Какой вывод можно сделать сравнивая циркуляцию векторов e и b

Циркуляция вектора индукции магнитного поля

Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля

Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру, охватывающему токи, прямо пропорциональна алгебраической сумме токов, пронизывающих этот контур.

В виде формулы теорема записывается следующим образом:

$\oint\limits_L\;\overrightarrow Bd\overrightarrow l\;=\;M_0\sum_^n\;=\;M_0I$

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В данном случае I будет означать полный ток .

Теорема используется для того, чтобы облегчить вычисление индукции магнитного поля, созданного совокупностью токов, текущих по проводам. Упрощение достигается с учетом симметрии и конфигурации токов. К примеру, с применением этой теоремы возможен расчет магнитной индукции для проводников с высокой степенью симметрии.

Взглянем на циркуляцию вектора $\overrightarrow B$ . Предположим, что условный замкнутый контур находится в пространстве с магнитным полем, а также предположим направление его обхода. В таком случае, касательная составляющая $B_l$ вектора $\overrightarrow B$ определяется на каждом отдельно взятом маленьком участке $\triangle l $ этого контура. Иными словами определяется проекция вектора $\overrightarrow B$ на направление касательной к определенному участку контура.

Циркуляцией вектора $\overrightarrow B$ является сумма произведений $B_l$ и $\triangle l$ , которая взята по целому контуру L: $\overrightarrow B = \textstyle\sum_ <(L)>B_l \triangle l.$

Исходя из этого, можно сформулировать следующее: принимая во внимание теорему о циркуляции, циркуляция вектора $\overrightarrow B$ магнитного поля постоянных токов по каждому из контуров L в любой момент времени рассчитывается как произведение магнитной постоянной $\mu_0$ на сумму всех токов:

Вывод из теоремы: так как циркуляция индукции магнитного поля не равняется нулю, магнитное поле прямолинейного тока не будет являться потенциальным.

$\oint\limits_L\;(\overrightarrow Bd\overrightarrow l)\;\neq0$ , где $\overrightarrow B$ обозначает вектор магнитной индукции, а dl является элементом произвольного контура L.

Чему равна циркуляция, закон Био–Савара

Циркуляция вектора $ \overrightarrow B$ прямолинейного тока вдоль замкнутого контура, который не охватывает этот проводник, равняется нулю. В случае, когда несколько токов оказываются охваченными контуром, циркуляция вектора $\overrightarrow B$ равняется их алгебраической сумме:

$\oint\limits_l\;(\overrightarrow Bd\overrightarrow l)\;=\;\mu_0\sum_i\;l_i$

Закон Био-Савара определяет вклад $\triangle\overrightarrow B$ в магнитную индукцию $\overrightarrow B$ результативного магнитного поля, образуемого маленьким участком $\triangle l $ проводника с током I.

В данном случае r является расстоянием от заданного участка $\triangle l$ до точки наблюдения, $\alpha$ обозначает угол между направлением на точку наблюдение и направлением тока на определенном участке, а $\mu_0$ является магнитной постоянной.

Благодаря закону Био-Савара можно определить магнитные поля током с различными конфигурациями и вычислить магнитное поле в центре кругового витка с током.

Дифференциальная форма теоремы о циркуляции

Предположим, что S — это поверхность, охватываемая контуром L. Правило правого винта будет связывать проложенную к поверхности нормаль и направление обхода контура L. В таком случае определить силу тока, текущего через поверхность S, можно с помощью следующей формулы:

$I\;=\;\int\limits_S\;\overrightarrow jd\overrightarrow S$

В этой формуле $\overrightarrow j$ будет обозначать объемную плотность тока.

Исходя из этого, используем следующее написание формулы:

$\oint\limits_L\;\overrightarrow Bd\overrightarrow l\;=\;\mu_0\int\limits_S\;\overrightarrow jd\overrightarrow S$

Теперь образуем ротор вектора $rot\overrightarrow B$ , основываясь на теореме Стокса, уточним, что:

Тогда формула примет вид:

$\oint\limits_L\;\overrightarrow Bd\overrightarrow l\;=\;\int\limits_Srot\overrightarrow Bd\overrightarrow S$

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля

Было выявлено, что на заряд q , находящийся в электростатическом поле, действуют консервативные силы, причем работа А на замкнутом пути L равняется нулю:

A = ∮ L F ¯ d r ¯ = q ∮ L E ¯ d r ¯ = 0 , где r — это вектор перемещения. Данный интеграл представляет собой циркуляцию вектора напряженности электростатического поля.

Если единичный заряд положительный, то запись приобретает совсем другой вид. Интеграл левой части уравнения и является циркуляцией вектора напряженности по контуру L .

