5.Индуктивно связанные электрические цепи
5.1 Индуктивная связь. Эдс взаимной индукции. Взаимная индуктивность. Коэффициент связи.
Электрические цепи называются связанными, если процессы в них влияют друг на друга. Это влияние может осуществляться посредством общего электрического или магнитного поля. В последствии случая цепи называются индуктивно связанными.
Рассмотрим две катушки, расположенные рядом (рис. 5.1.а)
Протекающий в первой катушке с числом витков 
W1и индуктивностиL1токi1вызывает магнитный поток Ф11. Часть потока Ф12охватывает находящуюся вторую катушку с числом витковW2и индуктивностьюL2.
ЭДС, находящаяся в первой катушке под воздействием Ф11
называется ЭДС самоиндукции, где 
— потокосцепление самоиндукции ………………
, где 
-потокосцепления взаимной индукции,
-взаимная индуктивность между первой и второй катушками.
Протекающий во второй катушке ток i2(рис.5.1.б), вызывает поток Ф22.
Часть этого потока, охватывает витки первой катушки. По аналогии можем записать
,
,
где e2-ЭДС самоиндукции второй катушки,
-потокосцепление самоиндукции второй катушки,
e21-ЭДС взаимной индукции, находящаяся в первой катушке под воздействием потока Ф21.
М21-взаимная индуктивность между второй и первой катушками.
Если обе катушки находятся в среде не обладающей никакими аномальными свойствами, то взаимные индуктивности М12и М21оказываются равными
величина и по ней трудно судить о степени взаимного влияния катушек друг на друга.
Для оценки степени связи катушек пользуются относительной величиной –коэффициентом связи К, который определяется как среднее геометрическое из отношения потокосцепления взаимной индукции к потокосцеплениям самоиндукции.
Коэффициент К может принимать значения в пределах от 0 до 1.
При К=0 между катушками не существует индуктивной связи, при К=1-поток одной катушки полностью охватывает витки второй катушки Ф12=Ф11, Ф21=Ф22.
Величина К зависит от:
–расстояния между катушками,
–взаимной ориентации катушек в пространстве,
–магнитных свойств среды, в которой расположены катушки.
5.2. Одноименные зажимы индуктивно связанных катушек.
Рассмотрим две катушки, расположенные на одном основании (рис 5.2)
Направление тока и вызванного им магнитного потока связаны по правилу правого винта. Следовательно ток i1будет вызывать поток Ф1,направленный влево. Токi2будет вызывать магнитный поток Ф2,также направленный влево.
Т.е. зажимы индуктивно связанных катушек, одинаковое направление токов относительно которых, вызывает одинаковое направление потоков –называются одноименными. На электрических схемах цепей одноименные зажимы катушек принято обозначать жирными точками или звездочками.
5.3. Последовательное соединение индуктивно связанных катушек при согласном включении.
Рассмотрим две индуктивно связанные катушки, соединенные последовательно (рис 5.3). Каждая из катушек обладает индуктивностью L1иL2и активным сопротивлением проводника из которого катушка изготовленаr1иr2. Индуктивная
связь на электрической схеме указана двусторонней стрелкой и взаимной индуктивностью М.
Одноименные зажимы катушек обозначены жирными точками и расположены так, что протекающий под воздействием напряжения U ток I вызывает в катушках одинаковое направление потоков. Поэтому включение называется согласным.
Запишем уравнение представленное на рис 5.3 цепи мгновенных значениях токов и напряжений.
Для комплексов действующих значений токов и напряжений последнее уравнение примет вид:
Перепишем это уравнение следующим образом:
Выражение в квадратных скобках называется сопротивлением двух последовательно соединенных индуктивно связанных катушек при согласном включении
Выражение в круглых скобках называется полной индуктивностью двух последовательно соединенных индуктивно связанных катушек при согласном включении
Очевидно Zсогл >Z, где Z-полное сопротивление двух последовательно соединенных катушек без индуктивной связи:
Увеличение сопротивления Zсоглпроисходит за счет увеличения полной индуктивностиLсогл
Построим векторную диаграмму двух последовательно соединенных индуктивно связанных катушек при согласном включении. Для этого задаемся вектором
тока 
. Напряжение на активном сопротивлении первой катушки
совпадает по фазе с током. Напряжение на индуктивности первой катушки
опережает ток на 90 0 . Откладываем этот вектор с конца вектора
под прямым углом к
току 
. Напряжение на первой катушке, вызванное индуктивной связью
также опережает ток на 90 0 . Откладываем этот вектор с конца вектора
. Напряжение на активном сопротивлении второй катушки
совпадает с током
. Напряжение на второй индуктивности
и напряжение на второй катушке обусловленное взаимной индуктивностью
опережает ток на 90 0 .
