Что такое свободная составляющая в переходных процессах

Классический метод анализа переходных процессов

Свободные и вынужденные составляющие токов и напряжений.

Классический метод анализа переходных процессов в линейных инвариантных во времени цепях с сосредоточенными параметрами основан на классическом методе решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Как известно, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (см. (1.46))

может быть представлено в виде суммы какого-либо частного решения этого уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения

которое получается из выражения (1.46) при f(t) = 0.

Общее решение однородного дифференциального уравнения (6.5) характеризует так называемые свободные процессы в цепи, т.е. процессы в цепи после коммутации в отсутствие внешних источников энергии (напомним (см. п. 1.5), что функция f(t) обращается в нуль при выключении всех независимых источников тока и напряжения).

Таким образом, характер свободных процессов не зависит от вида внешнего воздействия на цепь, а определяется только параметрами пассивных элементов и линейно управляемых источников, а также топологией цепи после коммутации.

Свободные процессы в цени протекают за счет разности энергий, соответствующих установившимся режимам работы цепи до и после коммутации. В связи с тем, что эта разность имеет конечное значение, свободные процессы в цепях с потерями с течением времени затухают (в идеализированных цепях без потерь свободные процессы имеют незатухающий характер).

Частное решение уравнения (1.46) определяет вынужденный режим работы цепи, т.е. режим, задаваемый действующими в цепи независимыми источниками энергии. Так как при анализе переходных процессов внешнее воздействие на цепь после коммутации изменяется по периодическому закону или сохраняет неизменное значение, в качестве частного решения (1.46) обычно выбирается установившееся значение реакции цени s после коммутации, т.е. значение реакции цени при

Очевидно, что вынужденная составляющая не зависит от режима работы цепи до коммутации и, следовательно, от начальных значений токов и напряжений.

Таким образом, при использовании классического метода анализа переходных процессов искомая реакция цепи s (ток или напряжение какой-либо ветви после коммутации) представляется в виде суммы свободной s_cn и вынужденной (принужденной) s_BMH составляющих:

Для определения вынужденной составляющей реакции цепи можно воспользоваться рассмотренными ранее методами анализа линейных цепей в установившемся режиме. Если после коммутации токи независимых источников тока и напряжения независимых источников напряжения не изменяются, то с течением времени в цепи после коммутации установится режим постоянного тока. Очевидно, что в этом случае вынужденная составляющая реакции цепи будет являться постоянным током или напряжением.

Если после коммутации цепь находится под гармоническим воздействием определенной частоты, то вынужденная составляющая реакции цени также будет гармонической функцией времени и для расчета s_BbIH можно воспользоваться методом комплексных амплитуд.

Если цепь после коммутации находится под воздействием нескольких независимых источников гармонических колебаний различной частоты, то, используя принцип наложения, мгновенное значение 5_ВЫН можно определить как сумму мгновенных значений частичных токов или напряжений, вызванных в установившемся после коммутации режиме каждым из независимых источников в отдельности. Применяя принцип наложения, можно найти вынужденную составляющую реакции цени и в том случае, когда внешнее воздействие на цепь x(t) описывается периодической функцией более сложного вида, удовлетворяющей условиям Дирихле?, т.е. имеющей на конечном интервале конечное число максимумов и минимумов и конечное число разрывов первого рода. При этом функция x(t) может быть разложена в ряд Фурье (представлена в виде суммы гармонических колебаний кратных частот), а мгновенное значение 5_ВЫН может быть получено как сумма мгновенных значений частичных токов или напряжений, вызванных в установившемся после коммутации режиме каждой из гармонических составляющих внешнего воздействия в отдельности.

Для определения свободной составляющей s_CB реакции цепи необходимо найти v корней/?/ характеристического уравнения

соответствующего однородному уравнению (6.5). Если все корни уравнения (6.6) простые (различные), свободная составляющая реакции имеет вид

т.е. каждому простому корню р„ соответствует слагаемое свободной составляющей вида где Л_; — постоянная

Если какой-либо корень р/, характеристического уравнения (6.6) имеет кратность п, то этому корню соответствует слагаемое свободной составляющей вида

Характеристическое уравнение (6.6) может иметь вещественные или комплексно-сопряженные корни, причем все корниpj характеристического уравнения линейной цепи, составленной из идеализированных пассивных элементов и независимых источников энергии, расположены в левой полуплоскости комплексного переменного р (включая и мнимую ось): Re|/>, ] 0). Дифференциальное уравнение цепи получают из системы уравнений электрического равновесия цепи при t • °°).

Определение свободной составляющей реакции цепи. На этом этапе составляют характеристическое уравнение цепи, находят его корни и определяют общий вид свободной составляющей реакции цепи (общее решение однородного дифференциального уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению цепи после коммутации).

Нахождение общего вида реакции цепи. Общий вид реакции цепи (общее решение дифференциального уравнения цепи) находят путем суммирования свободной и вынужденных составляющих реакции цепи.