Теорема о циркуляции

Электростатическое поле характеризуется циркуляцией его вектора напряженности по замкнутому полю и равняется нулю. Утверждение называют теоремой о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.

Для ее доказательства основываются на работе поля по перемещению заряда, не зависящую от ее траектории. L 1 и L 2 обозначают в качестве различных путей между точками А и В . При замене их местами получим L = L 1 + L 2 . Теорема доказана

Следствие теоремы о циркуляции. Теорема Стокса

Так как линии на напряженности электростатического поля незамкнуты, то это применяют в качестве следствия. Их начало идет с положительных зарядов, а заканчивается отрицательными или их уходом в бесконечность. Теорема верна для статичных зарядов.

Еще одним следствием является непрерывность тангенциальных составляющих напряженности. Это говорит о том, что ее компоненты, являющиеся касательными к выбранной любой поверхности во всякой точке, на обеих сторонах содержат одинаковые значения.

Необходимо выделить произвольную часть поверхности S , которая опирается на контур L .

Следствие теоремы о циркуляции. Теорема Стокса

По формуле Стокса интеграл от ротора вектора напряженности r o t E → , взятый по поверхности
S , равняется циркуляции вектора напряженности вдоль контура, на который опирается данная поверхность.

Значение d S → = d S · n → , n → является единичным вектором, перпендикулярным участку d S . Интенсивность «завихрения» вектора характеризуется ротором r o t E → . Это рассматривают на примере наличия крыльчатки, помещенной в жидкости, изображаемой на рисунке 2 . Если ротор не равняется нулю, то крыльчатка будет продолжать вращение, причем с ростом скорости вращения увеличится модуль проекция ротора на ось крыльчатки.

Следствие теоремы о циркуляции. Теорема Стокса

Для вычисления ротора применяют формулы:

Если использовать уравнение ( 6 ) , то циркуляция вектора напряженности будет равной нулю.

При выполнении условия ( 8 ) для любой поверхности S , упирающейся на контур L , возможно с подынтегральным выражением, причем для каждой точки поля.

Действие производится аналогично крыльчатке из рисунка 2 . На ее концах имеются одинаковые заряды, равные q . Вся система находится в однородном поле с напряженностью E . Если r o t E → ≠ 0 , то предусмотрено вращение с ускорением, зависящим от проекции ротора на ось крыльчатки. Если поле электростатическое, тогда движение по окружности не происходило бы ни при каком расположении оси. Основная отличительная особенность электростатического поля в том, что оно является безвихревым.

Представление теоремы о циркуляции в дифференциальном виде:

Дан рисунок 3 с изображением электростатического поля. Что можно сказать о его характеристиках?

Следствие теоремы о циркуляции. Теорема Стокса

Решение

По рисунку видно, что существование электростатического поля невозможно. Для выделенного пунктиром контура циркуляции вектора напряженности применяется формула:

Это невозможно, так как существует противоречие теоремы о циркуляции. Определение напряженности поля (измеряется в вольтах на метр В м или в ньютонах на кулон Н К ) идет с помощью густоты силовых линий, причем с различными значениями. Работа по замкнутому кругу не равна нулю, значит, циркуляция вектора напряженности также нулю не равняется.

Показать, что тангенциальные составляющие вектора напряженности электростатического поля не изменяются при переходе через границу раздела диэлектриков, основываясь на теореме о циркуляции.

Решение

Если рассмотреть границу между двумя диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями ε 2 и ε 1 , изображенных на рисунке 4 , то видно, что ось Х проходит через середины сторон b . На границе выбирается прямоугольный контур с параметрами длины ( а ) и ширины ( b ) .

Следствие теоремы о циркуляции. Теорема Стокса

Выполнение теоремы о циркуляции обусловлено наличием электростатического поля. Его находят из формулы:

Если контур имеет небольшие размеры, тогда циркуляция вектора напряженности, согласно формуле ∮ L E → d s → = 0 , представляется в виде:

∮ L E → d s → = E 1 x a — E 2 x a + E b 2 b = 0 .

E b — это среднее значение E → на участках, перпендикулярных к границе раздела.

Из формулы ∮ L E → d s → = E 1 x a — E 2 x a + E b 2 b = 0 следует:

E 2 x — E 1 x a = E b 2 b .

Когда b → 0 , тогда

Выполнение выражения E 2 x = E 1 x возможно при произвольном выборе оси Х , которая располагается на границе раздела диэлектриков. Можно представить вектор напряженности в виде двух: тангенциальной E τ и нормальной E n :

E 1 → = E 1 n → + E 1 τ → , E 2 → = E 2 n → + E 2 τ → .