Откладываем вектора напряжения в таком же порядке : следующий вектор откладывается с конца предыдущего.
В результате получим векторную диаграмму изображенную на рис 5.4.
Соединяя начало вектора 
и конец последнего вектора
, получим напряжение
. Сумма первых трех векторов напряжения дает напряжение на первой катушке
. Напряжение на второй катушке
, получается как сумма последних трех векторов напряжения.
Коэффициент связи между индуктивными катушками.
Из качественного рассмотрения процессов в связанных индуктивных катушках следует, что чем сильнее связаны катушки, т.е. чем большая часть магнитного потока, создаваемого током каждой из них, пронизывает другую катушку,
Рис. 2.51. Условные графические изображения связанных индуктивностей тем выше взаимная индуктивность. Однако при этом неясно, как связана взаимная индуктивность с индуктивностями катушек и чем определяется максимально возможное значение М. Введем новую величину, количественно характеризующую степень связи между катушками, — коэффициент связи. Коэффициент связи представляет собой среднее геометрическое отношений потока взаимоиндукции к потоку самоиндукции для каждой из катушек, образующих пару связанных катушек:
Представляя магнитный поток самоиндукции каждой катушки в виде суммы потока рассеяния этой катушки и потока взаимоиндукции другой катушки (2.156), получаем
Из выражения (2.168) следует, что значения коэффициента связи лежат в пределах
причем kM = КМтлх = 1 только в том случае, когда потоки рассеяния обеих катушек равны нулю или, другими словами, когда магнитный поток, создаваемый током одной катушки, полностью пронизывает другую катушку. Коэффициент связи зависит от конструкции катушек, и на практике всегда
Коэффициент связи kM можно выразить через индуктивности связанных катушек и их взаимную индуктивность. Подставляя в выражение (2.167) выражения для потоков самоиндукции Фи, Ф22 и взаимоиндукции Ф12, Ф2ц полученные из соотношений (2.162), (2.163), находим
Из выражения (2.170) с учетом пределов (2.169) можно определить пределы, в которых изменяется взаимная индуктивность:
Таким образом, максимальное значение взаимной индуктивности катушек не может превышать среднего геометрического их индуктивностей.
Коэффициент связи
2. Определение параметров катушек и коэффициента связи между ними.
3.Расчет цепей синусоидального тока с последовательно-соединенными и индуктивно-связанными катушками
Литература: [1] с.142-155.
В электротехнике и электронике широко используются устройства, которые содержат индуктивные катушки, связанные общими магнитными потоками. Примером такого устройства является трансформатор, который служит для преобразования уровней переменных напряжений и токов и для согласования сопротивлений отдельных участков цепи.
Физическая картина заключалась в следующем: переменный ток , протекая по виткам катушки (рис. 8.1, а) создает переменный магнитный поток , который сцепляясь с витками катушки, обуславливает появление ЭДС самоиндукции eL, противодействующей по закону Ленца изменению потокосцепления , то есть
где — индуктивность, численно равная отношению потокосцепления самоиндукции к току, его обуславливающему.
Теперь рассмотрим явление взаимоиндукции, то есть явление наведения ЭДС в одной электрической цепи при изменении в ней потокосцепления, вызванного изменением тока в другой электрической цепи. Для этого проанализируем картину магнитного поля индуктивно-связанных катушек (рис. 8.1,б).
Рис.8.1 — К определению индуктивно связанных цепей
Связь магнитных потоков катушек обусловливает их индуктивную связь. Взаимно индуктивная связь проявляется в наведении ЭДС (называемой ЭДС взаимоиндукции) в одной катушке при изменении тока в другой близко расположенной катушке.
Цепи, в которых наводятся ЭДС взаимоиндукции, называют индуктивно связанными цепями.
Рассмотрим цепь, состоящую из двух индуктивных катушек, намотан-ных на общий сердечник (рисунок 8.2). На схеме обозначено: L 1, R 1 и L 2, R 2 – индуктивности и активные сопротивления первой и второй катушек; М – взаимная индуктивность.
Рисунок 8.2 ‑ Схема замещения двух, индуктивно связанных,
Взаимная индуктивность M зависит от индуктивностей обоих контуров и их взаимного расположения, поэтому при некоторой ориентации даже близко расположенных контуров взаимная индуктивность может быть равной нулю. Единица измерения взаимной индуктивности и индуктивности одинакова − генри.
Каждая из катушек пронизывается двумя магнитными потоками: потоком самоиндукции, вызванным собственным током, и потоком взаимоиндукции, вызванным током другой катушки.
В соответствии с принципом наложения потокосцепление первой катушки
Потокосцепление второй катушки
Значения взаимной индуктивности М в выражениях (8.1) и (8.2) одинаковы и не могут превышать среднего геометрического из значений и: L1 и L2:
где k – коэффициент связи, характеризующий магнитную связь между катушками. Его величина равна отношению взаимной индуктивности и среднего геометрического значения индуктивностей обеих катушек:
где XL 1 и XL 2 – индуктивные сопротивления катушек.