Определение постоянных интегрирования. Постоянные интегрирования находят, используя зависимые начальные условия (значения искомых токов или напряжений и их v — 1 первых производных в начальный момент времени после коммутации). Для определения зависимых начальных условий используют независимые начальные условия и уравнения электрического равновесия цепи при t = 0+.

Определение реакции цепи, соответствующей заданным начальным условиям. Подставляя постоянные интегрирования в общее решение дифференциального уравнения цени после коммутации, находят частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданным начальным условиям, т.е. искомый ток или напряжение одной из ветвей при t > 0.

Переходные процессы в последовательной /?С-цени при скачкообразном изменении ЭДС. Рассмотрим переходные процессы в последовательной ДС-цеии (рис. 6.4, а) при скачкообразном изменении ЭДС идеализированного источника постоянного напряжения:

Такое изменение ЭДС источника напряжения происходит, например, когда в цепи, схема которой приведена на рис. 6.4, б, ключ S в момент времени t = 0 перебрасывают из положения 1 в положение 2. Очевидно, что в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации, напряжение на емкости равнялось напряжению на зажимах источника энергии при t 0

Дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи можно составить относительно любой из неизвестных величин (напряжения на сопротивлении u_Ry напряжения на емкости Uq тока сопротивления i_R, тока емкости i_c), однако, учитывая, что для данной цепи известно начальное значение напряжения на емкости, целесообразно составить уравнение относительно этого напряжения.

Исключая из основной системы уравнений электрического равновесия цепи при t > 0

все неизвестные величины, кроме и_с, получаем

Напряжение па емкости при t > О представим в виде суммы вынужденной и_Сиып и свободной и_Сса составляющих

Очевидно, что с течением времени после коммутации в цепи должен установиться режим постоянного тока, причем установившееся значение тока емкости равно нулю (сопротивление емкости постоянному току бесконечно велико), а установившееся значение напряжения емкости — напряжению источника энергии после коммутации. Таким образом, вынужденная составляющая напряжения па емкости

Характеристическое уравнение цепи RCp +1=0 имеет единственный корень

где тс = RC — постоянная времени последовательной /?С-цепи, поэтому свободная составляющая напряжения на емкости и_с содержит один экспоненциальный член:

Используя выражения (6.10)—(6.12), находим напряжение емкости после коммутации при произвольных начальных условиях:

Для определения постоянной интегрирования Л! воспользуемся независимым начальным условием (6.9). Полагая в выражении (6.13) t = 0+, и_с= и_с(0+) = Е_<, получаем Е = = Е₂ + A_h откуда А_х = Е — Е₂.

Таким образом, при заданных начальных условиях напряжение на емкости после коммутации (t > 0) описывается выражением

Зависимость напряжения на емкости от времени при различных соотношениях между Е и Е₂ показана на рис. 6.4, в — Э, здесь же дана зависимость от времени тока емкости i_c, которая при t > 0 определяется путем дифференцирования выражения (6.14) по времени и умножения результата на С

Как очевидно из рис. 6.4, в — д, в начальный момент после коммутации напряжение на емкости сохраняет то же значение, что и до коммутации, а затем плавно изменяется, стремясь в пределе к Е₂. Ток емкости в начальный момент скачком изменяется от нуля до начального значения:

а затем плавно уменьшается, стремясь к нулю. В связи с гем, что установившееся значение тока емкости до и после коммутации равно нулю, ток рассматриваемой цепи содержит только свободную составляющую.

Анализ выражения (6.16) показывает, что начальное значение тока емкости /с(0+) численно равно постоянному току, который протекал бы в цепи после коммутации, если бы емкость С была заменена идеальным источником напряжения Е.

Следовательно, в начальный момент времени после коммутации емкость ведет себя подобно источнику напряжения, ЭДС которого равна начальному значению напряжения на емкости. Если начальное значение напряжения на емкости равно нулю, то в начальный момент после коммутации ветвь с емкостью можно считать короткозамкнутой, т.е. сопротивление емкости при t = 0+ равно нулю.

Далее (см. пример 6.4) будет показано, что в начальный момент времени после коммутации индуктивность ведет себя подобно источнику тока, ток которого равен начальному значению тока через индуктивность. При /ДО ) = 0 ветвь с индуктивностью в начальный момент времени можно считать разомкнутой, т.е. сопротивление индуктивности при t = 0+ имеет бесконечно большое значение.

Как следует из выражений (6.12) и (6.15), скорость затухания свободных составляющих тока и напряжения емкости не зависит от значений ЭДС идеализированного источника напряжения до и после коммутации, а определяется только постоянной времени цепи т_с, которая численно равна промежутку времени, в течение которого свободные составляющие тока и напряжения уменьшаются в е

2,718 раз. Можно показать, что при любом t > 0

Таким образом, постоянная времени рассматриваемой цени численно равна длине подкасательной к кривой Uq_b или i_CcB при любом значении t > 0, т.е. длине отрезка временной оси, заключенного между какой-либо точкой t = t> О и точкой пересечения временной оси и касательной, проведенной к кривой и_Сса или i_CcB в точке u_CcB(t) или z_CcB(?i). Для определения постоянной времени цепи касательную к кривым ic_CB или наиболее удобно проводить при t = 0. В этом случае она пересекает ось времени в точке t = т_с (см. рис. 6.4, в — д).

