Ко́мпле́ксные [1] [2] чи́сла — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается
Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен z 2 + 1 имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел , как и любые другие конструкции поля разложения многочлена x 2 + 1 .
Стандартная модель
Формально, комплексное число z — это упорядоченная пара вещественных чисел (x,y) с введёнными на них следующим образом операциями сложения и умножения:
Вещественные числа представлены в этой модели парами вида (x,0) , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Мнимая единица в такой системе представляется парой .
Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа и при этом сохранив обычные свойства порядка, невозможно.
Матричная модель
Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида
с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать
y» width=»» height=»» /> — вещественные числа такие, что комплексное число или или
Если комплексное число z = x + iy , то число называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z .
Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.
(сопряжённое к сопряжённому есть исходное)
x,y\in\R» width=»» height=»» />, называется алгебраической формой комплексного числа.
Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что
(a + ib) (c + id) = ac + iad + ibc + i^2bd = ac + iad + ibc — bd = (ac-bd) + i(ad+bc)» width=»» height=»» />
Тригонометрическая и показательная формы
Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль (, ), то всякое комплексное число z , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме
.
Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера
и модуль их разности: равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.
Сопряжённые комплексные числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси.
В геометрическом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний.
Формула Муавра
Эта формула позволяет возводить в степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:
,
где r — модуль, а — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году.
Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-ой степени из ненулевого комплексного числа:
Отметим, что корни n -й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно n . На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n -угольника, вписанного в окружность радиуса
Выражения вида
Арифметическая модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном (1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Гамильтон предложил и обобщение комплексных чисел — кватернионы, алгебра которых некоммутативна.
2. Комплексные числа
Продолжаем разрабатывать тему числовых множеств. И прежде чем мы перейдем к рассмотрению комплЕксных чисел, дам важный совет: не пытайтесь представить их «в жизни» – это всё равно, что пытаться представить четвёртое измерение в нашем трёхмерном пространстве. Если хотите, комплексное число – это двумерное число.
Комплексным числом называется число вида , где и – действительные числа, – так называемая мнимая единица. Число называется действительной частью () комплексного числа , а число – мнимой частью () комплексного числа .
– это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: или переставить мнимую единицу: – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке: . Такую запись называют алгебраической формой комплексного числа.
И сразу отвечу на философский вопрос:зачем нужны комплексные числа? Всё очень просто. Эти числа появились исторически – в ходе развития математики, когда для решения некоторых задач стало не хватать действительных чисел.
Множество комплексных чисел обозначают стилизованной или жирной буквой и изображают комплексной плоскостью, которая состоит из начала координат, действительной оси и мнимой оси :
На всякий пожарный напомню культуру построения чертежей: чтобы задать размерность, достаточно указать ноль, единицу на действительной оси и мнимую единицу на мнимой оси. Не нужно проставлять значения «сплошняком»: …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… и . Ибо (повторю свою бородатую шутку), комплексная плоскость – не памятник Эйлеру, а студент – не голубь. Впрочем, комплексные числа ввёл в обиход вовсе не Эйлер, и мы возвращаемся в теме:
Каждой точке комплексной плоскости соответствует некоторое комплексное число и наоборот, каждому комплексному числу соответствует своя точка плоскости.
Да чего тут мелочиться, рассмотрим чисел десять. Построим на комплексной плоскости следующие числа: , , , , , , ,
По какому принципу отмечены числа, думаю, всем видно – комплексные числа отмечают точно так же, как мы отмечали точки еще в 5-6 классе на уроках геометрии.
Рассмотрим следующие комплексные числа: , , . Вы скажете: «Да это же это обыкновенные действительные числа!». И будете правы. Действительные числа – это частный случай комплексных чисел, и на действительной оси «сидят» все наши «обычные» числа. Таким образом, множество действительных чисел – это подмножество множества комплексных чисел .
Итак, числа , , – это комплексные числа с нулевой мнимой частью. В частности, начало координат – есть число .
Числа , , – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси .
В числах , , , и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не рисуют, по той причине, что они сливаются с осями.
На множестве комплексных чисел нет отношения порядка. Иными словами, комплексные числа невозможно сравнить другу с другом по принципу «больше / меньше» – для них такого понятия просто не существует. А вот понятие равенства есть: два комплексных числа равны, если равны их действительные и их мнимые части соответственно.