Отсюда следует, что

E τ 1 = E τ 2 , где E τ i является проекцией вектора напряженности на орт τ , который направлен вдоль границы раздела диэлектриков.

Какой вывод можно сделать сравнивая циркуляцию векторов e и b

Работа по перемещению проводника и контура с током в магнитном поле

На проводник с током в магнитном поле действуют силы, определяемые законом Ампера (см. §111). Если проводник не закреплен (например, одна из сторон контура изготовлена в виде подвижной перемычки, рис. 177), то под действием силы Ампера он будет в магнитном поле перемещаться. Следовательно, магнитное поле совершает работу по перемещению проводника с током.

Для определения этой работы рас-

смотрим проводник длиной l с током I (он может свободно перемещаться), помещенный в однородное внешнее магнитное поле, перпендикулярное плоскости контура. При указанных на рис. 177 направлениях тока и поля сила, направление которой определяется по правилу левой руки, а значение — по закону Ампера (см. (111.2)), равна

Под действием этой силы проводник переместится параллельно самому себе на отрезок Ах из положения 1 в положение 2. Работа, совершаемая магнитным полем, равна

dA=Fdx=IBldx =IB dS= I dФ,

так как l dx=dS— площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле, В dS=dФ — поток вектора магнитной индукции, пронизывающий эту площадь. Таким образом,

d A = I dФ, (121.1)

т. е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником. Полученная формула справедлива и для произвольного направления вектора В.

Вычислим работу по перемещению замкнутого контура с постоянным током I в магнитном поле. Предположим, что контур М перемещается в плоскости чертежа и в результате бесконечно малого перемещения займет положение М’, изображенное на рис. 178 штриховой линией. Направление тока в контуре (по часовой стрелке) и магнитного поля (перпендикулярно плоскости чертежа — за чертеж) указано на рисунке. Контур М мысленно

разобьем на два соединенных своими концами проводника: ABC и CDA.

Работа dA, совершаемая силами Ампера при рассматриваемом перемещении контура в магнитном поле, равна алгебраической сумме работ по перемещению проводников ЛВС (dA ₁ ) и СDA (dА ₂ ), т. е.

Силы, приложенные к участку CDA контура, образуют с направлением перемещения острые углы, поэтому совершаемая ими работа dA₂>0. Согласно (121.1), эта работа равна произведению силы тока I в контуре на пересеченный проводником CDA магнитный поток. Проводник CDA пересекает при своем движении поток dФ₀ сквозь поверхность, выполненную в цвете, и поток dФ₂, пронизывающий контур в его конечном положении. Следовательно,

Силы, действующие на участок ЛВС контура, образуют с направлением перемещения тупые углы, поэтому совершаемая ими работа dA ₁<0. Проводник ЛВС пересекает при своем движении поток dФ₀ сквозь поверхность, выполненную в цвете, и поток dФ₁, пронизывающий контур в начальном положении. Следовательно,

Подставляя (121.3) и (121.4) в (121.2), получим выражение для элементарной работы:

где dФ₂-dФ₁=dФ’— изменение магнитного потока через площадь, ограниченную контуром с током. Таким образом,

d A = I dФ’. (121.5)

Проинтегрировав выражение (121.5), определим работу, совершаемую силами Ампера, при конечном произвольном перемещении контура в магнитном поле:

A = I DФ, (121.6)

т. е. работа по перемещению замкнутого

контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, сцепленного

с контуром. Формула (121.6) остается справедливой для контура любой формы в произвольном магнитном поле.

Контрольные вопросы

• Как, пользуясь магнитной стрелкой, можно определить знаки полюсов источников постоянного тока?

• Чему равен и как направлен магнитный момент рамки с током?

• Что называют индукцией магнитного поля? Как определяют направление вектора магнитной индукции В?

• Нарисуйте и покажите, как ориентированы линии магнитной индукции поля прямого тока.

• Что такое линии магнитной индукции? Как определяется их направление? Чем они отличаются от линий напряженности электростатического поля?

• Почему магнитное поле является вихревым?

• Записав закон Био—Савара—Лапласа, объясните его физический смысл.

• Рассчитайте, применяя закон Био—Савара—Лапласа, магнитное поле: 1) прямого тока; 2) в центре кругового проводника с током.

• Найдите выражение для силы взаимодействия двух бесконечных прямолинейных одинаковых токов противоположного направления. Начертите рисунок с указанием сил.

• Назовите единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля. Дайте их определения.

• Определите числовое значение магнитной постоянной.

• Почему движущийся заряд по своим магнитным свойствам эквивалентен элементу тока?

• Чему равна и как направлена сила, действующая на отрицательный электрический заряд, движущийся в магнитном поле?

