Смещение точки. Амплитуда колебаний
Амплитуда колебаний — это абсолютная величина максимального отклонения колеблющейся точки от положения равновесия.
Амплитуда численно равна наибольшему смещению (рис.1).
В системе СИ единицей измерения смещения и амплитуды является метр.
Рис.1 . Амплитуда колебаний как максимальное смещение
На графике колебаний амплитуда определяется как максимальная ордината синусоидальной кривой (рис.2).
Рис.2. Определение по графику амплитуды колебаний
Примеры решения задач
Период колебаний .
Определим начальную фазу колебаний. Очевидно, что при смещение точки равно начальному смещению:
откуда начальная фаза:
период колебаний 8 с,
уравнение колебаний .
Задание | Через какой минимальный промежуток времени после начала колебаний смещение точки из положения равновесия будет равно половине амплитуды, если период колебаний 24 с, а начальная фаза равна нулю? |
Решение | Уравнение колебаний: |
По условию начальная фаза
Так как в искомый момент времени смещение равно половине амплитуды, можно записать:
2.5. Гармонические колебательные движения и их характеристики: смещение, амплитуда, период, частота, фаза, скорость и ускорение
Колебания — движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Колебания свойственны всем явлениям природы: пульсирует излучение звезд, внутри которых происходят циклические ядерные реакции; с высокой степенью периодичности вращаются планеты Солнечной системы; движение Луны вызывает приливы и отливы на Земле; в земной ионосфере и атмосфере циркулируют потоки заряженных и нейтральных частиц; ветры возбуждают колебания и волны на поверхности водоемов. Внутри любого живого организма непрерывно происходят разнообразные, ритмично повторяющиеся процессы. В виде сложнейшей совокупности колебаний частиц и полей (электронов, протонов, фотонов) можно представить «устройство» микромира.
В технике колебания либо выполняют определенные функциональные обязанности (маятник, колебательный контур, генератор), либо возникают как неизбежное проявление физических свойств (вибрация машин и сооружений, неустойчивости и вихревые потоки при движении тел в газах).
В физике выделяются механические, электромагнитные колебательные движения и их комбинации. Это обусловлено той исключительной ролью, которую играют гравитационные и электромагнитные взаимодействия в масштабах, характерных для жизнедеятельности человека. С помощью распространяющихся механических колебаний плотности и давления воздуха, воспринимаемых нами как звук, а также очень быстрых колебаний электрических и магнитных полей, воспринимаемых нами как свет, мы получаем прямую информацию об окружающем мире.
Колебания любых физических величин почти всегда связаны с попеременным превращением энергии одного вида в энергию другого вида.
По мере изучения колебаний различной физической природы возникло убеждение о возможности общего подхода к ним, основанного на свойствах и закономерностях колебательных процессов вообще. В результате появилась теория колебаний и волн. Одним из основных математических аппаратов теории колебаний являются дифференциальные уравнения.
При изучении колебательных движений обычно определяют закон, по которому повторяются движения, время, через которое система вновь возвращается в первоначальное состояние, наибольшее отклонение, которого достигает движущиеся материальная точка (тело). Установив эти характеристики колебательного движения, можно определить состояние системы в любой момент времени.
Все сложные виды колебательных движений можно свести к простейшему виду — гармоническим колебаниям.
Гармоническими колебаниями называют такие периодически повторяющиеся движения материальной точки (тела), при которых ее смещение от положения равновесия изменяется по закону синуса или косинуса:
(2.25)
где x – смещение. Удаление материальной точки от положения равновесия в данный момент времени t;
x0— амплитуда колебаний. Наибольшее (максимальное) удаление материальной точки от положения равновесия;
(t + 0) — фаза колебаний. Определяет положение материальной точки в данный момент времени t. Это периодически изменяющийся аргумент функции, описывающей колебательный или волновой процесс.
0 — начальная фаза колебаний. Определяет положение материальной точки в начальный момент времени t = 0;
= 2/T = 2 — круговая (циклическая) частота колебаний. Определяет число колебаний, совершаемых за время, t = 2;
T — период колебаний. Время, за которое совершается одно полное колебание;
— частота колебаний. Число колебаний, совершаемых в единицу времени.
Скорость материальной точки, совершающей гармоническое колебательное движение, — физическая величина, которая показывает, как изменяется смещение в единицу времени, численно равная первой производной от смещения по времени:
.(2.26)
Ускорение материальной точки, совершающей гармоническое колебание, — физическая величина, которая показывает, как изменяется скорость материальной точки в единицу времени, численно равная первой производной от скорости или второй производной от смещения по времени:
. (2.27)
нак «минус» означает, что ускорение направлено в сторону, противоположную смещению.
