

и момент импульса частицы не изменяется со временем:

2. Центральное силовое поле (4.49) является сферически симметричным. Если это поле консервативно, то потенциальная энергия частицы

Найдем градиент этой функции. Согласно правилу дифференцирования сложной функции будем иметь для частной производной от U по г следующее выражение:

— частная производная от функции (4.50) по х. Аналогично можно найти частные производные от U по у и z. По определению градиент U есть вектор

В рассматриваемом случае эта формула приводит к выражению

в таком поле также должна быть сферически симметричной функцией координат, т.е. должна иметь вид

которое также описывает центрально симметричное векторное поле. Сравнивая выражения (4.49) и (4.54), приходим к выводу, что центральная сила является консервативной, а потенциальная энергия связана с проекцией силы на радиальное направление соотношением

Если потенциальная энергия частицы описывается функцией

где си — постоянная величина, то формула (4.55) приводит к зависимости

т.е. величина силы будет обратно пропорциональна квадрату расстояния от частицы до силового центра. К таким силам относятся сила Кулона и сила всемирного тяготения. Подстановка (4.57) в формулу (4.49) дает векторное выражение для таких сил:

Виды сил в Механике Центральная сила

Виды сил в Механике

Центральная сила — сила, линия действия которой при любом положении тела, к которому она приложена, проходит через точку, называемую центром силы (точка на Рис. 1). Тело при этом, как правило, рассматривается как материальная точка, а центр также считается точечным, обычно[1] совпадая с физическим источником силы; в простейшем случае он фиксирован в пространстве.

• Kлассическая физика вводит также понятие поля центральной силы для области трёхмерного пространства, в котором действуют центральные силы. • Для любой центральной силы выполняется соотношение • (где — радиус-вектор с началом в центре силы), свидетельствующее о равенстве нулю момента силы относительно центра силы

Работа центральной силы • Элементарная работа силы, в том числе и центральной силы, есть скалярная величина, исчисляемая изменением энергии при перемещении точки приложения силы (в общем случае изменяющей свою величину и направление), при перемещении на столь малый отрезок своей траектории, что на нём вектор силы может считаться неизменным, то есть на расстояние : • (5) • где есть угол между этими векторами. Поскольку , то направление отсчёта угла значения не имеет.

Работа центральной силы • При перемещении на расстояние от до , весь пройденный путь можно разбить на элементарных участков. И тогда полная работа будет суммой этих элементарных работ с тем большей точностью, чем на большее количество участков будет разбита траектории, что выражается знаком интеграла, как предела этой суммы : • Рассматривая движение в Декартовой системе координат центральную силу можно представить в виде геометрической суммы её проекций на координатные оси: • Где , суть единичные векторы (орты) для своих осей.

Силовые поля • Этим полям соответствуют кулоновские силы (силы электростатического взаимодействия) и силы гравитационные (силы Всемирного тяготения. Сходство между ними заключается в том, что они могут быть обнаружены во время взаимодействия материальных объектов, причем в случае гравитации свойством, обуславливающим это взаимодействие, является масса, а в случае кулоновского взаимодействия — заряд, этой массой переносимый. Заряды, не связанные с массой, классической физике неизвестны.

Силовые поля • При сохранении подобия в геометрических размерах тел и их взаимного расстояния, силы взаимного тяготения, равно как и силы электростатические (кулоновские) растут пропорционально 4 -й степени абсолютных размеров рассматриваемой модели. В то же самое время в случае электрического взаимодействия, где между величиной заряда и размерами тел, несущих эти заряды, нет определённой связи, силы взаимодействия ослабляются пропорционально 2 -й степени абсолютных размеров. Поэтому при сравнении этих сил в микромире доминируют Кулоновские силы, а в масштабах Вселенной — силы Всемирного тяготения.

Консервативные и не консервативные силы • В физике консервати вные си лы (потенциальные силы) — силы, работа которых не зависит от формы траектории (зависит только от начальной и конечной точки приложения сил). • Отсюда следует определение: консервативные силы — такие силы, работа которых по любой замкнутой траектории равна 0. • Если в системе действуют только консервативные силы, то механическая энергия системы сохраняется. • Для консервативных сил выполняются следующие тождества: • — ротор консервативных сил равен 0;

Консервативные и не консервативные силы • — работа консервативных сил по произвольному замкнутому контуру равна 0; • — консервативная сила является градиентом некой скалярной функции , называемой силовой. Эта функция равна потенциальной энергии взятой с обратным знаком. • В школьной программе по физике силы разделяют на консервативные и неконсервативные. Примерами консервативных сил являются: сила тяжести, сила упругости. Примерами неконсервативных сил являются сила трения и сила сопротивления среды. • В теоретической физике выделяют только четыре типа сил, каждая из которых является консервативной

Работа переменной силы. • Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием силы Р по прямой. Если действующая сила постоянна и направлена вдоль прямой, а перемещение равно s, то, как известно из физики, работа А этой силы равна произведению Ps. Теперь выведем формулу для подсчета работы, совершаемой переменной силой.

