Что такое циркуляция вектора

Циркуляция векторного поля

Пусть в области задано непрерывное векторное полеи ориентированная гладкая кривая(с заданным направлением обхода). Обозначим единичный вектор касательной к линиичерез, направление которого совпадает с выбранным направлением на линии.Определение. Линейным интегралом векторного поля вдоль линииназывается криволинейный интеграл 1 рода от скалярного произведения векторови:

,

где – дифференциал длины дуги кривой. Если ввести в рассмотрение вектор(здесь– радиус вектор точки, описывающий линию) и обозначить его проекции на координатные оси через, то предыдущую формулу можно записать в виде

,

где вектор направлен по касательной к. Правая часть последнего равенства является криволинейным интегралом 2 рода. Если– силовое поле, то линейный интеграл равен работе, которую поле совершает по перемещению материальной точки вдоль ориентированной линии.Определение. Линейный интеграл называется циркуляцией векторного поля , если– замкнутая линия.

Если – замкнутая пространственная кривая, то ее направление обхода специально оговаривается.Пример. Вычислить циркуляцию векторного поля по замкнутой линии, состоящей из одного витка винтовой линииот точкидо точкии прямолинейного отрезка.Решение. Виток соответствует изменению параметрав уравнениях кривой от />до. Прямаяимеет направляющий вектор, поэтому ее параметрические уравнения будут, гдеизменяется отдо. Вычислим циркуляцию как сумму криволинейных интегралов по дуге винтовой линии и по прямолинейному отрезку:.Ответ: .Вопрос. Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру, где, может быть вычислена по формуле:

Определение. Если векторное поле имеет дифференцируемые в точкесоставляющие, торотором (или вихрем) векторного поля в точкеназывается вектор

,

где частные производные вычислены в этой точке. В символической форме имеет вид:

.

Поясним физический смысл ротора векторного поля. Рассмотрим векторное поле как поле скоростей движущейся жидкости. Поместим в таком потоке, в определенной его точке, бесконечно малое колесико с лопастями, расположенные по окружности этого колесика. Под воздействием потока жидкости такое колесико будет вращаться с некоторой скоростью, зависящей от направления оси колесика.

Выберем систему координат так, чтобы его ось колесика совпадала бы с осью . Найдем ротор поля линейных скоростейтвердого тела, вращающегося вокруг осис постоянной угловой скоростью, причем.

Тогда линейная скорость вращения тела будет равна: , где– радиус вектор точки. Тогда по определению ротора получим (здесь определитель раскрываем по первой строке):. С точностью до постоянного множителя ротор поля скоростейпредставляет собой угловую скорость вращения твердого тела, т.е. он характеризует «вращательную компоненту» поля скоростей. С этим связано само название «ротор» (от латинского «вращатель»). Направление ротора совпадает с направлением наибольшей плотности циркуляции.Вопрос. Вторая координата ротора векторного поля равна (введите с клавиатуры только число)

Формула Стокса

Если функции дифференцируемы в областии в этой области расположен некоторый замкнутый контур, то для любой незамкнутой поверхности, имеющей границу, имеет местоформула Стокса:

,

где на берется та сторона, в точках которой вектор нормалинаправлен так, чтобы видимый с его конца обход контурасовершался бы против часовой стрелки (ориентация поверхности согласована с обходом контура). Формула Стокса позволяет свести вычисление циркуляции векторного поляпо контурук вычислению потока полячерез незамкнутую поверхность, опирающуюся на контур(здесь– граница незамкнутой поверхности). Заметим, что– любая поверхность, имеющая границей контур, поэтому возможен наиболее простой ее выбор. Если через контурпровести две поверхностии, то

.

Учитывая, что иограничивают некоторую пространственное телои, меняя направление нормали на поверхностина противоположное, т.е. на внешнее по отношению к, получим

,

т. е. поток вихря через замкнутую поверхность равен . Это означает, что поле вихря является соленоидальным. Пример. Найти по формуле Стокса циркуляцию векторного поля по линиипересечения с координатными плоскостями той части поверхности, которая лежит в 1 октанте, т.е..