Из соотношений видно, что скорость имеет максимальное значение, когда точка проходит положение равновесия, а ускорение в крайних положениях.
Изменение смещения, скорости и ускорения с течением времени при гармонических колебательных движениях представлено на рис. 2.6
5. Механика Читать 0 мин.
Колебания ― это процесс, при котором состояние системы изменяется, повторяясь во времени, и смещаясь то в одну, то в другую сторону относительно состояния равновесия.
Период ― это время, через которое повторяются показатели системы, т. е. система совершает одно полное колебание. Период изменяется в секундах.
Частота ― величина обратная периоду: число полных колебаний за единицу времени. Частота измеряется в герцах [Гц] = [c-1]. Частота равна v = $\frac<1>
Если известно, что тело совершает N колебаний за время t, то частоту его колебаний можно определить как v = $\frac
N ― количество колебаний;
Для описания колебательных систем, совершающих круговые процессы, удобно использовать круговую (циклическую) частоту. Циклическая частота показывает количество полных колебаний, которые происходят за 2π секунд и равна ω = 2πvили ω = $\frac<2\pi>
ω ― циклическая частота [рад/с];
Гармонические колебания ― колебания, в которых физические величины изменяются по закону синуса или косинуса. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид:
ω ― циклическая частота [рад/с];
φ0 ― начальная фаза колебаний, [рад];
Смещение (x) ― это отклонение тела от положения равновесия. Смещение также является координатой тела, если отсчитывать ее от положения равновесия.
Амплитуда колебаний (A) ― максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия, т. е. максимальное смещение равно амплитуде колебаний xmax = A.
Начальная фаза колебаний (φ0) определяет смещение в начальный момент времени, выраженное в радианах.
Фаза колебаний (φ) или полная фаза колебаний, определяет смещение в данный момент времени, выраженное в радианах. Фаза колебаний равна φ = ωt + φ0, где
φ ― полная фаза колебаний [рад];
φ0 ― начальная фаза колебаний, [рад];
ω ― циклическая частота [рад/с];
Пример анализа гармонических колебаний точки
Рассмотрим гармонические колебания, в которых уравнение движения точки имеет вид x(t) = Asin(ωt), где
ω ― циклическая частота [рад/с].
Из уравнения x(t) = Asin(ωt) следует, что начального смещения нет (φ0 = 0) и колебания начинаются из положения равновесия. Смещение x достигает максимального значения xmax и равно амплитуде xmax = A, в тот момент, когда модуль синуса равен единице |sin(ωt)| = 1. Когда x = A фаза колебаний равна φ = $\frac<\pi> <2>+2\pi n$ когда x = –A фаза колебаний принимает значения φ = $\frac<3\pi> <2>+2\pi n$ , где n = 0, 1 , 2, … N.
График колебания координаты точки имеет вид:
Определим уравнение и график колебания скорости. Скорость ― это производная координаты по времени: v = xt‘, где
v ― скорость движения точки [м/с];
Так как закон изменения координаты нам известен x(t) = Asin(ωt), скорость движения колеблющейся точки: v = xt‘ = |Asin(ωt)|’t = Acos(ωt).
Уравнение скорости точки равно v(t) = Acos(ωt), где
v ― скорость движения точки [м/с];
ω ― циклическая частота [рад/с];
Сравнив уравнение v(t) = Aωcos(ωt) с кинематическим уравнением гармонических колебаний, легко заметить, что Aω ― амплитуда изменения скорости, а ωt ― фаза колебаний скорости. Таким образом, максимальное значение скорости равно vmax = Aω, и оно достигается при | cos(ωt) | = 1, т. е. тогда, когда фаза колебаний скорости равна φ = πn, где n = 0, 1, 2, … N.
График колебания скорости точки имеет вид:
Аналогично определяются уравнение и график колебания ускорения точки, которая движется по гармоническому закону.
Ускорение ― это производная скорости по времени: a = vt‘, где
a ― ускорение движения точки [м/с2];
v ― скорость движения точки [м/с];
Так как закон изменения скорости был определен выше v(t) = Aωcos(ωt), определим ускорения движения колеблющейся точки: a = vt‘ = [Aωcos(ωt)]t‘ = –Aω2sin(ωt).