• Чему равна работа силы Лоренца при движении протона в магнитном поле? Ответ обосновать.

• Когда заряженная частица движется в магнитном поле по спирали? От чего зависит шаг спирали? (Ответы подтвердите выводами формул.)

• Что такое ускорители заряженных частиц? Какие они бывают и чем характеризуются?

• Почему циклотроны не применяются для ускорения электронов?

• В чем заключается принцип автофазировки? Где он используется?

• В чем заключается эффект Холла? Выведите формулу для холловской разности потенциалов.

• В чем заключается теорема о циркуляции вектора магнитной индукции В? Применив ее, рассчитайте магнитное поле прямого тока.

• Какой вывод можно сделать, сравнивая циркуляцию векторов Е и В?

• Используя теорему о циркуляции вектора магнитной индукции В, рассчитайте магнитное поле тороида.

• Какая теорема доказывает вихревой характер магнитного поля? Как она формулируется?

• Что называют потоком вектора магнитной индукции? Запишите теорему Гаусса для магнитного поля, объяснив ее физический смысл.

• Какая физическая величина выражается в веберах? Дайте определение вебера.

• Чему равна работа по перемещению проводника с током в магнитном поле? замкнутого контура с током? Выведите эти формулы; чем они принципиально отличаются?

Циркуляция вектора индукции магнитного поля

Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля

В виде формулы теорема записывается следующим образом:

$\oint\limits_L\;\overrightarrow Bd\overrightarrow l\;=\;M_0\sum_ ^n\;=\;M_0I$

В данном случае I будет означать полный ток .

Циркуляцией вектора $\overrightarrow B$ является сумма произведений $B_l$ и $\triangle l$ , которая взята по целому контуру L: $\overrightarrow B = \textstyle\sum_ B_l \triangle l.$

Чему равна циркуляция, закон Био–Савара

$\oint\limits_l\;(\overrightarrow Bd\overrightarrow l)\;=\;\mu_0\sum_i\;l_i$

Дифференциальная форма теоремы о циркуляции

$I\;=\;\int\limits_S\;\overrightarrow jd\overrightarrow S$

В этой формуле $\overrightarrow j$ будет обозначать объемную плотность тока.

Исходя из этого, используем следующее написание формулы:

$\oint\limits_L\;\overrightarrow Bd\overrightarrow l\;=\;\mu_0\int\limits_S\;\overrightarrow jd\overrightarrow S$

Теперь образуем ротор вектора $rot\overrightarrow B$ , основываясь на теореме Стокса, уточним, что:

Тогда формула примет вид:

$\oint\limits_L\;\overrightarrow Bd\overrightarrow l\;=\;\int\limits_Srot\overrightarrow Bd\overrightarrow S$

ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ

Связь между током и магнитным полем, образованным этим током, устанавливает эмпирический закон Био — Савара — Лапласа.

Еще одной из форм связи является теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.

Возьмем контур / (рис. 2.3.1), охватывающий прямой ток /, и вычислим для него циркуляцию вектора магнитной индукции В, т.е. ф/?,б/.

Вначале рассмотрим случай, когда контур лежит в плоскости перпендикулярно потоку (ток / направлен за чертеж). В каждой точке контура вектор В направлен по касательной к окружности, проходящей через эту точку (линии В прямого тока — окружности).

Воспользуемся свойствами скалярного произведения векторов:

B,dl = Bdl_B, где dl_B=Rda — проекция d/ на вектор В, (R — расстояние от прямой тока / до d/), т.е.

Следовательно,

Уравнение (2.3.1) — это теорема о циркуляции вектора В: циркуляция вектора магнитной индукции равна току, охваченному контуром, умноженному на магнитную постоянную.

Иначе обстоит дело, если ток не охватывается контуром (рис. 2.3.2). При обходе радиальная прямая поворачивается сначала в одном направлении (1 — 2), а потом в другом (2—1), поэтому (j)da = 0. Следовательно, j)BdI = 0.

Итак, JB,dl = р₀/, где I — ток, охваченный контуром L. Эта формула справедлива и для тока произвольной формы, и для контура произвольной формы.

Если контур охватывает несколько токов, то

т.е. циркуляция вектора В равна алгебраической сумме токов, охваченных контуром произвольной формы.

Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля позволяет легко рассчитать В от бесконечного проводника с током (рис. 2.3.3): B = i₀I/2nr.

Циркуляция вектора магнитной индукции В отлична от нуля, если контур охватывает ток (сравните с циркуляцией вектора Е: j)E,dl = 0). Такие поля называются вихревыми, или соленоидальными.