Решение. Находим ротор заданного векторного поля: Пусть поверхностью с границейявляется поверхность. Она является эллиптическим параболоидом и расположена в первом октанте. Вычислим циркуляцию:. Нормаль к поверхностиравна. Тогда единичная нормаль имеет координаты:. Откуда. В данном случае, т.к.в первом октанте. При этом скалярное произведение векторовиравно:. Отсюда по формулеполучим:.Ответ: .Вопрос. Используя формулу Стокса, циркуляцию векторного поля по линии пересечения параболоидас координатной плоскостьюможно свести к вычислению интеграла:

Конев В.В. Скалярные и векторные поля

Циркуляция векторного поля

Отметим, что вектор направлен по касательной к линии L и dr = dl. Поэтому скалярное произведение можно записать в виде , где – проекция вектора A на направление касательного вектора l. По этой причине для обозначения циркуляции используется также символическое выражение .
/>Учитывая, что и , а также используя свойство скалярного произведения векторов, выражение под знаком обсуждаемого интеграла можно представить в виде
.

Циркуляция векторного поля. Формула Стокса

Заключительный урок по основам векторного анализа будет посвящён ещё одной характеристике векторного поля под названием циркуляция. С чем у нас ассоциируется этот термин на обывательском уровне? Циркуляция воздуха, циркуляция жидкости в некоторой системе; причём латинский корень данного слова (circulare) говорит нам, о том, что процесс идёт «по кругу».

Всё верно, понятие циркуляции пришло в теорию поля из гидродинамической задачи, где нужно было оценить движение жидкости по замкнутому контуру. Построим простейшую модель: пусть в некой замкнутой трубе циркулирует жидкость, и её движение описывается полем скоростей . Рассмотрим произвольную замкнутую линию тока . Упрощённо будем полагать, что каждой точке линии соответствует торчащий из неё вектор поля, который показывает направление и скорость движения жидкости в данной точке.

Циркуляция () векторного поля по контуру – это скалярная величина, численно равная криволинейному интегралу 2-го рода по этому контуру:

Согласно общему принципу интегрирования, данный интеграл объёдиняет проекции «торчащих» из контура векторов на координатные оси по всем бесконечно малым кусочкам контура, что и является оценкой движения жидкости. И непосредственно из интеграла видно, что циркуляция зависит от двух вещей:

– длины самого контура (чем длиннее, тем больше циркуляция);

– скорости течения * (чем длиннее векторы «эф», тем больше их бесконечно малые проекции и тем больше значение ).

* Со временем понятие циркуляции распространилось на произвольное векторное поле, где циркулировать в прямом смысле нечему

При этом контур, очевидно, можно обойти двумя способами: в одном направлении или в противоположном. В обоих случаях получится одно и то же абсолютное значение циркуляции с разными знаками (если, конечно, ). На практике чаще используется обход против часовой стрелки – когда для «идущего по контуру» человека ограниченная контуром область остаётся по левую руку. Такое направление обхода называют положительным.

Следует также заметить, что требование замкнутости контура не является обязательным – циркуляцию можно вычислить и по произвольной кусочно-гладкой линии, которая позволяет беспроблемно интегрировать. Однако исторически и методически сложилось так, что в практических задачах контур, как правило, замкнут.

И, если расписать криволинейный интеграл циркуляции для векторного поля подробно, то перед нами «откроется» её физический смысл:

А именно, циркуляция равна работе векторного поля по замкнутому контуру , о которой я, в том числе упоминал на первом уроке по теории поля. Этот смысл больше характерен для силовых полей, но и в гидродинамической модели результат можно интерпретировать как работу поля скоростей по перемещению материальной точки.

Таким образом, сегодня у нас будет две задачи «в одном флаконе»! К тому же криволинейных интегралов по пространственным контурам мы почти не решали, и сейчас самое время наверстать упущенное:

Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль треугольника в положительном направлении.

Контур представляет собой пространственный треугольник

Решение: изобразим треугольник на чертеже и обязательно пометим стрелочками порядок его обхода:

Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна криволинейному интегралу 2-го рода по данному контуру, и в силу свойства аддитивности:

Как говорится, разделяй и властвуй:

1) Вычислим циркуляцию по отрезку :

По точкам и найдём направляющий вектор прямой :
, и поскольку его «зетовая» координата равна нулю, то канонические уравнениЯ прямой принимают следующий вид: . Мысленно проверяем, что координаты точек «а» и «бэ» удовлетворяют полученным уравнениям. Так как , то у нас есть возможность свести криволинейный интеграл к определённому интегралу с интегрированием по «икс» или по «игрек». Из левой пропорции выражаем:
и находим дифференциал: – таким образом решение сведётся к переменной «икс», которая в соответствии с направлением интегрирования изменяется (смотрим на чертёж!) от 3 до 1:

Как вариант, из уравнений прямой можно выразить , найти и проинтегрировать по «игрек» от 0 до 2. Не упускаем отличную возможность проверки:

2) Вычислим циркуляцию векторного поля по отрезку :

Направляющий вектор соответствующей прямой найдём по точкам :
– и поскольку все его координаты отличны от нуля, то нам не удастся «обнулить» какую-либо переменную в криволинейном интеграле. Что делать? Запишем параметрические уравнения прямой – по точке (удобнее взять начало пути) и направляющему вектору :

Нетрудно видеть, что началу отрезка соответствует значение , а концу – значение . Осталось найти дифференциалы параметрических уравнений:

и АККУРАТНО подставить весь скарб:

3) И, наконец, вычислим циркуляцию поля по отрезку :

Поскольку путь лежит в плоскости , то «игрековая» координата будет равна нулю, что позволяет нам свести решение к определённому интегралу по «икс» либо по «зет». Составим канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору :
– не забываем мысленно проверить, что координаты точек удовлетворяют полученным уравнениям.

Из пропорции проще выразить , найти и проинтегрировать по «зет» (внимание!) от 2 до 0 – строго по направлению обхода:

Не позволяй душе лениться – теперь выразим , найдём и проинтегрируем по «икс» от 0 до 3:

, что и требовалось проверить.

Кстати, и в первом, и в этом пункте можно использовать и параметрические уравнения – кому как удобнее.

Таким образом, циркуляция векторного поля по замкнутому контуру:

Ответ:

Скорее всего, вам не очень понятен этот результат с точки зрения гидродинамики, и чуть позже я объясню его смысл. Но прежде ответим на старый сакраментальный вопрос: а нельзя ли проще?

Формула Стокса

Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна потоку его ротора через поверхность , натянутую на данный контур в направлении, которое соответствует направлению обхода контура:

а именно, если смотреть на поверхность из острия её нормальных векторов (вектора), то путь по контуру должен быть ВИДЕН НАМ, как осуществляемый ПРОТИВ часовой стрелки. Посмотрите на треугольник (чертёж выше) со стороны острия единичного нормального вектора . Обход контура осуществляется против часовой стрелки? Да*. Значит, это и есть нужный вектор нормали, и поэтому нам следует вычислить поверхностный интеграл по верхней стороне треугольника.

* Посмотрите на ситуацию и с другой стороны треугольника

По формуле Стокса:

, где – единичный вектор нормали верхней стороны треугольника.

Примечание: по сути, в правой части записан поверхностный интеграл 2-го рода – уже сведённый к поверхностному интегралу 1-го рода

Найдём роторную функцию поля . Чтобы не запутаться, выпишем компоненты поля, и возьмём частные производные в «роторном» порядке:

Таким образом:
, следовательно, наше поле потенциально и:

Ну ещё бы – если вспомнить физический смысл циркуляции (работа векторного поля по контуру), и вспомнить о том, что работа по замкнутому контуру в потенциальном поле равна нулю, то всё встаёт на свои места.

Таким образом, циркуляция векторного поля равна нулю не только по треугольнику , но и вообще по любому замкнутому контуру пространства. Из чего становится понятен и гидродинамический смысл задачи: представьте, что треугольник находится внутри замкнутой трубы. Поскольку поле скоростей потенциально, то циркуляция будет равна нулю не только по данному треугольнику, но и по любой внутренней замкнутой линии. Это говорит нам о том, что движение жидкости в трубе разнонаправлено и скомпенсировано – сколько циркулирует в одном направлении – столько проциркулирует и в другом.

На самом деле формулой Стокса мы пользовались и раньше: если контур полностью лежит в плоскости , то получается её частный случай под названием формула Грина:

, где – замкнутая область, ограниченная контуром . И фактически сейчас мы прорешали пространственный аналог Примера 12 урока Криволинейные интегралы по замкнутому контуру.

Интересно отметить, что рассмотренное в задаче поле является не только потенциальным, но ещё и соленоидальным:

Такие поля (одновременно потенциальные и соленоидальные) называют гармоническими. И под этот термин мне всегда представляется полноводная широкая река с ровным течением, по которой величественно, без малейшего отклонения от прямого курса плывёт разный мусор целая флотилия ладей. И в этом действительно есть какая-то завораживающая гармония. Однако, то лишь ассоциация – самостоятельно придумайте «бурный» пример 😉

В курсе векторного анализа существует целый раздел, посвящённый гармоническим полям, но сейчас мы возвращаемся к делам практическим, и для самостоятельного решения я предлагаю вам аналогичную задачу:

Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль треугольника в положительном направлении двумя способами: а) непосредственно, б) по формуле Стокса.