Уравнение ускорения точки равно a(t) = –Aω2sin(ωt), где
a ― ускорение движения точки [м/с2];
ω ― циклическая частота [рад/с];
Модуль ускорения точки максимален, когда |sin(ωt)| = 1 ― тогда же, когда достигает максимума смещение точки. Максимальное ускорение, т. е. амплитуда ускорения точки равна amax = Aω2.
График колебания ускорения точки имеет вид:
Во время гармонических колебаний, формы энергии колебательной системы все время находятся в процессе взаимной трансформации. В механической колебательной системе преобразуется механическая энергия: потенциальная энергия ― в кинетическую, а затем кинетическая энергия ― вновь в потенциальную. Полная механическая энергия колеблющейся системы постоянна, и в любой момент времени справедлив закон сохранения энергии E = EП + EK, где
E ― полная механическая энергия системы, E = const, [Дж];
EП ― потенциальная энергия системы, изменяющаяся во времени, [Дж];
EK ― кинетическая энергия системы, изменяющаяся во времени, [Дж].
Рассмотрим изменение потенциальной энергии пружинного маятника, который колеблется по гармоническому уравнению x(t) = Asin(ωt).
Потенциальная энергия деформированной пружины равна EП = $\frac
EП ― потенциальная энергия деформированной пружины, [Дж];
k ― коэффициент упругости пружины [Н/м];
x ― деформация пружины (величина ее удлинения или сжатия) [м].
У пружинного маятника деформация пружины ― переменная величина, которая зависит от времени. Кинематическое уравнение движения точки, принадлежащей этому маятнику ― x(t) = Asin(ωt). Следовательно, потенциальную энергию пружинного маятника можно записать как EП = $\frac
Уравнение потенциальной энергии пружинного маятника EП = $\frac
EП ― потенциальная энергия пружинного маятника, [Дж];
k ― коэффициент упругости пружины [Н/м];
ω ― циклическая частота [рад/с];
Амплитуда потенциальной энергии пружинного маятника равна EПmax = $\frac
EПmax ― максимальная потенциальная энергия пружинного маятника, [Дж];
k ― коэффициент упругости пружины [Н/м];
Потенциальная энергия пружинного маятника равна нулю, когда sin(ωt) = 0 ― когда маятник проходит положение равновесия, и максимальна, когда sin(ωt) = 1 ― когда маятник находится в крайних положениях, т. е. когда его смещение равно амплитуде.
График колебаний потенциальной энергии пружинного маятника:
Рассмотрим изменение кинетической энергии маятника. Кинетическая энергия тела равна Eк = $\frac
Eк ― кинетическая энергия тела, [Дж];
v ― скорость движения тела, [м/с].
У тела, которое совершает колебательные движения, скорость ― переменная величина.
Выше было показано, что если уравнение движения точки имеет вид x(t) = Asin(ωt), то уравнение скорости точки v(t) = Aωcos(ωt). Таким образом, кинетическая энергия маятника равна Eк = $\frac
Уравнение кинетической энергии маятника Eк = $\frac
Eк ― кинетическая энергия маятника, [Дж];
ω ― циклическая частота [рад/с];
Амплитуда кинетической энергии маятника равна EКmax = $\frac
EКmax ― максимальная кинетическая энергия маятника, [Дж];
ω ― циклическая частота [рад/с].
Максимальная кинетическая энергия маятника достигается тогда, когда cos2(ωt) = 1 ― маятник проходит положение равновесия, и она равна нулю, когда маятник находится в крайнем положении.
График колебаний кинетической энергии маятника:
Математический маятник ― это колебательная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на нерастяжимой нити или стержне.
Период колебаний математического маятника равен T = $2\pi \sqrt<\frac
l ― длина нити математического маятника [м];
g ― ускорение свободного падения [м/с2].
Период колебаний пружинного маятника равен T = $2\pi \sqrt<\frac
Существует особый тип колебаний ― вынужденные колебания. Вынужденные колебания происходят только под постоянным периодическим внешним воздействием и их характеристики зависят от характеристик этого воздействия.
Если частота внешнего воздействия, которое вызывает вынужденные колебания, совпадает с собственной внутренней частотой колебательной системы ― возникает явление резонанса. При резонансе резко возрастает амплитуда колебаний системы. Частота, при которой возникает явление резонанса, называется резонансной частотой.
На рисунке показан график резонансной кривой ― увеличение амплитуды при совпадении частоты внешнего воздействия с внутренней частотой системы.