Чем больше постоянная времени цепи, тем медленнее затухают свободные составляющие токов и напряжений, а следовательно у токи и напряжения цепи медленнее приближаются к установившимся значениям.

Теоретически процесс установления нового режима в цепи длится бесконечно долго. Однако, учитывая, что к моменту времени, равному Зт^ после коммутации, свободные составляющие уменьшаются до уровня менее 0,05 от начального значения, а к моменту времени, равному 5т_с, — до уровня менее 0,01 от начального значения, переходные процессы в цепи можно считать практически закончившимися через промежуток времени 3-^5т_с после коммутации.

Подключение к последовательной jRL-цепи источника гармонического напряжения. Рассмотрим переходные процессы в последовательной RL-цепи, содержащей идеализированный источник, ЭДС которого изменяется во времени по закону

Временная диаграмма e(t) при со > 0 приведена на рис. 6.5, а.

В этом случае ток индуктивности в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, i_L(0_) = 0.

Дифференциальное уравнение цепи, составленное относительно тока i = ii, при t> 0 имеет вид

Вынужденная составляющая тока может быть найдена с помощью метода комплексных амплитуд:

К исследованию переходных процессов при включении источника гармонического напряжения в последовательную RL-цсиь

Рис. 6.5. К исследованию переходных процессов при включении источника гармонического напряжения в последовательную RL-цсиь

где , ф = arctg(ooL/R) — модуль и аргумент

комплексного входного сопротивления цепи. Характеристическое уравнение цепи

имеет единственный корень р = -R/L, поэтому свободная составляющая тока содержит один экспоненциальный член:

где тi = L/R — постоянная времени последовательной /?1-цепи.

Суммируя свободную и вынужденную составляющие, находим общее решение дифференциального уравнения цепи (6.18) после коммутации:

Для определения постоянной интегрирования Л воспользуемся первым законом коммутации, в соответствии с которым начальное значение тока рассматриваемой цепи должно равняться нулю:

Подставляя равенство (6.20) в выражение (6.19), получаем

С учетом формулы (6.21) выражение для тока цепи после коммутации принимает вид

Характер переходных процессов в цепи зависит от соотношения между начальной фазой ф ЭДС идеализированного источника напряжения и аргументом ф входного сопротивления цепи. Если значения j/ и ф выбраны таким образом, что начальные значения вынужденной i_Bын(0+) и свободной *св(0+) составляющих равны нулю (ф = ф ± тс/2), то свободная составляющая тока тождественно равна нулю. Переходные процессы в цени в этом случае отсутствуют, т.е. установившийся режим наступает сразу же после коммутации. При |/ = ф или |/ = ф ± л начальные значения свободной и принужденной составляющих максимальны и различия в форме кривых i = i(t) и г_пр = i_np(t) выражены наиболее заметно (рис. 6.5, б).

Как и для последовательной /?С-цепи, скорость затухания свободной составляющей тока последовательной RL-цепи не зависит от характера внешнего воздействия, а определяется только постоянной времени x_L. За промежуток времени t = t _l свободная составляющая тока уменьшается в е раз и к моменту времени t = после коммутации переходные процессы в цепи можно считать практически закончившимися.

Подключение к последовательной RLC-цепи источника постоянного напряжения [1] . Последовательная RLC-цепьсодержит два независимо включенных реактивных элемента, поэтому процессы в ней описываются дифференциальным уравнением второго порядка, а для определения постоянных интегрирования необходимо задать два независимых начальных условия. Если ЭДС идеального источника напряжения изменяется во времени по закону

то независимые начальные условия цепи имеют нулевые значения

Составим уравнение электрического равновесия цепи по методу токов ветвей для t > О

Дифференцируя правую и левую части уравнения (6.23), получаем дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи после коммутации:

Для определения единственного решения этого уравнения, соответствующего заданному режиму работы цепи до коммутации, необходимо найти начальные значения тока цепи и его первой производной по времени. Начальное значение тока цепи совпадает с начальным значением тока индуктивности:

а начальное значение первой производной тока цепи по времени может быть найдено с использованием независимых начальных условий (6.22) и уравнения электрического равновесия цени (6.23) при t = 0+:

В связи с тем, что установившееся значение тока этой цени после коммутации равно нулю, ток при t > 0 содержит только свободную составляющую: i = i_CB.

Характеристическое уравнение последовательной RLC- цепи

имеет два корня:

где 5 = R/(2L) — коэффициент затухания; со₀ = 1/VZ.C — резонансная частота цепи. В зависимости от соотношения между величинами со₀ и 8 или, что то же самое, в зависимости от добротности цепи

корни характеристического уравнения (6.27) могут быть вещественными различными, комплексно-сопряженными или вещественными одинаковыми (кратными). Рассмотрим каждый из этих случаев.

Вещественные различные корни. При малой добротности последовательной RLC-цепи (Q 2р и 8 > со₀) характеристическое уравнение (6.27) имеет два различных вещественных отрицательных корня, а выражение для тока цепи после коммутации (t > 0) содержит два экспоненциальных члена:

Дифференцируя правую и левую части выражения (6.29) di/dt = РА_хе р $ + р₂А₂е р ^ и используя зависимые начальные условия (6.25), (6.26), составляем уравнения для определения постоянных интегрирования А и А₂:

откуда

С учетом уравнений (6.30) выражение для тока цепи после коммутации принимает вид

Расположение корнейР,Р2 характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного р и зависимость нормированного тока исследуемой цепи от времени приведены на рис. 6.6, а. Переходный процесс в цепи носит апериодический (неколебательный) характер, причем вследствие того, что |р(| (2) затухает быстрее, чем первая г (1) .

Комплексно-сопряженные корни. При большой добротности последовательной RLC-цепи (Q> 1/2, т.е. R 2 — частота свободных колебаний в цепи (смысл этого понятия будет ясен из последующего изложения). Ток цепи после коммутации, как и в предыдущем случае, определяется выражением (6.29), которое после нахождения постоянных интегрирования А = E/(J2(o_CBL), А₂ = = -?У(/2со_св1) может быть с учетом соотношения

преобразовано к виду

где

Таким образом, при включении в последовательную RLC-цепъ с высокой добротностью идеального источника постоянного напряжения переходные процессы в ней имеют колебательный характер. Ток цепи представляет собой затухающую гармоническую функцию (точнее, квазигармо- ническую функцию), амплитуда которой /,„(/) экспоненциально уменьшается во времени. Колебательный характер переходного процесса в цепи связан с периодическим обменом энергией между емкостью и индуктивностью, а затухание колебаний объясняется потерями энергии в сопротивлении. Расположение корней р_и р₂ характеристического уравнения в плоскости комплексного переменногор и зависимость тока цепи от времени показаны на рис. 6.6, б. Корни характеристического уравнения расположены симметрично относительно действительной оси в левой полуплоскости на полуокружности радиусом, численно равным резонансной частоте последовательного колебательного контура оо₀— Чем меньше коэффициент затухания 8, тем ближе к мнимой оси расположены корни уравнения, меньше различие между со_св и ш₀ и медленнее затухание свободных процессов. В пределе, при 8 = 0, корни характеристического уравнения располагаются на мнимой оси, частота свободных колебаний совпадает с резонансной частотой цепи, а колебательные процессы в цепи носят незатухающий характер (рис. 6.6, в). Таким образом, резонансная частота RLC-цепи численно равна частоте свободных колебаний для случая, когда коэффициент затухания 8 = 0.

Штриховыми линиями на рис. 6.6, б показаны кривые которые характеризуют закон изменения амплитуды тока во времени. Эти кривые называются огибающими. Величина, численно равная длине подкасательной к огибающей тока

называется постоянной времени последовательной RLC-цепи.

Очевидно, что за промежуток времени t = т ордината огибающей тока уменьшается в е раз. Из сравнения выражений (6.31) и (3.69) следует, что постоянная времени последовательной RLC-цепи обратно пропорциональна половине полосы пропускания одиночного колебательного контура на уровне 1/У2:

Таким образом, чем уже полоса пропускания контура, тем медленнее затухают в нем свободные составляющие токов и напряжений

Скорость затухания свободных процессов в рассматриваемой цепи может быть охарактеризована также логарифмическим декрементом колебаний 0, который равен натуральному логарифму отношения двух максимальных значений тока, взят ых через период свободных колебаний Т_св = 2я/со_св =

Найдя натуральный логарифм отношения ординат огибающих тока для t > 0 и t + Г_св, можно прийти к выводу, что логарифмический декремент колебаний не зависит от выбора t, а определяется только добротностью цепи Q

Анализ данного выражения показывает, что логарифмический декремент колебаний равен нулю при 8 = О (Q = °°) и обращается в бесконечность при 5 = со₀ (Q = 1/2).

Определим отношение Зт (промежуток времени, за который свободные составляющие уменьшаются до уровня 5% от начального значения) к периоду свободных колебаний Г_св:

Следовательно, добротность одиночного колебательного контура приближенно равна числу периодов свободных колебапий, укладывающихся па интервале затухания свободных составляющих до уровня 5% от начального.