Магнитному полю нельзя приписывать потенциал, как электрическому полю. Этот потенциал не был бы однозначным: после каждого обхода по контуру он получал бы приращение р₀/. Линии напряженности электрического поля начинаются и заканчиваются на зарядах. А магнитных зарядов в природе нет. Опыт показывает, что линии В всегда замкнуты. Поэтому теорема Остроградского — Гаусса для вектора магнитной индукции В записывается так:

Теорема о циркуляции вектора напряженности

Теорема о циркуляции вектора напряженности электрического поля

Взаимодействие неподвижных зарядов реализуется посредством электростатического поля. Описывают электростатическое поле при помощи вектора напряженности ($\overline $), который определен как сила ($\overline $), действующая на единичный положительный заряд, размещенный в рассматриваемой точке поля:

Электростатические силы являются консервативными, это значит, что их работа по замкнутой траектории ($L$) равна нулю:

где $\overline $ — перемещение.

Интеграл в формуле (2) называется циркуляцией вектора напряженности электростатического поля. Циркуляция вектора $\overline $- это работа, которую могут совершить силы Кулона, перемещая положительный заряд равный единице по контуру.

Учитывая, что $q\ne 0$, получим:

Теорема о циркуляции вектора напряжённости электростатического поля говорит о том, циркуляция $\overline $ по замкнутому контуру равна нулю.

В дифференциальной форме теорему о циркуляции записывают как:

\[rot\ \overline =0\ \left(4\right).\]

Такой вид записи как (4) удобно использовать для проверки потенциальности векторного поля. Потенциальное поле является безвихревым.

Как следствие из теоремы о циркуляции $\overline $: работа при перемещении заряда из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории движения.

Из теоремы о циркуляции следует, что линии электростатического поля не бывают замкнутыми, они начинаются на положительных, а заканчиваются на отрицательных зарядах.

Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля

Физическая величина ($\overline $), являющаяся характеристикой магнитного поля, равная:

называется напряженностью магнитного поля. $\overline $ — вектор магнитной индукции поля; $ _0$ — магнитная постоянная; $ _m$- вектор намагниченности.

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля равна алгебраической сумме токов проводимости, которые охвачены замкнутым контуром, по которому рассматривается циркуляция:

Если направление обхода контура связывается с направлением тока правилом правого винта, то ток в сумме (5) стоит со знаком плюс.

Циркуляция вектора напряженности в общем случае отлична от нуля, это означает, что магнитное поле — это вихревое поле, оно не является потенциальным.

Теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля доказывают, опираясь на закон Био-Савара-Лапласа и принцип суперпозиции.

Теорема о циркуляции вектора $\overline $ исполняет роль, похожую на роль теоремы Гаусса для вектора напряженности электрического поля. Если имеется симметрия при распределении токов, то используя теорему о циркуляции $\overline ,$ находят саму напряженность магнитного поля.

Примеры задач с решением

Задание. Определите, является ли потенциальным электрическое поле, которое задано уравнением: $\overline \left(x,y\right)=A\left(2xy\ \overline+\left(x^2-y^2\right)\overline \right).$

Решение. Из теоремы о циркуляции, которая записана в дифференциальном виде:

\[rot\ \overline =0\ \left(1.1\right).\]

следует, что если вихрь поля равен нулю, то поле потенциально. Используя определение ротора:

\[rot\ \overline =rot\ \left[A\left(2xy\ \overline+\left(x^2-y^2\right)\overline \right)\right]=\frac \overline -\frac \overline \left(1.3\right).\]

Частные производные от $\overline $ равны:

Подставляя (1.4) в (1.3), получаем, что

\[rot\ \overline =rot\ \left[A\left(2xy\ \overline+\left(x^2-y^2\right)\overline \right)\right]=0.\]

Ответ. Поле является потенциальным.

Задание. Какова циркуляция вектора напряженности магнитного поля для замкнутого контура $L$ (рис.1), если $I_1=5\ A;;\ I_2=2\ A;;\ I_3=10\ A;;\ I_4=1\ A?$

Решение. Основой для решения задачи служит теорема о циркуляции вектора напряжённости магнитного поля:

какой вывод можно сделать сравнивая циркуляцию векторов е и в

Какой вывод можно сделать сравнивая циркуляцию векторов е и в

Вопросы к читателю. Упражнения

1. Как, пользуясь магнитной стрелкой, можно определить знаки по-
люсов источников постоянного тока?

6. Какой вывод можно сделать, сравнивая циркуляцию векторов E

и B?
7. Какая теорема доказывает вихревой характер магнитного поля?

Как она формулируется?
8. Почему магнитное поле является вихревым?

9. Используя теорему о циркуляции вектора магнитной индукции B
, рассчитайте магнитное поле тороида.

