Какие есть системы счисления

Системы счисления

Система счисления — это совокупность методов наименования и обозначения чисел. Условные знаки, которые применяются для обозначения чисел, называются цифрами.

Разряд — это позиция цифры в числе.

Алфавит системы счисления — это совокупность символов для записи числа.

Основание системы счисления — это количество цифр в алфавите. Определяет, во сколько раз различаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях числа.

Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные.

Позиционные системы счисления

В позиционной системе счисления значение (вес) цифры зависит от ее положения в числе. Наша десятичная система счисления – позиционная. К примеру, в числе 555 значение первой пятерки равно 500, второй – 50, третьей – 5.

В позиционной системе счисления число записывается в виде последовательности цифр. Пусть р > 1 – некоторое целое положительное число, которое будем называть основанием системы счисления. Система счисления по основанию р называется p-ичной. В качестве цифр такой системе счисления обычно выбирают цифры от 0 до p-1.

Целое число в p-ичной системе счисления – это последовательность вида

Значение числа есть

При записи числа основание системы счисления указывают в конце записи числа снизу:

1023₁₀ – число в десятичнойсистеме счисления;

1023₆ – число в шестиричнойсистеме счисления;

1023₄ – число в четвиричнойсистеме счисления.

Придавая p разные значения, можно получать системы счисления с разными основаниями.

Непозиционные системы счисления

В непозиционной системе счисления значение цифры не зависит от ее положения в числе. Примером непозиционной системы счисления служит римская система счисления. Алфавит римской системы счисления приведена в таблице 1.

Величина числа определяется как сумма или разность цифр в числе: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

К примеру, в числе III (три) значение каждой I , независимо от ее положения в числе равно 1.

910= IX
1110= XI
2810=XXVIII=10+10+5+1+1+1.
9910= XCIХ = (100-10)+(10-1)
199810=MCMXCVIII=1000+(1000-100)+(100-10)+5+1+1+1.

Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления (англ. — Binary system ) основание системы p = 2. Алфавит двоичной системы счисления состоит всего из двух знаков 0 и 1.

Для обозначения двоичных чисел после последней цифры указывается символ «В» или число «2» в нижнем индексе. Например: 101001B или 1010012.

Развернутая форма записи целого числа будет выглядеть следующим образом:

Вес цифры в соответствующем разряде приведен в таблице 2.

Вес цифры в двоичном числе

Разряд	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
Вес	1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления (англ. — Hexadecimal system ) — это позиционная целочисленная система счисления с основанием 16 (p = 16). Она является одной из самых популярных в программировании и электронике, наряду с двоичной и десятичной.

Алфавит состоит их цифр от 0 до 9 и латинских букв от A до F.

Латинские буквы представляют собой десятичные числа от 10 до 15.

Для обозначения двоичных чисел после последней цифры указывается символ «H» или число «16» в нижнем индексе. Например: 3A7FH или 3A7F16.

Развернутая форма записи целого шестнадцатеричного числа будет выглядеть следующим образом:

Вес цифры в шестнадцатеричном числе

Разряд	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
Вес	1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1

Таблица 4 показывает соответствия значений шестнадцатеричных, десятичных и двоичных чисел.

Соответствия значений шестнадцатеричных, десятичных и двоичных чисел

Десятичное число	Двоичное число	Шестнадцатеричное число
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	А
11	1011	B
12	1100	С
13	1101	D
14	1110	Е
15	1111	F
16	10000	10
17	10001	11
18	10010	12
19	10011	13
20	10100	14

Рис. 5 — —>

Системы счисления

Перевод из десятичной в двоичную — деление в столбик или сравнение по таблице степеней двойки.

Перевод обратно, из двоичной в десятичную — умножение разрядов на степени двойки и сложение.

Непозиционная: Римская система счисления

I — 1, V — 5, X — 10, D — 50, L — 500, M — 1000 — значение не зависит от позиции (зависит по-другому).