Это более распространённый случай, где все отрезки лежат в координатных плоскостях, и поэтому здесь можно обойтись исключительно декартовыми координатами. Впрочем, параметрические уравнения тоже неплохой вариант, ибо буковка там всего одна =) – главное, правильно разобраться с пределами изменения параметра.

При использовании формулы Стокса не путаемся – в ней вычисляется поток НЕ САМОГО поля , а его ротора . И да, тут потребуется составить уравнение плоскости.

НЕ ЛЕНИМСЯ и обязательно решаем это задание! Оно, может быть, не слишком интересно с точки зрения содержания, но крайне полезно для отработки техники решения криволинейных интегралов. В конце урока можно ознакомиться с образцом решения и некоторыми рациональными приёмами вычислений, позволяющими минимизировать трудозатраты и уменьшить риск ошибок.

Помимо контура-треугольника, пожалуй, популярнее только окружность:

Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого контура непосредственно и по формуле Стокса

Решение: предложенные уравнения задают окружность, лежащую в плоскости , радиуса 2 с центром на оси . Причём, в условии ничего не сказано о порядке обхода контура, и мы, в принципе, можем выбрать любой из них. Пойдём «традиционным» путём:
Контур-окружность

1) Вычислим работу векторного поля непосредственно. С «иксом», «игреком», «зет» и их дифференциалами тут всё прозрачно:

и осталось проконтролировать пределы изменения параметра:
– если , то – белая точка контура (см. чертёж);
– если , то – самая верхняя точка контура.
Таким образом, при изменении окружность «прорисовывается» в противоположном направлении по отношению к нашему порядку обхода, и поэтому интеграл следует взять от до 0:

Ответ:

Отрицательный знак говорит нам о том, что циркуляция осуществляется (полностью или преимущественно) против выбранного нами порядка обхода, и если бы мы обошли окружность в противоположном направлении, то получилось бы

2) Вычислим циркуляцию по формуле Стокса:

Найдём роторную функцию:

Поскольку поверхность , натянутая на контур , представляет собой плоскую фигуру (круг), то для всех её точек единичный вектор нормали может «смотреть» лишь в две стороны. Какой вектор выбрать: или ? Вспоминаем правило: из острия вектора обход контура должен быть ВИДЕН НАМ против часовой стрелки. Этому условию удовлетворяет вектор . Обязательно взгляните на круг и с другой стороны – с этой точки зрения контур обходится ПО часовой стрелке, и поэтому вектор не годится.

Теперь заряжаем формулу Стокса:

Здесь можно сослаться на то, что интеграл равен площади -круга: и сразу дать ответ , но мы пойдём академичным путём.

Коль скоро, поверхность «полноценно» проецируется лишь на плоскость , то ничего не остаётся, как применить частную формулу . Особо подчёркиваю, что это частный случай, и если бы под интегралом были хоть какие-то переменные, то потребовалась бы полная версия

Но у нас всё проще:

И здесь снова можно сослаться, что полученный двойной интеграл численно равен площади круга такого же радиуса, но я таки «добью» интеграл с помощью «экзотического» перехода к полярным координатам в плоскости . С порядком обхода тут всё ясно:

– обратите внимание, что полярный угол изменяется в стандартном направлении, от полуоси в сторону полуоси . Грубо говоря, роль «игрека» здесь выполняет переменная «зет», а значит :

Ответ:

Если выбрать другое направление обхода окружности , то придётся использовать противоположно направленный вектор , из-за чего, очевидно, сменится знак. Однако отрицательный знак ничем не хуже положительного и говорит лишь о том, что мы подсчитали циркуляцию полностью или преимущественно «против течения».

Пара задач для самостоятельного решения. Попроще:

Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого контура непосредственно и по формуле Стокса. Выбрать положительное направление обхода.

В образце я привёл скрупулезное решение, но на практике можно пользоваться и геометрическим смыслом интегралов, обычно преподаватели к этому относятся лояльно.

И задачка позанятнее:

Найти модуль циркуляции векторного поля вдоль контура

Контур здесь представляет собой линию пересечения цилиндра и плоскости, а именно, эллипс; и, кстати, на уроке о тройных интегралах в Примере 7 я рассказывал, как построить такое сечение. Интересно отметить, что тут можно легко обойтись без чертежа, поскольку требуется найти абсолютное значение циркуляции, то направление обхода не имеет значения – просто тупо интегрируем по «тэ» от 0 до . С параметрическими уравнениями «косого» эллипса, думаю проблем возникнуть не должно. Но, это палка о двух концах – возможно, вам покажется проще решение вторым способом.