10. Что называют потоком вектора магнитной индукции? Запишите
теорему Гаусса для магнитного поля, объяснив ее физический смысл.

11. Какая физическая величина выражается в веберах? Дайте опре-
деление вебера.

12. В магнитном поле с индукцией B поместили две параллельные
металлические пластины, расстояние между которыми равно d. Поток
электронов со скоростью v между пластинами движется прямолинейно
параллельно плоскости пластин. Какова разность потенциалов между
пластинами?

13. Какими магнитными свойствами может обладать вещество из
атомов с нечетным числом электронов в оболочке в газообразном состо-
янии?

14. Рамка гальвонометра площадью 6 см 2, содержащая 200 витков
тонкой проволоки, находятся в магнитном поле с индукцией 0,01 Тл.
Плоскость рамки параллельна линиям магнитной индукции. Если по вит-
кам рамки протекает ток силой 100 мА, то максимальный вращающий
момент, действующий на рамку, равен:

15. Проводник массой 10 г и длиной 20 см подвешен в горизонталь-
ном положении в вертикальном магнитном поле с индукцией 0,25 Тл. На
какой угол (в градусах) от вертикали отклонятся нити, на которых подве-
шен проводник, если по нему пропустить ток силой 2 А? Массой нитей
пренебречь.

Какой вывод можно сделать сравнивая циркуляцию векторов е и в

Контрольные вопросы. Упражнения

1. Как, пользуясь магнитной стрелкой, можно определить знаки полюсов источников постоянного тока?

2. Чему равен и как направлен магнитный момент рамки с током?

3. Что называют индукцией магнитного поля? Каково направление вектора В? Нарисуйте и покажите, как ориентированы линии магнитной индукции поля прямого тока?

4. Записав закон Био-Савара-Лапласа, объясните его физический смысл.

5. Рассчитайте, применяя закон Био-Савара-Лапласа, магнитное поле: 1) прямого тока; 2) в центре кругового проводника с током.

7. Какая теорема доказывает вихревой характер магнитного поля? Как она формулируется?

8. Почему магнитное поле является вихревым?

9. Используя теорему о циркуляции вектора магнитной индукции В, рассчитайте магнитное поле тороида.

10. Что называют потоком вектора магнитной индукции? Запишите теорему Гаусса для магнитного поля, объяснив ее физический смысл.

11. Какая физическая величина выражается в веберах? Дайте определение вебера.

12. В магнитном поле с индукцией B поместили две параллельные металлические пластины, расстояние между которыми равно d. Поток электронов со скоростью v между пластинами движется прямолинейно параллельно плоскости пластин. Какова разность потенциалов между пластинами?

13. Какими магнитными свойствами может обладать вещество из атомов с нечетным числом электронов в оболочке в газообразном состоянии?

15. Проводник массой 10 г и длиной 20 см подвешен в горизонтальном положении в вертикальном магнитном поле с индукцией 0,25 Тл. На какой угол (в градусах) от вертикали отклонятся нити, на которых подвешен проводник, если по нему пропустить ток силой 2 А? Массой нитей пренебречь.

Задачи на теорему о циркуляции магнитного поля с решением

Продолжаем разбираться с задачами по физике. На этот раз рассмотрим примеры решения задач на тему «Циркуляция магнитного поля».

Заходите в наш телеграм – там найдутся интересные новости и лайфхаки для каждого студента. А еще, у нас есть канал со скидками и акциями, не упустите выгоду!

Теорема о циркуляции магнитного поля, задачи

Прежде, чем мы начнем разбирать примеры решений, напомним про полезные формулы и универсальную памятку по физическим задачам. И обязательно почитайте теорию по теме!

Задача №1 на циркуляцию магнитного поля

Условие

Решение

Согласно теореме о циркуляции магнитного поля:

∮ B d l = μ 0 ∑ i I i B l = μ 0 I N

Отсюда запишем соотношение для магнитной индукции:

Задача №2 на циркуляцию магнитного поля

Условие

Определите, пользуясь теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции, индукцию и напряженность магнитного поля на оси тороида без сердечника. Тороид содержит N=200 витков, а по его обмотке протекает ток 2 А. Внешний диаметр тороида равен 60 см, внутренний – 40 см.

Решение

Тороид – это катушка, которая имеет замкнутый сердечник в форме кольца или тора.

Вычислим циркуляцию вектора B по осевой линии:

∮ B d l = μ 0 ∑ I i B · 2 π r = μ 0 N I

Здесь r – разность между внешним и внутренним диаметром катушки. Из формулы выше можно выразить индукцию:

Чтобы найти напряженность, нужно разделить магнитную индукцию на магнитную постоянную:

Подставим значения и рассчитаем:

Ответ: 0,39 мТл, 312 А/м

Задача №3 на циркуляцию магнитного поля

Условие

По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток I=10 А. Пользуясь теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции, определите В в точке, расположенной на расстоянии r=10 см от проводника.