Разница между расстоянием и смещением
Основное различие между расстоянием и смещением состоит в том, что расстояние — это фактическая физическая длина между двумя точками, а смещение — это длина кратчайшего маршрута между этими двумя точками.
Расстояние против смещения
Расстояние и смещение — это два термина в физике, которые используются для обозначения длины между двумя местоположениями, точками или объектами. Расстояние — это числовое измерение фактической длины между двумя объектами. Это скалярная величина, всегда положительная. А смещение — это кратчайший путь между двумя объектами. Это векторная величина, которая может быть положительной отрицательной или нулевой. Единица измерения расстояния и смещения в системе СИ — метр (м).
Сравнительная таблица
Расстояние | Смещение |
Фактическая длина пути между двумя точками называется расстоянием. | Кратчайший путь между двумя точками называется смещением. |
Количество | |
Это скалярная величина. | Это векторная величина. |
Информация о маршруте | |
Он предоставляет полную информацию о пройденном маршруте. | Он не предоставляет никакой информации о маршруте. |
Ценить | |
Его значение всегда положительное. | Его значение может быть положительным, отрицательным или нулевым. |
Дорожка | |
У него нет определенного пути. | У него уникальный путь. |
Время | |
Расстояние не может уменьшаться со временем | Смещение может уменьшаться со временем. |
Обозначается | |
S | d |
Формула | |
S = Скорость × Время | d = Скорость × Время |
Индикация | |
Это никогда не может быть указано стрелкой. | Это может быть указано стрелкой. |
Использовать | |
Его можно использовать для расчета скорости. | Его можно использовать для расчета скорости. |
Что такое расстояние?
Расстояние определяется как числовая величина, определяющая фактическую длину между двумя точками. Общее расстояние можно рассчитать, сложив все интервалы. Он касается только размера или величины и игнорирует направление пути. Итак, это скалярная величина. Расстояние всегда положительно и дает полную информацию о пути. Со временем он всегда увеличивается. Его нельзя обозначить стрелкой. Расстояние можно рассчитать, умножив скорость движущегося объекта на время. Обозначается буквой «S».
Формула
Расстояние = Скорость × Время или S = v × t
Пример
Если человек перемещается из точки A на 5 м вправо, а затем на 4 м влево, чтобы достичь точки B, то общее расстояние можно получить, сложив оба интервала, т.е. S = 5 + 4 = 9 Итак, общее расстояние, пройденное человек 9 метров.
Что такое смещение?
Смещение определяется как длина кратчайшего пути между двумя точками. Он фактически меняет свое положение и в основном идет по прямой. Смещение связано как с величиной, так и с направлением пути. Итак, это векторная величина. Он не предоставляет никакой информации о маршруте, и его значение может быть положительным, отрицательным или даже нулевым. Он меняется в позиции, которая не имеет значения для маршрута. Таким образом, если изменение положения равно нулю, то смещение будет равно нулю. Изменение влево обозначается отрицательным значением, например -2 м, в то время как изменение вправо будет указано положительным значением, например 2 м. Смещение можно легко указать, просто нарисовав стрелку. Смещение можно подсчитать, умножив скорость и время. Обозначается буквой «d».
Формула
Смещение = скорость × время или d = v × t
Пример
Если человек перемещается на 5 м к северу, а затем на 5 м к югу, то смещение будет равно нулю, потому что одинаковое расстояние, но в противоположных направлениях, уравновешивает друг друга.
Ключевые отличия
- Расстояние — это длина фактического пути между двумя точками, а кратчайший путь между этими двумя точками известен как смещение.
- Стрелку нельзя использовать для обозначения расстояния, в то время как смещение можно указать, просто нарисовав стрелку.
- Расстояние — это скалярная величина, а смещение — это векторная величина.
- Расстояние всегда положительно, а смещение может быть положительным, отрицательным или даже нулевым.
- «S» используется для обозначения расстояния, а « d » — для обозначения смещения.
- Смещение можно измерить, умножив скорость и время, тогда как смещение можно узнать, умножив скорость и время.
- Полная информация о маршруте дается по расстоянию, а смещение не дает никакой информации о маршруте.
- Скорость можно узнать на расстоянии, в то время как смещение используется для определения скорости.
Заключение
Из приведенного выше обсуждения можно сделать вывод, что расстояние — это скалярная величина для измерения точного расстояния между двумя точками, а смещение — это векторная величина для измерения кратчайшего пути между этими двумя точками.