Что такое мнимые числа? С примерами. С примерами, пожалуйста. ссылки не нужны, нужны только объяснения.
Мнимое число — устаревшее название комплексных чисел. В современной терминологии, употребляется термин мнимое число (или точнее чисто мнимое число) для комплексных чисел с нулевой вещественной частью.
1 Комплексные числа используются для расширения множества вещественных чисел. Если вещественные числа можно графически представить на координатной прямой, то для того чтобы изобразить комплексное число, потребуется две координатных оси (абсцисс и ординат) . Комплексные числа можно получить в том случае, например, если у квадратного уравнения дискриминант меньше нуля.
2 Любое комплексное число можно представить в виде суммы x+yi, где число x — вещественная часть комплексного числа c, а число y — мнимая. Символ i в данном случае называется мнимой единицей, она равна квадратному корню из минус единицы (в вещественных числах операция извлечения корня из отрицательного числа запрещена) .
3 Чтобы произвести операцию сложения (вычитания) над парой комплексных чисел, достаточно запомнить простое правило: вещественные части складываются отдельно, мнимые отдельно. То есть: (x1+y1*i)+(x2+y2*i)=(x1+x2)+(y1+y2)*i.
Умножать и делить комплексные числа значительно сложнее, чем складывать и вычитать, но в итоге все сводится к тривиальным формулам. Эти формулы представлены на рисунке и получены при помощи обычных алгебраических преобразований с учетом того, что складывать комплексные числа нужно по частям, а квадрат мнимой единицы равен отрицательной единице.
5 Иногда в заданиях требуется вычислить модуль комплексного числа. Сделать это нетрудно. Нужно извлечь квадратный корень из суммы вещественной и мнимой части комплексного числа. Это и будет численное значение модуля комплексного числа.
Откуда есть пошло комплексное число
В современной математике комплексное число является одним из фундаментальнейших понятий, находящее применение и в «чистой науке», и в прикладных областях. Понятно, что так было далеко не всегда. В далекие времена, когда даже обычные отрицательные числа казались странным и сомнительным нововведением, необходимость расширения на них операции извлечения квадратного корня была вовсе неочевидной. Тем не менее, в середине XVI века математик Рафаэль Бомбелли вводит комплексные (в данном случае точнее сказать, мнимые) числа в оборот. Собственно, предлагаю посмотреть, в чем была суть затруднений, доведших в итоге солидного итальянца до подобных крайностей.
Существует распространенное заблуждение, что комплексные числа потребовались для того, чтобы решать квадратные уравнения. На самом деле, это совершенно не так: задача поиска корней квадратного уравнения никоим образом введение комплексных чисел не мотивирует. Вот совершенно.
Давайте убедимся сами. Всякое квадратное уравнение можно представить в виде: . Геометрически, это означает, что мы хотим найти точки пресечения некоторой прямой и параболы Я тут даже картинку сделал, для иллюстрации.
Как нам всем хорошо известно из школы, корни квадратного уравнения (в указанных выше обозначениях) находятся по следующей формуле:
Оказываются возможными 3 варианта: 1. Подкоренное выражение положительно. 2. Подкоренное выражение равно нулю. 3. Подкоренное выражение отрицательно.
В первом случае имеются 2 различных корня, во втором два совпадающих, в третьем уравнение «не решается». Все эти случаи имеют вполне наглядную геометрическую интерпретацию: 1. Прямая пересекает параболу (синяя прямая на рисунке). 2. Прямая касается параболы. 3. Прямая не имеет с параболой общих точек (сиреневая прямая на рисунке).
Ситуация проста, логична, непротиворечива. Пытаться извлекать квадратный корень из отрицательного числа нет совершенно никаких оснований. Никто и не пытался.
Обстановка существенно изменилась, когда пытливая математическая мысль добралась до кубических уравнений. Чуть менее очевидно, используя некоторую несложную подстановку, всякое кубическое уравнение можно свести к виду: . С геометрической точки зрения ситуация похожа на предыдущую: мы ищем точку пересечения прямой и кубической параболы. Взгляните на картинку:
Существенное отличие от случая квадратного уравнения в том, что какую бы прямую мы не взяли, она всегда пересечет параболу. Т.е., уже из чисто геометрических соображений, кубическое уравнение всегда имеет хотя бы одно решение. Найти его можно воспользовавшись формулой Кардано: где . Немного громоздко, но пока, вроде бы, все в порядке. Или нет?
Вообще, формула Кардано — это яркий пример «принципа Арнольда» в действии. И что характерно, Кардано никогда на авторство формулы не претендовал.
Вернемся, однако, к нашим баранам. Формула замечательная, без преувеличение великое достижение математики начала-середины XVI века. Но есть у нее один нюанс. Возьмем классический пример, который рассматривал еще Бомбелли: . Внезапно, , и, соответственно, . Приплыли. А формулу жалко, а формула-то хорошая. Тупик. При том, что решение у уравнения, безусловно, есть.
Идея Рафаэля Бомбелли заключалась в следующем: давайте прикинемся шлангом и сделаем вид, что корень из отрицательного — это какое-то число. Мы, конечно, знаем, что таких чисел нет, но тем не менее, давайте представим, что оно существует и его, как обычные числа, можно складывать с другими, умножать, возводить в степень и т.п.
Используя подобный подход, Бомбелли установил, в частности, что , и . Давайте проверим: . Заметьте, в выкладках никаких предположений о свойствах квадратных корней из отрицательных чисел не предполагалось, кроме упомянутого выше допущения, что они ведут себя как «обычные» числа.
В сумме получаем . Что вполне себе правильный ответ, который элементарно проверяется прямой подстановкой. Это был настоящий прорыв. Прорыв в комплексную плоскость.
Тем не менее, подобные выкладки выглядят как некоторая магия, математический фокус. Отношение к ним, как к некоему трюку, сохранялось среди математиков еще очень долго. Собственно, придуманное Рене Декартом для корней из отрицательных название «мнимые числа» вполне отражает отношение математиков тех времен к таким развлечениям.
Однако, время шло, «трюк» применялся с неизменным успехом, авторитет «мнимых чисел» в глазах математического общества рос, сдерживаемый, однако, неудобством их использования. Лишь получение Леонардом Эйлером (кстати, это именно он ввел ныне общеупотребительное обозначение для мнимой единицы) знаменитой формулы открыло комплексным числам дорогу в самые различные области математики и ее приложений. Но это уже совсем другая история.
или 
или 
(сопряжённое к сопряжённому есть исходное)
(
, 
), то всякое комплексное число z , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме
и 
модуль их разности: 
равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.![z^n=[r(\cos \varphi +i\sin \varphi)]^n = r^n(\cos n\varphi +i\sin n\varphi)](https://dic.academic.ru/pictures/wiki/files/49/1abd6bc290224e267b17c39c6be66ed0.png)
![z^<1/n>=[r(\cos (\varphi+2\pi k) +i\sin (\varphi+2\pi k))]^ <1/n>= » width=»» height=»» /> <br /><img decoding=](https://dic.academic.ru/pictures/wiki/files/50/2cb32cb9cf4f478c612d61c1259d0fa4.png)
![\sqrt[n]<r>» width=»» height=»» /> с центром в начале координат (см. рисунок).</p>
<h3>История</h3>
<p>Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.</p><div class='code-block code-block-11' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 11netpapillomy -->
<script src=](https://dic.academic.ru/pictures/wiki/files/48/0c1dda2d990c60ca5ef80cd446e594db.png)
![a+b\sqrt<-1>» width=»» height=»» />, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI-XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Лейбниц, например, писал: «Дух божий нашел тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». [3] </p>
<p>Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени <i>n</i> из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).</p>
<p>Символ <img decoding=](https://dic.academic.ru/pictures/wiki/files/100/d4f205e3c7f1dbbd85eda4584f1b881c.png)
. 
и параболы 
. С геометрической точки зрения ситуация похожа на предыдущую: мы ищем точку пересечения прямой и кубической параболы. 
. 
. 
, 
. 
, 
. 
. 
. Что вполне себе правильный ответ, который элементарно проверяется прямой подстановкой. Это был настоящий прорыв. Прорыв в комплексную плоскость.
для мнимой единицы) знаменитой формулы 