Что такое мнимое число в математике

Мнимые числа

Ко́мпле́ксные [1] [2] чи́сла — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается $\mathbb<C>» width=»» height=»» />. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy , где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица, то есть число, удовлетворяющее уравнению i 2 = − 1 . (В физике символ i часто заменяют на j, чтобы не путать с стандартным обозначением электрического тока (i)). Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других. <h3>Содержание</h3> <h3>Определения</h3> <img decoding=$

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен z 2 + 1 имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел , как и любые другие конструкции поля разложения многочлена x 2 + 1 .

Стандартная модель

Формально, комплексное число z — это упорядоченная пара вещественных чисел (x,y) с введёнными на них следующим образом операциями сложения и умножения:

$(x , y) \cdot (x$

$i=(0,1) \,$

Вещественные числа представлены в этой модели парами вида (x,0) , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Мнимая единица в такой системе представляется парой .

Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа и при этом сохранив обычные свойства порядка, невозможно.

Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида

$\begin<pmatrix>x &amp; y \\ -y &amp; \;\; x \end <pmatrix>» width=»» height=»» /> с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать <img decoding=$ или $\operatorname<Re>(z)» width=»» height=»» /> и <img decoding=$ или $\operatorname<Im>(z)» width=»» height=»» /> называются соответственно вещественной (Real) и мнимой (Imaginary) частями z . <ul> <li>Если x = 0 , то z называется мнимым или чисто мнимым.</li> </ul> <h4>Сопряжённые числа</h4> <img decoding=$

Если комплексное число z = x + iy , то число называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z .

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.

$\bar \bar z = z$ (сопряжённое к сопряжённому есть исходное)
$z \cdot \bar z = |z|^2$
$\overline <z_1 \pm z_2>= \bar <z_1>\pm \bar <z_2>» width=»» height=»» /></li> <li><img decoding=$ ( $x=r\cos\varphi$ , $y=r\sin\varphi$ ), то всякое комплексное число z , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

$z=r(\cos\varphi+i \sin\varphi)$

.

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера

$z=re^<i\varphi>» width=»» height=»» />, где <img decoding=$ и $z_2\,$ модуль их разности: $|z_1-z_2|\,$ равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Сопряжённые комплексные числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси.

В геометрическом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний.

Формула Муавра

Эта формула позволяет возводить в степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

$z^n=[r(\cos \varphi +i\sin \varphi)]^n = r^n(\cos n\varphi +i\sin n\varphi)$

,

$\varphi$

где r — модуль, а — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:

$z^<1/n>=[r(\cos (\varphi+2\pi k) +i\sin (\varphi+2\pi k))]^ <1/n>= » width=»» height=»» /> <img decoding=$

Отметим, что корни n -й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n . На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n -угольника, вписанного в окружность радиуса $\sqrt[n]<r>» width=»» height=»» /> с центром в начале координат (см. рисунок). <h3>История</h3> Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами. Выражения вида <img decoding=$ .
Геометрически, это означает, что мы хотим найти точки пресечения некоторой прямой и параболы
Я тут даже картинку сделал, для иллюстрации.

Как нам всем хорошо известно из школы, корни квадратного уравнения (в указанных выше обозначениях) находятся по следующей формуле:

Оказываются возможными 3 варианта:
1. Подкоренное выражение положительно.
2. Подкоренное выражение равно нулю.
3. Подкоренное выражение отрицательно.

В первом случае имеются 2 различных корня, во втором два совпадающих, в третьем уравнение «не решается». Все эти случаи имеют вполне наглядную геометрическую интерпретацию:
1. Прямая пересекает параболу (синяя прямая на рисунке).
2. Прямая касается параболы.
3. Прямая не имеет с параболой общих точек (сиреневая прямая на рисунке).

Ситуация проста, логична, непротиворечива. Пытаться извлекать квадратный корень из отрицательного числа нет совершенно никаких оснований. Никто и не пытался.

Обстановка существенно изменилась, когда пытливая математическая мысль добралась до кубических уравнений. Чуть менее очевидно, используя некоторую несложную подстановку, всякое кубическое уравнение можно свести к виду: . С геометрической точки зрения ситуация похожа на предыдущую: мы ищем точку пересечения прямой и кубической параболы.
Взгляните на картинку:

Существенное отличие от случая квадратного уравнения в том, что какую бы прямую мы не взяли, она всегда пересечет параболу. Т.е., уже из чисто геометрических соображений, кубическое уравнение всегда имеет хотя бы одно решение.
Найти его можно воспользовавшись формулой Кардано:

где
.
Немного громоздко, но пока, вроде бы, все в порядке. Или нет?

Вообще, формула Кардано — это яркий пример «принципа Арнольда» в действии. И что характерно, Кардано никогда на авторство формулы не претендовал.

Вернемся, однако, к нашим баранам. Формула замечательная, без преувеличение великое достижение математики начала-середины XVI века. Но есть у нее один нюанс.
Возьмем классический пример, который рассматривал еще Бомбелли:
.
Внезапно,
,
и, соответственно,
.
Приплыли. А формулу жалко, а формула-то хорошая. Тупик. При том, что решение у уравнения, безусловно, есть.

Идея Рафаэля Бомбелли заключалась в следующем: давайте прикинемся шлангом и сделаем вид, что корень из отрицательного — это какое-то число. Мы, конечно, знаем, что таких чисел нет, но тем не менее, давайте представим, что оно существует и его, как обычные числа, можно складывать с другими, умножать, возводить в степень и т.п.

Используя подобный подход, Бомбелли установил, в частности, что
,
и
.
Давайте проверим:
.
Заметьте, в выкладках никаких предположений о свойствах квадратных корней из отрицательных чисел не предполагалось, кроме упомянутого выше допущения, что они ведут себя как «обычные» числа.

В сумме получаем . Что вполне себе правильный ответ, который элементарно проверяется прямой подстановкой. Это был настоящий прорыв. Прорыв в комплексную плоскость.

Тем не менее, подобные выкладки выглядят как некоторая магия, математический фокус. Отношение к ним, как к некоему трюку, сохранялось среди математиков еще очень долго. Собственно, придуманное Рене Декартом для корней из отрицательных название «мнимые числа» вполне отражает отношение математиков тех времен к таким развлечениям.

Однако, время шло, «трюк» применялся с неизменным успехом, авторитет «мнимых чисел» в глазах математического общества рос, сдерживаемый, однако, неудобством их использования. Лишь получение Леонардом Эйлером (кстати, это именно он ввел ныне общеупотребительное обозначение для мнимой единицы) знаменитой формулы

открыло комплексным числам дорогу в самые различные области математики и ее приложений. Но это уже совсем другая история.