Двоичная система счисления (запись чисел)

Позиционная система счисления с основанием 2, Числа записываются с помощью двух символов: 0 и 1.

Например: число $3 = 11_2$.

• $\ x_<2,2>$ — представляемое число, первый индекс — основание системы счисления (размерность множества цифр $a=<0,1>$), второй индекс — основание весовой показательной функции $b$ (в двоично-десятичном кодировании $b=10$),
• $\ a_a_. a_1a_0$ — запись числа, строка цифр,
• $\ .\ .\ .\ _<2,2>$ — обозначение основания системы кодирования и основания системы счисления,
• $n$ — количество цифр (знаков) в числе $x_<2,2>$,
• $k$ — порядковый номер цифры,
• $a_k$ — цифры числа $x_ <2,2>из множества $a=<0,1>$, в двоичной системе счисления, основание системы кодирования равно 2,
• $b=2$ — основание показательной весовой функции, основание системы счисления,
• $b^k=2^k$ — весовая показательная функция, создающая весовые коэффициенты.

Восьмеричная, шестнадцатеричная

Позиционная целочисленная система счисления с основанием 8 (используются цифры от 0 до 7).

Таблица перевода восьмеричных чисел в двоичные:

Перевод целых чисел из 10 системы счисления в любую

Для перевода надо делить «в столбик» число на основание системы счисления. Каждый очередной остаток будет цифрой числа

Вывод числа в произвольной системе счисления:

Перевод целых чисел из 2-й, 8-й, 16-й в 10 сс

Для перевода умножаем каждую последующую цифру на соответствующую степень 2-ки, 8-рки, 16-ти

Для двоичного числа: $x = a_n<\cdot>2^n + . + a_1<\cdot>2^1 + a_0<\cdot>2^0$

Какие системы счисления существуют?

Систе́ма счисле́ния — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные.
Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места, где он расположен. Такая система счисления основывается на том, что некоторое число n единиц (основание системы счисления) объединяется в одну единицу второго разряда, n единиц второго разряда объединяются в одну единицу третьего разряда и т. д. Основанием системы счисления может быть любое число, большее единицы.

Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации.
К числу таких систем относится современная десятичная система счисления (с основанием n = 10), возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших ее у мусульман.
Пример: Фибоначчиева система счисления, Факториальная система счисления, Биномиальная система счисления, Система счисления майя (Майя использовали 20-ричную систему счисления за одним исключением: во втором разряде было не 20, а 18 ступеней, то есть за числом (17)(19) сразу следовало число (1)(0)(0). Это было сделано для облегчения расчетов календарного цикла, поскольку (1)(0)(0) = 360 примерно равно числу дней в солнечном году. )

Непозиционные системы счисления

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.

Пример :Римская система счисления, Система остаточных классов (СОК)

Какие есть системы счисления

Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел.

Цифры — знаки, при помощи которых записываются числа,.

Алфавит системы счисления — совокупность цифр.

Египетская система счисления

Древнеславянская система счисления

Вавилонская система счисления

Узловые числа обозначаются цифрами — 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Алгоритмические числа получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел — 4*100+5*10+8=458

Унарная система счисления

Простейшая и самая древняя система — так называемая унарная система счисления.

В ней для записи любых чисел используется всего один символ — палочка, узелок, зарубка, камушек.

Непозиционная система счисления

Система счисления называется непозиционной, если количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа.

Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила:

каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

Позиционная система счисления

Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры в числе зависит от её положения в записи числа.

Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.

Алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Десятичная система счисления

Цифры 1234567890 сложились в Индии около 400 г. н. э.

Арабы стали пользоваться подобной нумерацией около 800 г. н. э.

Примерно в 1200 г. н. э. эту нумерацию начали применять в Европе.

Основная формула

В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:

Aq =±(a_n–1 ´ q n–1 + a_n–2 ´ q n–2 +…+ a₀ ´ q 0 + a_–1 ´ q –1 +…+ a_–m ´ q –m )

q — основание системы счисления;

a_i — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;