Решение

Запишем теорему о циркуляции вектора магнитной индукции:

В данном случае контуром можно выбрать окружность радиуса r, которая лежит в плоскости, перперникулярной проводнику. Проводник находится в центре окружности. Вектор B направлен по касательной, а его модуль одинаков по всей окружности. Теорема о циркуляции примет вид:

Ответ: 19,9 мкТл.

Задача №4 на циркуляцию магнитного поля

Условие

Определите циркуляцию вектора магнитной индукции по окружности, через центр которой перпендикулярно ее плоскости проходит бесконечно длинный прямолинейный провод, по которому течет ток I = 5 А.

Решение

Согласно теореме о циркуляции магнитной индукции, циркуляция вектора магнитной индукции равна току, охваченному контуром, умноженному на магнитную постоянную:

Ответ: 6,25 мкТл*м.

Задача №5 на циркуляцию магнитного поля

Условие

Какова циркуляция вектора напряженности магнитного поля для замкнутого контура L, если I1=4 A, I2=1 A, I3=9 A, I4=1 A?

Решение

Согласно теореме, циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру равна сумме токов, пронизывающих контур.

Из рисунка видно, что четвертый ток не влияет на циркуляцию. С учетом направлений токов, запишем:

Ответ: 12 А

Вопросы на тему «Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции»

Вопрос 1. Что такое циркуляция векторного поля?

Ответ. В общем случае, циркуляция векторного поля по какому-то контуру – это скалярная величина, равная криволинейному интегралу второго рода по данному контуру.

Вопрос 2. Как звучит терема о циркуляции магнитной индукции?

Ответ.

Циркуляция вектора магнитной индукции магнитного поля равна магнитной постоянной, умноженной на алгебраическую сумму токов проводимости, которые охвачены замкнутым контуром, по которому рассматривается циркуляция.

Вопрос 3. Что такое магнитная индукция?

Ответ. Магнитная индукция – векторная физическая величина, силовая характеритика магнитного поля. Магнитная индукция определяет, с какой силой поле действует на заряд, движущийся в нем с определенной скоростью. Измеряется в Теслах.

Вопрос 4. Что такое напряженность магнитного поля?

Ответ. Напряженность магнитного поля – векторная физическая величина, численно равная:

H = B μ 0

Напряженность равна разности векторов магнитной индукции и намагниченности среды.

Напряженность в вакууме совпадает с магнитной индукцией.

Вопрос 5. Справедлива ли теорема о циркуляции для напряженности поля?

Ответ. Да, справедлива.

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля равна алгебраической сумме токов проводимости, которые охвачены замкнутым контуром.

Если у вас не получается быстро решать задачи, не отчаивайтесь! Профессиональный сервис для учащихся поможет ускорить процесс выполнения любого задания: от контрольной до диплома.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Какой вывод можно сделать сравнивая циркуляцию векторов е и в

Магнитное поле постоянных токов различной конфигурации изучалось экспериментально французскими учеными Ж. Био и Ф. Саваром (1820 г.). Они пришли к выводу, что индукция магнитного поля токов, текущих по проводнику, определяется совместным действием всех отдельных участков проводника. Магнитное поле подчиняется принципу суперпозиции :

Если магнитное поле создается несколькими проводниками с током, то индукция результирующего поля есть векторная сумма индукций полей, создаваемых каждым проводником в отдельности.

Здесь – расстояние от данного участка Δ до точки наблюдения, α – угол между направлением на точку наблюдения и направлением тока на данном участке, μ₀ – магнитная постоянная. Направление вектора определяется правилом буравчика: оно совпадает с направлением вращения рукоятки буравчика при его поступательном перемещении вдоль тока. Рис. 1.17.1 иллюстрирует закон Био–Савара на примере магнитного поля прямолинейного проводника с током. Если просуммировать (проинтегрировать) вклады в магнитное поле всех отдельных участков прямолинейного проводника с током, то получится формула для магнитной индукции поля прямого тока:

которая уже приводилась в § 1.16.

Закон Био–Савара позволяет рассчитывать магнитные поля токов различных конфигураций. Нетрудно, например, выполнить расчет магнитного поля в центре кругового витка с током. Этот расчет приводит к формуле

где – радиус кругового проводника. Для определения направления вектора также можно использовать правило буравчика, только теперь его рукоятку нужно вращать в направлении кругового тока, а поступательное перемещение буравчика укажет направление вектора магнитной индукции.