Существует и более сложные задачи, однако в рамках данного урока этого будет достаточно, ибо лучше проще – да понятнее. Кроме того, я далеко не всё рассказал по теме, в частности о том, что само понятие ротора определяется через циркуляцию и поверхность, натянутую на контур + ещё один интересный момент, который касается поверхности. Читайте, например, 3-й том Фихтенгольца.

Ну а я поздравляю вас с успешным прохождением занимательного курса по теории поля. Надеюсь, он был понятен, интересен и полезен, и теперь никому не будут страшнЫ, по крайне мере, навороченные обозначения в учебниках.

Всё что осталось сделать – это вручить вам в руки лопату и отправить на обширное поле векторного анализа =) Дополнительные задачи с решениями есть в соответствующем архиве банка решений, библиотеке mathprofi.com, или в этом решебнике. Только будьте осторожны и критичны – недочёты и ошибки могут быть где угодно.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: изобразим контур интегрирования на чертеже:

а) Решим задачу непосредственно:

1) Вычислим циркуляцию по отрезку . Так как , то:

Составим уравнения прямой по точке и направляющему вектору :
, откуда выразим:

При этом изменяется от 0 до 3:

Проверьте решение другим способом!

2) Вычислим циркуляцию поля по отрезку . Так как , то:

Составим уравнения прямой по точке и направляющему вектору :
, откуда:

Найдём дифференциал:
изменяется от 3 до 0:

Самостоятельно проведите решение по переменной «зет»

3) Вычислим циркуляцию поля по отрезку . Так как , то:

Составим уравнения прямой по точке и направляющему вектору :

В данном случае выгоднее выразить
изменяется от 3 до 0:

Таким образом, циркуляция по замкнутому контуру:

б) Вычислим циркуляцию векторного поля по формуле Стокса:

Найдём ротор векторного поля:
. В данном случае:

Таким образом:

Составим уравнение плоскости по точке и векторам :

Запишем вектор нормали этой плоскости: и найдём соответствующий единичный вектор:

Примечание: из острия данного вектора обход контур виден нам против часовой стрелки, следовательно, это и есть нужный вектор нормали
Найдём скалярное произведение:

Таким образом:
Для вычисления поверхностного интеграла 1-го рода используем формулу , где – проекция треугольника на плоскость .
В данном случае:

Двойной интеграл численно равен площади треугольника :

Пример 4: Решение: выполним чертёж:

1) Вычислим работу векторного поля непосредственно:

Таким образом:

2) Вычислим циркуляцию по формуле Стокса:
, где – поверхность, натянутая на контур
Найдём . В данном случае:

Скалярное произведение:

Таким образом:

Спроецируем поверхность на плоскость и воспользуемся формулой
, где – проекция поверхности . В данном случае :

Перейдем к полярным координатам в плоскости :

Пример 5: Решение: запишем параметрические уравнения цилиндра:
(любое действительное число)
Подставим первые два уравнения в уравнение плоскости:

Таким образом, сечение цилиндра плоскостью (эллипс) определяется уравнениями:

Найдём дифференциалы:

и вычислим циркуляцию векторного поля по контуру Г в направлении, которое соответствует изменению параметра в пределах :
Выполнять упрощения и считать интегралы, конечно же, удобнее по отдельности =)

Постарайтесь прийти к этому же результату, используя формулу Стокса.

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля

Было выявлено, что на заряд q , находящийся в электростатическом поле, действуют консервативные силы, причем работа А на замкнутом пути L равняется нулю:

A = ∮ L F ¯ d r ¯ = q ∮ L E ¯ d r ¯ = 0 , где r — это вектор перемещения. Данный интеграл представляет собой циркуляцию вектора напряженности электростатического поля.

Если единичный заряд положительный, то запись приобретает совсем другой вид. Интеграл левой части уравнения и является циркуляцией вектора напряженности по контуру L .

Теорема о циркуляции

Электростатическое поле характеризуется циркуляцией его вектора напряженности по замкнутому полю и равняется нулю. Утверждение называют теоремой о циркуляции вектора напряженности электростатического поля.