В пределе, когда магнитный поток одной катушки полностью пронизывает витки другой, k =1. При отсутствии магнитной связи k =0.
Знаки слагаемых в (8.1) и (8.2) зависят от взаимного направления магнитных потоков катушек. В свою очередь, направления магнитных потоков зависят как от направления токов в катушках, так и от их взаимного расположения.
Если катушки включены таким образом, что потоки складываются, то такое включение называют согласным. Если магнитные потоки направлены навстречу друг другу, то катушки включены встречно.
При согласном направлении токов в двух индуктивно связанных ка-тушках зажимы этих катушек, относительно которых токи направлены одинаково, называют одноименными. Одноименные зажимы принято обозначать точками или звездочками.
Физически направления магнитных потоков в катушках определяется правилом правоходового винта. Например, потоки Фм1 и Фм2 на рис. 8.3,а направлены противоположно при заданных направлениях токов i 1 и i 2, т.е. катушки включены встречно. Однако, если бы эти токи были ориентированы одинаково относительно зажимов соответственно 1 и 4, то потоки были бы направлены одинаково. Следовательно, эти зажимы можно считать одноименными.
Рисунок 8.3 — Встречное включение катушек
На рис. 8.3,б изображена эл. схема, соответствующая рисунку 8.3,а, где
наличие индуктивной связи между катушками показано дугой с стрелками, над которой стоит символ "М", а одноименные зажимы помечены символами (*).
Определим напряжения на зажимах индуктивно связанных катушек на основе второго закона Кирхгофа:
Основной формой расчета цепей синусоидального тока является метод комплексных амплитуд. Рассмотрим применение этого метода для расчета индуктивно связанных цепей. Пусть цепь на рисунке 8.1 находится в режиме гармонических колебаний. Запишем уравнения (8.3), (8.4) в комплексной форме:
где — комплекс сопротивления взаимоиндукции; знак плюс (+ М) ставят при согласном включении катушек; знак минус (- М) — при их встречном включении.
Что такое коэффициент связи катушек
Электрические цепи могут содержать элементы, индуктивно связанные друг с другом. Такие элементы могут связывать цепи, электрически (гальванически) разделенные друг от друга.
В том случае, когда изменение тока в одном из элементов цепи приводит к появлению ЭДС в другом элементе цепи, говорят, что эти два элемента индуктивно связаны, а возникающую ЭДС называют ЭДС взаимной индукции. Степень индуктивной связи элементов характеризуется коэффициентом связи
где М – взаимная индуктивность элементов цепи (размерность – Гн); и -собственные индуктивности этих элементов.
Слеует отметить, что всегда к<1.
Пусть имеем две соосные катушки в общем случае с ферромагнитным сердечником (см. рис. 1). На рис. 1 схематично показана картина магнитного поля при наличии тока i1 в первой катушке (направление силовых линий магнитного потока определяется по правилу правого буравчика). Витки первой катушки сцеплены с магнитным потоком самоиндукции Ф11 , а витки второй катушки – с магнитным потоком взаимной индукции Ф21, который отличается от Ф11 (Ф21< Ф11) за счет потоков рассеяния.
| ; | (2) |
| . | (3) |
Если теперь наоборот пропустить ток i2 по второй катушке, то соответственно получим
| ; | (4) |
| . | (5) |
Следует отметить, что коэффициент связи мог бы быть равным 1, если бы и , то есть когда весь поток, создаваемый одной катушкой, полностью пронизывал бы витки другой катушки. Практически даже различные витки одной и той же катушки пронизываются разными потоками. Поэтому с учетом рассеяния и . В этой связи
Рассмотрим цепь переменного тока на рис. 2, в которую последовательно включены две катушки индуктивности и , индуктивно связанные друг с другом, и резистор R.
При изменении тока i в цепи в катушках индуцируются ЭДС само- и взаимоиндукции. При этом ЭДС взаимной индукции должна по закону Ленца иметь такое направление, чтобы препятствовать изменению потока взаимной индукции.
Тогда, если в цепи протекает гармонически изменяющийся ток , то в первой катушке индуцируется ЭДС
Катушки можно включить так, что ЭДС самоиндукции будет суммироваться с ЭДС взаимоиндукции; при переключении одной из катушек ЭДС взаимоиндукции будет вычитаться из ЭДС самоиндукции. Один из зажимов каждой катушки на схеме помечают, например точкой или звездочкой. Этот знак означает, что при увеличении, например, тока в первой катушке, протекающего от точки, во второй катушке индуцируется ЭДС взаимоиндукции, действующая от другого конца к точке. Различают согласное и встречное включения катушек. При согласном включении токи в катушках одинаково ориентированы по отношению к их одноименным зажимам. При этом ЭДС само- и взаимоиндукции складываются – случай, показанный на рис. 2. При встречном включении катушек токи ориентированы относительно одноименных зажимов различно. В этом случае ЭДС само- и взаимоиндукции вычитаются. Таким образом, тип включения катушек (согласное или встречное) определяются совместно способом намотки катушек и направлении токов в них.