Поясним понятие циркуляции вектора Пусть в пространстве, где создано магнитное поле, выбран некоторый условный замкнутый контур (не обязательно плоский) и указано положительное направление его обхода. На каждом отдельном малом участке Δ этого контура можно определить касательную составляющую вектора в данном месте, то есть определить проекцию вектора на направление касательной к данному участку контура (рис. 1.17.2).

Циркуляцией вектора называют сумму произведений Δ, взятую по всему контуру :

Некоторые токи, создающие магнитное поле, могут пронизывать выбранный контур в то время, как другие токи могут находиться в стороне от контура.

Теорема о циркуляции утверждает, что циркуляция вектора магнитного поля постоянных токов по любому контуру всегда равна произведению магнитной постоянной μ₀ на сумму всех токов, пронизывающих контур:

Теорема о циркуляции в данном примере выражается соотношением:

Теорема о циркуляции в общем виде следует из закона Био–Савара и принципа суперпозиции.

Этот пример показывает, что теорема о циркуляции вектора магнитной индукции может быть использована для расчета магнитных полей, создаваемых симметричным распределением токов, когда из соображений симметрии можно «угадать» общую структуру поля.

Имеется немало практически важных примеров расчета магнитных полей с помощью теоремы о циркуляции. Одним из таких примеров является задача вычисления поля тороидальной катушки (рис. 1.17.3).

Предполагается, что катушка плотно, то есть виток к витку, намотана на немагнитный тороидальный сердечник. В такой катушке линии магнитной индукции замыкаются внутри катушки и представляют собой концентрические окружности. Они направлены так, что глядя вдоль них, мы увидели бы ток в витках, циркулирующим по часовой стрелке. Одна из линий индукции некоторого радиуса изображена на рис. 1.17.3. Применим теорему о циркуляции к контуру в виде окружности, совпадающей с изображенной на рис. 1.17.3 линией индукции магнитного поля. Из соображений симметрии ясно, что модуль вектора одинаков вдоль всей этой линии. По теореме о циркуляции можно записать:

∙ 2π = μ₀,

где – полное число витков, а – ток, текущий по виткам катушки. Следовательно,

На рис. 1.17.4 изображено магнитное поле катушки конечной длины. Следует обратить внимание на то, что в центральной части катушки магнитное поле практически однородно и значительно сильнее, чем вне катушки. На это указывает густота линий магнитной индукции. В предельном случае бесконечно длинного соленоида однородное магнитное поле целиком сосредоточено внутри него.

В случае бесконечно длинного соленоида выражение для модуля магнитной индукции можно получить непосредственно с помощью теоремы о циркуляции, применив ее к прямоугольному контуру, показанному на рис. 1.17.5.

Это выражение совпадает с полученной ранее формулой для магнитного поля тонкой тороидальной катушки.

Поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

(120.3)

Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.

В качестве примера рассчитаем поток вектора В сквозь соленоид. Магнитная индукция однородного поля внутри соленоида с сердечником с магнитной проницаемостью m, согласно (119.2), равна B = μ₀μNI/l

Магнитный поток сквозь один виток соленоида площадью S равен Ф₁ = BS

а полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида и называемый потокосцеплением,

(120.4)

Аналогично циркуляции вектора напряженности электростатического поля вводится циркуляция вектора магнитной индукции. Циркуляцией вектора В по заданному замкнутому контуру называется интеграл

,

где dl — вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура, B_l=Bcosa — составляющая вектора В в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода), a — угол между векторами В и dl.

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В):циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной m₀ на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

,

где n — число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным.

Сравнивая выражения для циркуляции векторов Е и В, видим, что между ними существует принципиальное различие. Циркуляция вектора Е электростатического поля всегда равна нулю, т. е. электростатическое поле является потенциальным. Циркуляция вектора В магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым.

Теорема о циркуляции вектора В имеет в учении о магнитном поле такое же значение, как теорема Гаусса в электростатике, так как позволяет находить магнитную индукцию поля без применения закона Био — Савара— Лапласа.

Линии магнитной индукции непрерывны: они не имеют ни начала, ни конца. Это имеет место для любого магнитного поля, вызванного какими угодно контурами с током. Векторные поля, обладающие непрерывными линиями, получили название вихревых полей. Мы видим, что магнитное поле есть вихревое поле. В этом заключается существенное отличие магнитного поля от электростатического.

В электростатическом поле линии напряженности всегда разомкнуты: они начинаются и заканчиваются на электрических зарядах. Линии же индукции магнитного поля не имеют ни начала, ни конца. Это соответствует тому, что в природе нет магнитных зарядов.

Движение электрических зарядов есть электрический ток. Так как магнитных зарядов нет, то магнитного тока не существует.