• Пусть точка движется по оси Ох под действием силы, проекция которой на ось Ох есть функция f от х. При этом мы будем предполагать, что f есть непрерывная функция. Под действием этой силы материальная точка переместилась из точки М (а) в точку М (b) (рис. 1, а). Покажем, что в этом случае работа А подсчитывается по формуле

• Разобьем отрезок [а; b] на п отрезков одинаковой длины . Это отрезки [а; x 1], [x 1; x 2], . . . , [xn-1; b] (рис. 1, 6). Работа силы на всем отрезке [а; b] равна сумме работ этой силы на полученных отрезках. Так как f есть непрерывная функция от x, при достаточно малом отрезке [а; x 1] работа силы на этом отрезке приблизительно равна f (а) (x 1—а) (мы пренебрегаем тем, что f на отрезке меняется). Аналогично работа силы на втором отрезке [x 1; x 2] приближенно равна f (x 1) (x 2 — x 1) и т. д. ; работа силы на n-ом отрезке приближенно равна f (xn-1)(b — xn-1). Следовательно, работа силы на всем отрезке [а; b] приближенно равна и точность приближенного равенства тем выше, чем короче отрезки, на которые разбит отрезок [а; b] Естественно, что это приближенное равенство переходит в точное, если считать, что n→∞: • Поскольку An при n →∞ стремится к интегралу рассматриваемой функции от а до b, формула (1) выведена .

Мо щность • — физическая величина, равная отношению работы, выполняемой за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени. • Различают среднюю мощность за промежуток времени : • и мгновенную мощность в данный момент времени: • Так как работа является мерой изменения энергии, мощность можно определить также как скорость изменения энергии системы.

Мощность в механике • Если на движущееся тело действует сила, то эта сила совершает работу. Мощность в этом случае равна скалярному произведениювектора силы на вектор скорости, с которой движется тело: • F — сила, v — скорость, — угол между вектором скорости и силы. • Частный случай мощности при вращательном движении: • M—момент силы, —угловая скорость, — число пи, n — частота вращения (число оборотов в минуту, об/мин). •

Кинетическая энергия • Кинетическая энергия вводится в механике в прямой связи с понятием работы. • Схема рассуждений такова: 1) попробуем записать работу, совершаемую всеми силами, действующими на материальную точку и, пользуясь вторым законом Ньютона (позволяющим выразить силу через ускорение), попытаться выразить ответ только через кинематические величины, 2) убедившись, что это удалось, и что этот ответ зависит только от начального и конечного состояния движения, введём новую физическую величину, через которую эта работа будет просто выражаться (это и будет кинетическая энергия). • Если — полная работа, совершённая над частицей, определяемая как сумма работ совершенных приложенными к частице силами, то она выражается как:

Кинетическая энергия • где называется кинетической энергией. Для материальной точки, кинетическая энергия определяется как работа силы, ускорившей точку от нулевой скорости до величины скорости и выражается как: • Для сложных объектов, состоящих из множества частиц, кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий частиц.

Потенциальная энергия • Сила называется потенциальной, если существует скалярная функция, известная как потенциальная энергия и обозначаемая , такая что Если все силы, действующие на частицу консервативны, и является полной потенциальной энергией, полученной суммированием потенциальных энергий соответствующих каждой силе, тогда: • Этот результат известен как сохранение механической энергии и утверждает, что полная механическая энергия в замкнутой системе, в которой действуют консервативные силы • является постоянной относительно времени. Этот закон широко используется при решении задач классической механики.

Частные формы закона сохранения энергии Классическая механика • В ньютоновской механике формулируется частный случай закона сохранения энергии — Закон сохранения механической энергии, звучащий следующим образом[2] • Полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остаётся постоянной. • Проще говоря, при отсутствии диссипативных сил (например, сил трения) механическая энергия не возникает из ничего и не может исчезнуть никуда. • Примеры • Классическим примером этого утверждения являются пружинный или математический маятники с пренебрежимо малым затуханием. В случае пружинного маятника в процессе колебаний потенциальная энергия деформированной пружины (имеющая максимум в крайних положениях груза) переходит в кинетическую энергию груза (достигающую максимума в момент прохождения грузом положения равновесия) и обратно[3]. В случае математического маятника[4] аналогично ведёт себя потенциальная энергия груза в поле силы тяжести.