Для ее доказательства основываются на работе поля по перемещению заряда, не зависящую от ее траектории. L 1 и L 2 обозначают в качестве различных путей между точками А и В . При замене их местами получим L = L 1 + L 2 . Теорема доказана

Следствие теоремы о циркуляции. Теорема Стокса

Так как линии на напряженности электростатического поля незамкнуты, то это применяют в качестве следствия. Их начало идет с положительных зарядов, а заканчивается отрицательными или их уходом в бесконечность. Теорема верна для статичных зарядов.

Еще одним следствием является непрерывность тангенциальных составляющих напряженности. Это говорит о том, что ее компоненты, являющиеся касательными к выбранной любой поверхности во всякой точке, на обеих сторонах содержат одинаковые значения.

Необходимо выделить произвольную часть поверхности S , которая опирается на контур L .

Следствие теоремы о циркуляции. Теорема Стокса

По формуле Стокса интеграл от ротора вектора напряженности r o t E → , взятый по поверхности
S , равняется циркуляции вектора напряженности вдоль контура, на который опирается данная поверхность.

Значение d S → = d S · n → , n → является единичным вектором, перпендикулярным участку d S . Интенсивность «завихрения» вектора характеризуется ротором r o t E → . Это рассматривают на примере наличия крыльчатки, помещенной в жидкости, изображаемой на рисунке 2 . Если ротор не равняется нулю, то крыльчатка будет продолжать вращение, причем с ростом скорости вращения увеличится модуль проекция ротора на ось крыльчатки.

Следствие теоремы о циркуляции. Теорема Стокса

Для вычисления ротора применяют формулы:

Если использовать уравнение ( 6 ) , то циркуляция вектора напряженности будет равной нулю.

При выполнении условия ( 8 ) для любой поверхности S , упирающейся на контур L , возможно с подынтегральным выражением, причем для каждой точки поля.

Действие производится аналогично крыльчатке из рисунка 2 . На ее концах имеются одинаковые заряды, равные q . Вся система находится в однородном поле с напряженностью E . Если r o t E → ≠ 0 , то предусмотрено вращение с ускорением, зависящим от проекции ротора на ось крыльчатки. Если поле электростатическое, тогда движение по окружности не происходило бы ни при каком расположении оси. Основная отличительная особенность электростатического поля в том, что оно является безвихревым.

Представление теоремы о циркуляции в дифференциальном виде:

Дан рисунок 3 с изображением электростатического поля. Что можно сказать о его характеристиках?

Следствие теоремы о циркуляции. Теорема Стокса

Решение

По рисунку видно, что существование электростатического поля невозможно. Для выделенного пунктиром контура циркуляции вектора напряженности применяется формула:

Это невозможно, так как существует противоречие теоремы о циркуляции. Определение напряженности поля (измеряется в вольтах на метр В м или в ньютонах на кулон Н К ) идет с помощью густоты силовых линий, причем с различными значениями. Работа по замкнутому кругу не равна нулю, значит, циркуляция вектора напряженности также нулю не равняется.

Показать, что тангенциальные составляющие вектора напряженности электростатического поля не изменяются при переходе через границу раздела диэлектриков, основываясь на теореме о циркуляции.

Решение

Если рассмотреть границу между двумя диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями ε 2 и ε 1 , изображенных на рисунке 4 , то видно, что ось Х проходит через середины сторон b . На границе выбирается прямоугольный контур с параметрами длины ( а ) и ширины ( b ) .

Следствие теоремы о циркуляции. Теорема Стокса

Выполнение теоремы о циркуляции обусловлено наличием электростатического поля. Его находят из формулы:

Если контур имеет небольшие размеры, тогда циркуляция вектора напряженности, согласно формуле ∮ L E → d s → = 0 , представляется в виде:

∮ L E → d s → = E 1 x a — E 2 x a + E b 2 b = 0 .

E b — это среднее значение E → на участках, перпендикулярных к границе раздела.

Из формулы ∮ L E → d s → = E 1 x a — E 2 x a + E b 2 b = 0 следует:

E 2 x — E 1 x a = E b 2 b .

Когда b → 0 , тогда

Выполнение выражения E 2 x = E 1 x возможно при произвольном выборе оси Х , которая располагается на границе раздела диэлектриков. Можно представить вектор напряженности в виде двух: тангенциальной E τ и нормальной E n :

E 1 → = E 1 n → + E 1 τ → , E 2 → = E 2 n → + E 2 τ → .

Отсюда следует, что

E τ 1 = E τ 2 , где E τ i является проекцией вектора напряженности на орт τ , который направлен вдоль границы раздела диэлектриков.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *