Размерность физической величины
Термин размерность может относиться также к единице измерения физической величины. Часто абстрагируются от конкретных единиц измерения и описывают размерности в терминах основных физических величин, таких, например, как длина, масса и время, которые обозначают символами L, M и T, соответственно. Размерность записывают, как произведение этих символов, каждый из которых возведён в рациональную степень .
Например, размерность скорости — расстояние, делённое на время (L/T), а размерность силы — масса, умноженная на расстояние и делённая на время в квадрате (ML/T²). В механике размерность любой величины может быть выражена через расстояние (которое физики часто называют «длиной»), массу и время. Электрические и магнитные величины также могут быть выражены через эти три размерности с использованием, например, закона Кулона. Однако, при использовании СИ иногда бывает удобнее ввести размерность такой основной физической величины, как электрический ток (I).
Некоторые из физических величин безразмерны в любой системе единиц, например, постоянная тонкой структуры в квантовой физике или числа СИ определены семь единиц основных физических величин, размерности которых считаются независимыми друг от друга. Поскольку система физических величин принципиально отличается от системы единиц, то в некоторых системах физических величин возможен иной перечень основных физических величин, чем в СИ.
Содержание
Проверка размерности [ ]
В формулах, имеющих физический смысл, только величины, имеющие одинаковую размерность, могут складываться, вычитаться или сравниваться. Например, сложение массы какого-либо предмета с длиной другого предмета не имеет смысла. Также невозможно сказать, что больше: 1 килограмм или 3 Анализ размерности [ ]
Размер, значение, обозначение, размерность физической величины
По определению, измеряемые ФВ имеют качественную и количественную характеристики.
Размер ФВ – количественная определенность ФВ, присущая конкретному объекту, явлению или процессу.
Значение ФВ – выражение ее размера в виде некоторого числа принятых для нее единиц.
Обозначение единицы ФВ – сокращенное наименование (русское или международное) единицы, применяемое после числовых значений.
Размерность ФВ — формализованное отражение качественного различия ФВ.
Размерность выражается в форме степенного одночлена, отражающего связь данной ФВ с основными ФВ. По международным рекомендациям размерность обозначается символом dim (dimension – размерность):
dim Z = L M T γ I ε η J μ N λ ,
где L, M — условные обозначения основных ФВ: L — длина; M — масса; T — время; I- сила тока;
— термодинамическая температура; J — сила света; N — количество вещества.
, , γ… – целые или дробные, положительные или отрицательные числа.
Для определения размерности ФВ исходными являются уравнения соотношения между ФВ. В левой части уравнения та величина, размерность которой нужно определить, а в правой – величины, единицы которых являются основными (м, кг, с, А, К, кд, моль). Эту зависимость нужно вывести на основании уравнений связи. Примеры:
Определить dim F.
F = m*a a = 
v =
F =
= L*
dim F = L*M*T -2
Определить размерность мощности электрического тока dim P.
a) P = U*I U = 
q = I*t A = F*L F = m*a a =
v =
b) a = 
F =
A =
U =
P =
= L 2 *m*t -3 dim P = L 2 MT -3
Произведем некоторые преобразования:
Р = 
=
; А = Р ·
; [А] = Вт·с или кВт·ч, т.е. потребители оплачивают работу электрического тока.
Табл.2 — Основные единицы СИ
Метр — единица длины, равная пути, пройденному в вакууме светом за интервал времени 1/299 792 458 с (XVII ГКМВ, 1983)
Килограмм- единица массы, равная массе международного прототипа килограмма (III ГКМВ, 1901)
Секунда – единица времени. Секунда равна 9 192 631 770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133.
Сила электрического тока
Ампер — единица силы электрического тока. Ампер равен силе неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную 2·10 -7 Н (IX ГКМВ, 1948)
Кельвин — единица термодинамической температуры, равная 1/273,16 части термодинамической температуры тройной точки воды (XIII ГКМВ, 1967)
Моль — единица количества вещества. Моль есть количество вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде — 12 массой 0, 012 кг. При применении моля структурные элементы должны быть специфицированы и могут быть атомами, ионами, электронами и другими частицами или специфицированными группами частиц (XIV ГКМВ, 1971)
Кандела — единица силы света. Кандела есть сила света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540*10 12 Гц, электрическая сила света которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср (XVI ГКМВ, 1979)
Таблица 3 – Производные единицы СИ, имеющие специальные наименования и обозначения
Выражение через основные и производные единицы СИ
Энергия, работа, количество теплоты
Электрический заряд, количество электричества
Электрическое напряжение, электрический потенциал, разность электрических потенциалов, электродвижущая сила
L -2 М -1 Т 4 I 2
m -2 ·kg -1 ·s 4 ·Α 2
L -2 М -1 Т 3 I 2
m -2 ·kg -1 ·s 3 ·Α 2
Поток магнитной индукции, магнитный поток
Плотность магнитного потока, магнитная индукция
Индуктивность, взаимная индуктивность
Активность нуклида в радиоактивном источнике (активность радионуклида)
Поглощенная доза ионизирующего излучения, керма
Эквивалентная доза ионизирующего излучения, эффективная доза ионизирующего излучения
1. В таблицу 3 включены единица плоского угла – радиан и единица телесного угла – стерадиан.
2. В международную систему единиц при ее принятии в 1960 г. на ХI ГКМВ входило три класса единиц: основные, производные и дополнительные (радиан и стерадиан). ГКВМ классифицировала единицы радиан и стерадиан как «дополнительные, оставив открытым вопрос о том, являются они основными единицами или производными». В целях устранения двусмысленного положения этих единиц Международный комитет мер и весов в 1980г. решил интерпретировать класс дополнительных единиц СИ как класс безразмерных производных единиц, для которых ГКМВ оставляет открытой возможность применения или неприменения их в выражениях для производных единиц СИ. В 1995 г. ХХ ГКМВ постановила исключить класс дополнительных единиц СИ, а радиан и стерадиан считать безразмерными производными единицами СИ (имеющими специальные наименования и обозначения), которые могут быть использованы или не использованы в выражениях для других производных единиц СИ (по необходимости).
3. Единица катал введена в соответствии с резолюцией 12 ХХI ГКМВ.
4.Температура Цельсия определяется выражением t = Т – Т0, где Т0 = 273,15 К, Т — термодинамическая температура, t — температура Цельсия
Таблица 4 – Внесистемные единицы, допустимые к применению наравне с единицами СИ
Соотношение с единицей СИ
1,66054 · 10 -27 kg (приблизительно)
(π/180) rad = 1,745329…·10 -2 rad (π/10800) rad = 2,908882…·10 -4 rad (π/648000) rad = 4,848137..·10 -6 rad
(π/200) rad = 1,57080…·10 -2 rad
кая единица, световой год, парсек
1,49598 · 10 11 m (приблизительно)
9,4605 · 10 15 m (приблизительно)
3,0857 · 10 16 m (приблизительно)
Сельское и лесное хозяйство
1,60218 · 10 -19 J (приблизительно)
3,6 · 10 6 J (приблизительно)
Для счетчиков электрической энергии
Электричес-кий заряд, количество электричест-ва
1) Здесь и далее см. ГСССД 1 – 87
2) Наименования и обозначения единиц времени (минута, час, сутки), плоского угла (градус, минута, секунда), астрономической единицы, диоптрии и атомной единицы массы не допускается применять с приставками.
3) Допускается также применять другие единицы, получившие широкое распространение, например неделя, месяц, год, век, тысячелетие.
4) Обозначение единиц плоского угла пишут над строкой.
5) Не рекомендуется применять при точных измерениях. При возможности смешения обозначения l («эль») с цифрой 1 допускается обозначение L.
Продолжение таблицы 4
Некоторые относительные и логарифмические величины и их единицы, допустимые к применению наравне с единицами СИ
1. Относительная величина (безразмерное отношение физической величины к одноименной физической величине, принимаемой за исходную): КПД; относительное удлинение; относительная плотность; деформация; относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости; магнитная восприимчивость; массовая доля компонента; молярная доля компонента и т.п.
2. Логарифмическая величина (логарифм безразмерного отношения физической величины к одноименной физической величине, принимаемой за исходную): уровень звукового давления; усиление;ослабление и т.п. 2)
при F2 = 
·F1
где Р1 и Р2 – одноименные энергетические величины (мощность, энергия, плотность энергии и т.п.);
F1 и F2 – одноименные «силовые» величины (на-пряжение, сила тока, на-пряженность поля и т.п.)
3. Логарифмическая величина (логарифм безразмерного отношения физической величины к одноименной физической величине, принимаемой за исходную): уровень громкости
1 phon равен уровню громкости звука, для которого уровень звукового давления равногромкого с ним звука частотой
1000 Нz равен 1 dB
4. Логарифмическая величина (логарифм безразмерного отношения физической величины к одноименной физической величине, принимаемой за исходную): частотный интервал
5. Логарифмическая величина (натуральный логарифм безразмерного отношения физической величины к одноименной физической величине, принимаемой за исходную)
1 Np = 0,8686 В=8,686… dB
1. При выражении в логарифмических единицах разности уровней мощностей или амплитуд двух сигналов всегда существует квадратичная связь между отношением мощностей и соответствующим ему отношением амплитуд колебаний, поскольку параметры сигналов определяют для одной и той же нагрузки Z, т.е.:
В теории автоматического регулирования часто определяют логарифм отношения Fвых/ Fвх. В этом случае между отношением мощностей и отношением соответствующих напряжений нет квадратичной зависимости. Вместе с тем по ранее сложившейся практике применения логарифмических единиц, не смотря на отсутствие квадратичной связи между отношением мощностей и соответствующим ему отношением амплитуд колебаний, и в этом случае принято единицу «бел» определять следующим образом:
1 В = lg (Pвых/Рвх) при Рвых = 10 Рвх 1В = 2 lg (Fвых/ Fвх) при Fвых = 
Fвх
Задача установления связи между напряжениями и мощностями , если ее ставят, решается путем анализа электрических или других цепей.
2. В соответствии с международным стандартом МЭК 27-3 при необходимости указать исходную величину ее значение помещают в скобках за обозначением логарифмической величины, например для уровня звукового давления: Lp (re 20 μPa) = 20 dB ; Lp (исх. 20 мкПа) = 20 дБ = 20 дБ (re- начальные буквы слова reference, т.е. исходный). При краткой форме записи значение исходной величины указывают в скобках за значением уровня, например 20 dB (re20 μPa) или 20 дБ (исх. 20 мкПа)
Таблица 5 – Внесистемные единицы, временно допустимые к применению, до принятия международных решений