Вывод из уравнений Ньютона • Закон сохранения механической энергии может быть выведен из второго закона Ньютона[5], если учесть, что в консервативной системе все силы, действующие на тело, потенциальны и, следовательно, могут быть представлены в виде • , • где — потенциальная энергия материальной точки ( — радиус-вектор точки пространства). В этом случае второй закон Ньютона для одной частицы имеет вид:

Вывод из уравнений Ньютона • где — масса частицы, — вектор её скорости. Скалярно домножив обе части данного уравнения на скорость частицы и приняв во внимание, что , можно получить • Путём элементарных операций это выражение может быть приведено к следующему виду

• Отсюда непосредственно следует, что выражение, стоящее под знаком дифференцирования по времени, сохраняется. Это выражение и называется механической энергией материальной точки. Первый член в сумме отвечает кинетической энергии, второй — потенциальной. • Этот вывод может быть легко обобщён на систему материальных точек

Закон сохранения полной механической энергии • Рассмотрим систему материальных точек массами , движущихся со скоростями . Пусть — равнодействующие внутренних консервативных сил, действующих на каждую из этих точек, а — равнодействующие внешних сил, которые также будем считать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки действуют еще и внешние неконсервативные силы; равнодействующие этих сил, действующих на каждую из материальных точек, обозначим . При массы материальных точек постоянны и уравнения второго закона Ньютона для этих точек следующие:

Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени совершают перемещения, соответственно равные . Умножим каждое из уравнений скалярно на соответствующее перемещение и сложим, учитывая, что . Получим:

• Первый член левой части равенства равен приращению кинетической энергии системы ( ). Второй член равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, взятой со знаком минус, т. е. равен элементарному приращению потенциальной энергии системы ( ). Правая часть равенства задает работу внешних неконсервативных сил, действующих на систему. Таким образом, имеем • При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2

• т. е. изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативным силами. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то Откуда т. е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Это выражение представляет собой закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем

Абсолютно упругие и не упругие соударения • Уда р — толчок, кратковременное взаимодействие тел, при котором происходит перераспределение кинетической энергии. Часто носит разрушительный для взаимодействующих тел характер. В физике под ударом понимают такой тип взаимодействия движущихся тел, при котором временем взаимодействия можно пренебречь. • При ударе выполняется закон сохранения импульса и закон сохранения момента импульса, но обычно не выполняется закон сохранения механической энергии. Предполагается, что за время удара действием внешних сил можно пренебречь, тогда полный импульс тел при ударе сохраняется, в противном случае нужно учитывать импульс внешних сил. Часть энергии обычно уходит на нагрев тел. • Результат столкновения двух тел можно полностью рассчитать, если известно их движение до удара и механическая энергия после удара. Обычно рассматривают либо абсолютно упругий удар, либо вводят коэффициент сохранения энергии k, как отношение кинетической энергии после удара к кинетической энергии до удара при ударе одного тела о неподвижную стенку, сделанную из материала другого тела. Таким образом, k является характеристикой материала, из которого изготовлены тела, и (предположительно) не зависит от остальных параметров тел (формы, скорости и т. п. ).

Абсолютно упругие и не упругие соударения • Если не известны потери энергии, происходит одновременное столкновение нескольких тел или столкновение точечных частиц, то определить однозначно движение тел после удара невозможно. В этом случае рассматривается зависимость возможных углов рассеяния и скоростей тел после удара от начальных условий. Например, при столкновении двух элементарных частиц рассеяние может произойти лишь в некотором диапазоне углов, определяющемся предельным углом рассеяния. • В общем случае решение задачи о столкновении кроме знания начальных скоростей требует дополнительных параметров.

Абсолютно упругий удар • Абсолютно упругий удар — модель соударения, при которой полная кинетическая энергия системы сохраняется. В классической механике при этом пренебрегают деформациями тел. Соответственно, считается, что энергия на деформации не теряется, а взаимодействие распространяется по всему телу мгновенно. Хорошей моделью абсолютно упругого удара является столкновение бильярдных шаров или упругих мячиков. • Абсолютно упругий удар может выполняться совершенно точно при столкновениях элементарных частиц низких энергий. Это следствие принципов квантовой механики, запрещающей произвольные изменения энергии системы. Если энергии сталкивающихся частиц недостаточно для возбуждения их внутренних степеней свободы, то механическая энергия системы не меняется. Изменение механической энергии может также быть запрещено какими-то законами сохранения (момента импульса, чётности и т. п. ). Надо, однако, учитывать, что при столкновении может изменяться состав системы. Простейший пример — излучение кванта света. Также может происходить распад или слияние частиц, а в определённых условиях — рождение новых частиц. В замкнутой системе при этом выполняются все законы сохранения, однако при вычислениях нужно учитывать изменение системы.

Абсолютно неупругий удар • Абсолю тно неупру гий удар — удар, в результате которого компоненты скоростей тел, нормальные площадке касания, становятся равными. Если удар был центральным (скорости были перпендикулярны касательной плоскости), то тела соединяются и продолжают дальнейшее своё движение как единое тело. • Как и при любом ударе, при этом выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения момента импульса, но не выполняется закон сохранения механической энергии. Энергия, конечно же, никуда не исчезает, а переходит в тепловую. • Хорошая модель абсолютно неупругого удара — сталкивающиеся пластилиновые шарики.

• Работу выполнил Полторабатько Максим • 1 ПИ 1