Кратные корни. При Q = 1/2, т.е. при R = 2р и 5 = оо₀> ха_ рактеристическое уравнение последовательной /XX-цен и имеет два одинаковых вещественных корня Р=Р2 = -б, расположенных на отрицательной вещественной полуоси в плоскости комплексного переменного р (рис. 6.6, г). Как следует из выражения (6.8), общее решение дифференциального уравнения (6.24) при t > 0 в этом случае имеет вид

Определяя с помощью зависимых начальных условий (6.25) и (6.26) значения постоянных интегрирования А = О, Л₂ = E/L и подставляя их в выражение (6.32), окончательно получаем

Как и в случае вещественных различных корней, переходный процесс в цепи при одинаковых вещественных корнях имеет апериодический характер (см. рис. 6.6, г), поэтому условие Q=l/2 является предельным условием существования в цепи апериодических свободных процессов. Режим работы цепи на границе между колебательным и апериодическим переходными процессами называется критическим.

Таким образом, характер переходных процессов в последовательной RLC-цепи полностью определяется расположением корней характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного.

Описанная зависимость характера переходных процессов в цепи второго порядка от расположения корней характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного присуща не только последовательной /XX-цени, она является общим свойством линейных электрических цепей любого порядка сложности.

Подключение к последовательной ЛТС-цепи источника гармонического напряжения. Рассмотрим важный для практики случай включения источника гармонического напряжения в последовательную /XX-цепь с высокой добротностью (Q X 1/2). Свободные процессы в такой цепи, как было установлено выше, имеют колебательный характер. Пусть идеализированный источник напряжения включен в цепь в момент времени t = 0 (см. выражение (6.17)), причем примем, что мгновенное значение ЭДС этого источника при t = 0 равно нулю (р = -л/2). Уравнение баланса напряжений такой цепи после коммутации имеет вид

а дифференциальное уравнение цепи

Для решения уравнения (6.34) необходимо определить начальные значениятока цепи г(0+) и его первой производной по времени

Используя независимые начальные условия и уравнение электрического равновесия (6.33), получаем

Суммируя вынужденную и свободную составляющие тока

находим общее решение уравнения (6.34) при t > 0:

где — амплитуда вынужденной

составляющей тока; — аргумент комплексного входного сопротивления рассматриваемой цепи.

Для определения постоянных интегрирования A_it А₂ продифференцируем правую и левую части выражения (6.38):

и подставим в выражения (6.38) и (6.39) зависимые начальные условия (6.35). Решая полученную таким образом систему уравнений относительно Л), и А₂, получаем

С учетом соотношений (6.40) выражение (6.37) для свободной составляющей тока может быть преобразовано к виду

Предположим, что частота внешнего воздействия ш близка к частоте свободных колебаний со_св, а добротность Q настолько велика, что со_св практически совпадает с резонансной частотой цепи со₀.

С учетом этих допущений, которые незначительно уменьшают общность получаемых результатов, выражение (6.41) существенно упрощается:

Таким образом, в последовательной RLC-цепи, удовлетворяющей принятым допущениям, свободная составляющая тока является затухающей гармонической функцией времени. В начальный момент времени амплитуда свободной составляющей тока равна амплитуде вынужденной составляющей, а затем уменьшается по экспоненциальному закону. Через промежуток времени, равный 3-^5т после коммутации, амплитуда свободной составляющей становится пренебрежительно малой по сравнению с амплитудой вынужденной составляющей, и переходный процесс в цепи можно считать практически закончившимся.

Ток цепи после коммутации равен сумме свободной и вынужденной составляющих:

Если частота внешнего воздействия совпадает с резонансной частотой цепи coq, то входное сопротивление цепи име-

Зависимость тока последовательной RLC-цепи от времени при включении источника гармонического напряжения

Рис. 6.7. Зависимость тока последовательной RLC-цепи от времени при включении источника гармонического напряжения:

а — со = со₀, 8 * 0; 6 — со * со₀,5 = 0

ет чисто резистивный характер (ф = 0) и выражение (6.42) принимает вид (рис. 6.7, а)

Как очевидно из рисунка, амплитуда тока цепи при со = coq плавно увеличивается во времени, стремясь в пределе к установившемуся значению 1_т вьш. Ни при каких значениях t амплитуда тока после коммутации не превышает этого значения.

При включении в последовательную RLC-цепь источника гармонического напряжения, частота которого близка к резонансной, но не равна ей, в цепи наблюдаются биения, заключающиеся в периодическом увеличении амплитуды тока или напряжения до значения, значительно превышающего амплитуду вынужденной составляющей (рис. 6.7, б). Если пренебречь затуханием свободной составляющей тока (8 = 0), то из выражения (6.42) получаем

Как следует из выражения (6.44), в рассматриваемом случае ток цепи имеет частоту, близкую к резонансной ((со + coq)/2

со₀), амплитуда тока медленно изменяется во времени:

а максимальное значение тока в переходном режиме в два раза превышает амплитуду вынужденной составляющей.

Возникновение биений при включении источника гармонического напряжения в последовательную RLC-цепь объясняется тем, что вследствие несовпадения частот внешнего воздействия и свободных колебаний фазовые соотношения между свободной и вынужденной составляющими тока непрерывно изменяются, причем разность мгновенных фаз этих колебаний (со — со₀)Г линейно нарастает во времени. В те моменты времени, когда разность мгновенных фаз равна 2kn, где k = О, 1,2, сумма мгновенных значений /_св и г_вын минимальна, а в те моменты времени, когда разность фаз равна (2k + 1 )тг, — максимальна. Частотой биений называют частоту повторения максимумов огибающей тока (6.45). Угловая частота биений, таким образом, равна абсолютному значению разности угловых частот свободной и вынужденной составляющих:

В реальных колебательных контурах коэффициент затухания имеет малое, но конечное значение. Свободная составляющая тока в таких контурах экспоненциально уменьшается во времени, а биения носят затухающий характер.

Общая схема расчета переходного процесса, классическим методом.

Имеется несколько методов расчёта переходных процессов: классический, операторный, спектральный. Эти методы базируются на принципах наложения и в зависимости от вида цепи, характера переходного процесса имеют то или иное преимущество. Классическому методу свойственна большая наглядность, поэтому изучение переходных процессов начинаем с него.

Расчёт любого переходного режима также как и установившегося основан на уравнениях Кирхгофа. Если для цепи составить полную систему уравнений Кирхгофа, то получим систему интегродифференцированных уравнений. Появляются составляющие вида:

-которые выражают падения напряжения на индуктивности и ёмкости. От интегралов легко освободится, продифференцировав уравнение ещё раз, тогда получится система дифференциальных уравнений. Известно, что такую систему методом исключения переменных можно привести к дифференциальному уравнению более высокого порядка относительно тока или напряжения, так что в конечном итоге получим уравнение вида:

-где x(t)-искомая неизвестная, f(t)-свободный член уравнения, зависящий от источника энергии цепи. Это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Решение такого уравнения представляется в виде двух составляющих:

-частного решения неоднородного уравнения, общего решения однородного уравнения.

Первое соотношение зависит от вида функции f(t) и выражает вынужденный режим, который установится в схеме под воздействием источников энергии, поэтому её называют принуждённой или вынужденной составляющей тока или напряжения.

Вторая составляющая описывает процессы при прекращении действия всех источников ЭДС и тока (f(t)=0), то есть выражает свободный режим и называется свободной составляющей тока или напряжения. Этот режим устанавливается без источников энергии, но может существовать за счёт энергии накопленной в электрических и магнитных полях энергоёмких (реактивных) элементах. Свободный режим с течением времени затухает, так как в любой реальной цепи сопротивление проводников отлично от нуля, и электромагнитная энергия с течением времени превращается в тепловую и другие виды энергии.

Можно сказать, что принуждённый режим это такой режим, который создаёт в цепи свободный режим.

Принуждённая составляющая тока или напряжения определяется обычными методами расчёта установившихся процессов, и может содержать постоянные и синусоидальные составляющие в зависимости от характера действующих в цепи источников энергии.

Свободная составляющая находится методом Эйлера:

-для определения свободного режима необходимо составить и рассмотреть характер уравнения и определить постоянные интегрирования, они находятся из так называемых начальных условий, которые должны быть заданны или определены расчётом цепи, начиная с момента времени t=0 или точнее t=+0. Начальные условия определяются расчётом цепи, исходя из параметров цепи, а также законов коммутации и Кирхгофа.

Общим свойством уравнения является то, что их вещественные части всегда отрицательны, эта особенность является следствием того, что свободные процессы носят затухающий характер.

Необходимо иметь в виду, что в цепи существует единый переходный процесс представленный в виде двух рассмотренных, является искусственной причиной вытекающей из способа рассмотрения дифференциального уравнения.

Полупроводники.

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

что значит свободная составляющая в задачах на переходные процессы (ТОЭ) ну и что такое принужденная составляющая?

Физический смысл:
ПРИНУЖДЕННОЙ величины: когда в ПОСЛЕ-коммутационной схеме есть кому принуждать ток двигаться.
СВОБОДНОЙ величины: процесс перераспространения накопления энергии между накопителями.

С математической точки зрения:
После срабатывания ключа (или рубильника) схема может быть описана по уравнениям Кирхгофа в дифференциальном виде для мгновенных значений.
Для искомой величины получится дифференциальное уравнение. Его решение есть сумма общего и частного решения. В электротехнике это решение называется соответственно суммой свободной и принужденной составляющих.
Для определения свободной составляющей следует математически имитировать свободный режим, т. е . исключить воздействие, положив правую часть дифференциального уравнения равной нулю.
В общем случае для определения принужденной составляющей нужно рассчитать искомую величину в стационарном режиме, т. е. по прошествии бесконечно большого времени после коммутации.

Принужденные и свободные составляющие токов и напряжений кратко

Переходные процессы есть процессы перехода от одного установившегося состояния к другому установившемуся состоянию. Изменения параметров элементов схемы или изменение режима работы самой схемы называются коммутациями .
Непосредственное изменение сигналов тока и напряжения во времени может быть определено классическим методом расчета электрических цепей. Основой этого способа является составление дифференциальных уравнений, описывающих состояние цепи, и их интегрирование, причем количество производных определяется числом элементов-накопителей в заданной цепи.