Перейдя к комплексной форме записи (7) и (8), получим
| ; | (9) |
| , | (10) |
где — сопротивление взаимоиндукции (Ом).
Для определения тока в цепи на рис. 2 запишем
Воздушный (линейный) трансформатор
Одним из важнейших элементов электрических цепей является трансформатор, служащий для преобразования величин токов и напряжений. В простейшем случае трансформатор состоит из двух гальванически несвязанных и неподвижных катушек без ферромагнитного сердечника. Такой трансформатор называется воздушным. Он является линейным. Наличие ферромагнитного сердечника обусловило бы нелинейные свойства трансформатора.
На рис. 3 представлена схема замещения трансформатора, первичная обмотка которого включена на напряжение U1, а от вторичной обмотки получает питание приемник с сопротивлением .
В трансформаторе энергия из первичной цепи передается во вторичную посредством магнитного поля. Если в первичной цепи под действием напряжения источника возникает переменный ток, то во вторичной цепи за счет магнитной связи катушек индуцируется ЭДС, вызывающая протекание тока в нагрузке.
По второму закону Кирхгофа для первичной и вторичной цепей трансформатора можно записать
Таким образом, уравнения воздушного трансформатора имеют вид:
| ; | (11) |
| ,. | (12) |
где и — активные сопротивления обмоток; .
Если уравнения (11) и (12) решить относительно , предварительно подставив в (12) и обозначив ; , то получим
где ; — вносимые активное и реактивное сопротивления.
Таким образом, согласно (13) воздушный трансформатор со стороны первичной обмотки может рассматриваться как двухполюсник с сопротивлением .
Баланс мощностей в цепях с индуктивно связанными элементами
Пусть имеем схему по рис. 4, где А – некоторый активный четырехполюсник. Для данной цепи можно записать
Обозначим токи и как: ; .
Тогда для комплексов полных мощностей первой и второй ветвей соответственно можно записать:
Рассмотрим в этих уравнениях члены со взаимной индуктивностью:
| (14) |
| . | (15) |
Из (14) и (15) вытекает, что
| ; | (16) |
| . | (17) |
Соотношение (16) показывает, что активная мощность передается от первой катушки ко второй. При этом суммарная реактивная мощность, обусловленная взаимной индукцией, равна нулю, т.к. . Это означает, что на общий баланс активной мощности цепи индуктивно связанные элементы не влияют.
Суммарная реактивная мощность, обусловленная взаимоиндукцией, равна
Таким образом, общее уравнение баланса мощностей с учетом индуктивно связанных элементов имеет вид
где знак “+” ставится при согласном включении катушек, а “-” – при встречном.
Расчет разветвленных цепей при наличии взаимной индуктивности может быть осуществлен путем составления уравнений по законам Кирхгофа или методом контурных токов. Непосредственное применение метода узловых потенциалов для расчета таких цепей неприемлемо, поскольку в этом случае ток в ветви зависит также от токов других ветвей, которые наводят ЭДС взаимной индукции.
В качестве примера расчета цепей с индуктивно связанными элементами составим контурные уравнения для цепи на рис. 5:
Чтобы обойти указанное выше ограничение в отношении применения метода узловых потенциалов для расчета рассматриваемых схем можно использовать эквивалентные преобразования, которые иллюстрируют схемы на рис. 6, где цепь на рис. 6,б эквивалентна цепи на рис. 6,а. При этом верхние знаки ставятся при согласном включении катушек, а нижние – при встречном.
- Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А. Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-еизд.,перераб.–М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
- Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
Контрольные вопросы и задачи
- Какие элементы называются индуктивно связанными?
- Что такое коэффициент связи, и в каких пределах он изменяется?
- Что такое воздушный трансформатор? Почему он называется линейным?
- Запишите уравнения воздушного трансформатора, нарисуйте его схему замещения.
- Как влияют индуктивно связанные элементы на баланс мощностей?
- Какие методы расчета можно использовать для анализа цепей с индуктивно связанными элементами?
- Записать уравнения для расчета цепи на рис. 5, используя законы Кирхгофа.
- Записать контурные уравнения для цепи на рис. 5, используя эквивалентную замену индуктивных связей.
- С использованием эквивалентной замены индуктивных связей записать узловые уравнения для цепи на рис. 5.
- Рассчитать входное сопротивление на рис. 3, если ; ; ; ; ; .