В соответствии с классическим методом находят частное и общее решения однородных дифференциальных уравнений. Частное решение обусловлено вынужденным воздействием источников e(t) или i(t). Общее решение находят при отсутствии источников. В этом случае токи и напряжения называются свободными и всегда затухают за счет потерь в цепи. В случае комплексных корней процессы в цепи могут быть колебательными за счет собственных колебаний цепи, но также будут убывать во времени при положительной вещественной части.

В природе соблюдается принцип непрерывности во времени потокосцепления индуктивности и электрического заряда емкости.

Потокосцепление скачком измениться не может

Заряд емкости скачком измениться не может

Следовательно, по 1-му закону коммутации в первый момент после коммутации ток в катушке индуктивности скачком измениться не может :

по 2-му закону коммутации в первый момент после коммутации напряжение на емкости скачком измениться не может :

За начало отсчета переходного процесса принимается время, равное нулю, начальные значения тока и напряжения до коммутации определяются из начальных условий.
Анализ переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами сводится к решению линейных неоднородных дифференциальных уравнений на основе законов Кирхгофа.

Включив и отключив источник тока в установке мы увидим, что сила тока со временем изменится и постоянное значение силы тока в контуре с соленоидом установится не мгновенно, а через некоторый промежуток времени. В течение этого промежутка времени в цепи происходит процесс, получивший название переходного . Переходный процесс в цепи с соленоидом происходит за счет явления самоиндукции.
Уравнение цепи имеет вид:

Общее решение уравнения может быть найдено методом наложения принужденного и свободного режимов.

где
— ток принужденного режима при или частное решение неоднородного уравнения,
— ток свободного режима или общее решение однородного уравнения (с нулевой правой частью).

В общем случае . Число слагаемых зависит от порядка уравнения или числа накопителей энергии.
Свободные процессы исследуются для определения устойчивости системы. В устойчивой системе процессы должны затухать.
Принужденный режим определяет новое состояние электрической цепи после окончания переходного процесса.
До коммутации (до включения) ток в цепи отсутствовал . На основании 1-го закона коммутации
ток в индуктивности в первый момент после коммутации равен току до коммутации. В нашем примере ток равен 0.
Ток находим в виде суммы принужденной и свободной составляющих :

Свободную составляющую находим из уравнения :

Решение этого уравнения

где
k — корень характеристического уравнения, называют постоянной времени для цепи, состоящей из соленоида и резистора.

А — постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий при t = 0 с использованием законов коммутации, в частном случае первого закона для индуктивности

Учитывая, что
Решение будет иметь вид:

Вид кривых тока и напряжений на элементах цепи

При размыкании цепи с соленоидом, в которой отсутствует разветвление, изменение силы тока протекает более сложным образом. При отключении контакты рубильника расходятся и в цепь последовательно включается сопротивление воздушного промежутка между удаляющимися друг от друга контактами рубильника. Если предположить, что проводимость воздуха весьма мала, то сила тока в такой цепи должна почти мгновенно уменьшиться до нуля, при этом в контуре возникает большая э. д. с. самоиндукции. Она может оказаться во много раз больше, чем э. д. с. источника тока, на которую рассчитана цепь, и это может привести к аварийной ситуации (лампочки в квартире иногда перегорают после выключения цепи с большой индуктивностью).
При размыкании цепи э. д. с. самоиндукции часто создает между расходящимися контактами рубильника настолько сильное электрическое поле, что происходит ионизация воздуха, возможно даже вырывание свободных электронов с поверхности контактов (явление автоэмиссии); в воздушном промежутке возникает искровой или дуговой разряд, разрушающий контакты рубильника.

Таким образом, газовый промежуток между расходящимися контактами рубильника при отключении цепи обладает проводимостью и сила тока в цепи уменьшается до нуля не мгновенно. Сопротивление газового промежутка между контактами выключающего устройства нелинейно; поэтому детальный анализ переходного процесса в этом случае оказывается достаточно сложным.
При размыкании неразветвленной цепи большой мощности со значительной силой тока (сотни и тысячи ампер и более), содержащей большие индуктивности (электродвигатели, трансформаторы), принимают специальные меры против образования дугового разряда между контактами рубильника.

Для гашения дуги применяют масляные выключатели, в которых контакты находятся в жидком масле, имеющем малую проводимость и гасящем дугу, выключатели нагрузки, вакуумные выключатели.

которое является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Следовательно, определение тока как функции времени сводится к решению этого дифференциального уравнения.

Известно, что общий интеграл линейного дифференциального уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Если действующая в цепи ЭДС постоянна (Е=Const), то частным решением неоднородного уравнения будет E/R.

Однородное уравнение получаем из исходного, приравнивая нулю его правую часть:

Решением однородного уравнения является функция вида Ae pt , где A и p – постоянные числа, не зависящие от t. Для рассматриваемой цепи A=E/R, р=-R/L.

Тогда полным решение исходного уравнения будет

Убедимся, что подстановка этого решения в исходное уравнение обращает его в тождество

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения называют принужденной составляющей переходного тока или напряжения, а общее решение однородного дифференциального уравнения – свободной составляющей.

В рассмотренном нами примере E/R – принужденная составляющая переходного тока, а (-E/R)e -Rt/L его свободная составляющая. Таким образом, полная величина переходного тока

Принужденные составляющие переходных токов и напряжений определяются в цепях постоянного тока любым из известных методов расчета цепи в установившемся режиме после коммутации, а в цепях синусоидального тока символическим методом.

Кроме того, следует помнить, что постоянный ток через конденсатор не проходит, поэтому принужденная составляющая емкостного тока в цепях с постоянной ЭДС равна нулю. Падение напряжения на индуктивности от постоянного тока равно нулю. Следовательно, равна нулю и принужденная составляющая индуктивного напряжения.

В линейных электрических цепях свободные составляющие затухают по показательному закону e pt . Из трех токов (полного, принужденного и свободного) основное значение имеет полный ток. Именно он является тем реальным током, который проходит по тому или иному участку цепи в переходном режиме.

Физически эта составляющая определяет закон рассеяния энергии, первоначально запасенной в накопителях энергии ( индуктивных и (или) емкостных) в цепи свободной от источников энергии . Именно эта составляющая определяет характер и время переходного процесса.

Рассмотрим сначала некоторые общие вопросы расчета переходных процессов на достаточно простом примере — включении последовательного контура (rLC-цепи) к источнику ЭДС е, которая изменяется во времени непрерывно и задана каким-либо аналитическим выражением.

Запишем второй закон Кирхгофа для произвольного момента времени

где i — ток переходного процесса, который в дальнейшем будем называть переходным током, или просто током;

Когда с переходным процессом можно уже не считаться, наступает принужденный режим. Принужденный режим, создаваемый источником произвольной периодически изменяющейся ЭДС (или тока), называют установившимся. После окончания переходного процесса источник ЭДС, изменяющейся, например, по экспоненциальному закону, создает принужденный режим. Источники постоянной и изменяющейся по гармоническому закону ЭДС (или тока) создают принужденный, или установившийся, режим.

Когда наступит установившийся режим, уравнение (14.1) примет вид

где и — ток и напряжение установившегося режима, или просто установившиеся ток и напряжение.

Вычитая почленно уравнение (14.2) из уравнения (14.1) и обозначая

Разности токов и напряжений переходного процесса и принужденного режимов называются соответственно тока и напряжением свободного процесса, или просто свободными током и напряжением.

Уравнения (14.4) показывают, что при переходе цепи от одного установившегося состояния к другому напряжения на всех элементах, создаваемые свободными составляющими токов, взаимно уравновешиваются, но свободные напряжения зависят, конечно, от ЭДС е источника.

Уравнение (14.3) показывает, что процесс, происходящий в цепи, можно рассматривать состоящим из двух накладывающихся друг на друга процессов — установившегося, который как бы наступил сразу, и свободного, имеющего место только во время переходного процесса. Благодаря свободным составляющим и достигается в переходном процессе непрерывное приближение к установившемуся режиму. Следовательно, во время переходного процесса токи и напряжения могут быть разложены на слагающие в общем случае принужденного, а при постоянных и периодических ЭДС или токах источников установившегося режима и свободного процесса:

Так как принцип наложения применим лишь к линейным цепям, то это разложение допустимо для линейных цепей. Конечно, физически существуют только переходные токи и напряжения, и разложение их на установившиеся и свободные составляющие является удобным математическим приемом, облегчающим расчет переходных процессов в линейных цепях. Разложение переходных токов и напряжений соответствует правилу решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений, согласно которому общее решение таких уравнений равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Действительно, свободный ток представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения (14.4а), и, следовательно, в его выражении должны быть постоянные интегрирования, число которых равно порядку дифференциального уравнения. Установившийся ток представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения (14.1), а именно такое, которое получается из общего решения неоднородного дифференциального уравнения при равных нулю постоянных интегрирования. Иными словами, в составе принужденного тока не должно быть слагающих свободного тока. Поэтому переходный ток и будет общим решением того же самого неоднородного дифференциального уравнения.

Начнем изучение переходных процессов с исследования процессов в простейших цепях так называемым классическим методом. Этот метод заключается в интегрировании дифференциальных уравнений, связывающих токи и напряжения цепи, в результате чего появляются постоянные, и в определении постоянных из начальных условий, вытекающих из законов коммутации.

Начальными условиями назовем значения переходных токов в индуктивных элементах и напряжений на емкостных элементах при t = О, т. е. те значения, которые в момент коммутации не изменяются скачком. Иногда эти условия называются еще независимыми начальными условиями. В отличие от них начальные значения всех остальных токов и напряжений называют зависимыми начальными условиями. Зависимые начальные условия определяются по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Отметим, что основная трудность классического метода исследования переходных процессов в сложных цепях как раз и состоит в определении зависимых начальных условий.