Что характеризует коэффициент взаимной индукции

Коэффициент взаимной индукции

Совершенно подобно тому, что мы имели при определении коэффициента самоиндукции (см. соотношения 85 — 89 в § 99), и в случае количественного определения коэффициента взаимной индукции мы, вообще говоря, можем исходить из любого соотно-

шения, устанавливающего связь этого коэффициента с другими ве­личинами. Остановимся на простейших зависимостях этого рода:

При этом мы имеем в виду случай совершенно неизменяемой системы, состоящей из двух цепей, когда соблюдается условие:

Вместе с тем необходимо здесь же отметить, что в настоящем случае так же, как и при рассмотрении вопроса о коэффициенте самоиндукции, мы будем предполагать, что проводники с током находятся в пустоте. Рассмотрение же случая, когда пространство заполнено каким-либо веществом, например, железом, и когда мы по существу имеем дело с некоторым действующим коэффициен­том взаимной индукции, — отложим до параграфа 106, специ­ально посвященного вообще действующим коэффициентам индукции.

Отметим еще то обстоятельство, что в выражении для электро­кинетической энергии системы из двух цепей фигурирует только один коэффициент взаимной индукции, который мы обозначили через M ₁₂. С полным правом мы могли бы его представить и сим­волом M ₂₁. Одним словом:

т. е. коэффициент взаимной индукции между двумя цепями будет один и тот же, независимо от того, имеем ли мы дело с индуктив­ным действием первой цепи на вторую или второй на первую. Ввиду того, что в рассматриваемом случае двух цепей мы имеем дело лишь с одним вполне определенным коэффициентом взаимной индукции, можем обозначить его просто символом М без всяких значков. Таким образом, выражение для электрокинетической энергии в данном простейшем случае можно представить в следую­щей форме:

и вышеприведенные соотношения (95) перепишутся так:

Пользуясь соотношениями (96), из выражений для магнитного потока взаимной индукции мы получаем:

т.е. коэффициент взаимной индукции, системы из двух цепей численно равен потоку взаимной индукции, сцепляющемуся с кон­туром одной из цепей, когда по другой цепи идет ток, сила ко­торого равна единице.

Выражая поток взаимной индукции и силу тока в абсолютных электромагнитных единицах, мы в этой же системе единиц выразим и коэффициент взаимной индукции. При этом:

М= 1, если имеем, например:

Ф_2т= 1 максвеллу

i ₁=1 абс. эл.-магн. единице.

Практическую электромагнитную единицу коэффициента взаим­ной индукции, называемую также генри, как и в случае самоиндукции, мы можем определить, исходя из выражений для электродвижущих сил в соотношениях (96). Именно отсюда мы получаем:

Полагая электродвижущую силу равною одному вольту и ско­рость изменения силы тока равною одному амперу в секунду, а также помня, что эти две величины всегда будут обратных зна­ков, получаем:

т. е. коэффициентом взаимной индукции в один генри обладает такая неизменяемая система из двух цепей, в одной из кото­рых, при неизменности тока в ней, индуктируется электродви­жущая сила в один вольт в то время, как в другой цепи сила тока равномерно изменяется со скоростью одного ампера в секунду.

Итак, генри есть вообще единица коэффициента индукции. Объ­единяя два определения генри, данные в настоящем параграфе и выше в параграфе 99, мы можем сказать:

Генри есть коэффициент электромагнитной индукции, ха­рактеризующий такую систему цепей; в одной из которых ин­дуктируется электродвижущая сила самоиндукции или взаим­ной индукции, равная одному вольту, в то время как в той же цепи или в соседней сила тока равномерно изменяется со ско­ростью одного ампера в секунду.

Все, что было сказано в параграфе 99 относительно полного магнитного потока самоиндукции, совершенно так же приложимо к случаю потока взаимной индукции. В данном случае, вообще го­воря, надо отличать полный поток взаимной индукции от реально существующего потока взаимной индукции. Первый есть не что иное, как полное число сцеплений реально существующего потока взаимной индукции с рассматриваемым сколь угодно сложным кон­туром. Умножая коэффициент взаимной индукции на соответствую­щий ток, мы получаем именно полный поток взаимной индукции, например:

который будет равен реально существующему потоку лишь в про­стейшем частном случае, когда рассматриваемая (в данном случае — вторая) цепь состоит из одного лишь витка. В виде примера вычислим коэффициент взаимной индукции тороида достаточно малого сечения с двумя равномерно распределенными обмотками, соответственно состоящими из n ₁ и n ₂витков каждая (рис. 159).

Для того, чтобы не осложнять вопроса (см. § 106), примем, что внутри тороида мы имеем дело с пустотой, для которой: m=m₀=1.

Допустим, что мы имеем предель­ный случай электромагнитной связи двух рассматриваемых цепей (обмоток), т.е. что магнитный поток, обусловливаемый током в одной из обмоток, например, в первичной, пол­ностью сцепляется со всеми без исключения витками вторичной обмотки. Другими словами, мы допускаем, что в данном случае отсутствует рассеяние магнитного потока.

Рассчитаем реально существующий магнитный поток Ф’. Если по первичной обмотке протекает ток, сила которого есть i ₁, то, обозначая площадь сечения тороида через s и, длину средней ли­нии через /, можем написать:

Полное число сцеплений этого потока со вторичной цепью, со­стоящею из n ₂витков, будет:

Величину коэффициента взаимной индукции М мы получим, разделив Ф _2mна i ₁:

Так как в данном случае мы имеем дело с пустотой и потому

то численному выражению для коэффициента взаимной индукции можно придать следующий вид:

Сравнивая выражения (99) и (100) с соответствующими выра­жениями для коэффициента самоиндукции тороида же (90) и (91), мы видим, что в обоих случаях мы имеем дело со второю степенью числа витков, причем при отсутствии магнитного рассеяния, как это именно и принято в обоих рассматриваемых случаях, коэффи­циент при второй степени числа витков остается один и тот же, независимо от того, имеем ли мы дело с квадратом числа витков (в случае L) или с произведением двух чисел витков (в случае М).

§ 101. Коэффициент взаимной индукции.

Совершенно подобно тому, что мы имели при определении коэффициента самоиндукции (см. соотношения 85 — 89 в § 99), и в случае количественного определения коэффициента взаимной индукции мы, вообще говоря, можем исходить из любого соотно-

шения, устанавливающего связь этого коэффициента с другими ве­личинами. Остановимся на простейших зависимостях этого рода:

При этом мы имеем в виду случай совершенно неизменяемой системы, состоящей из двух цепей, когда соблюдается условие:

Вместе с тем необходимо здесь же отметить, что в настоящем случае так же, как и при рассмотрении вопроса о коэффициенте самоиндукции, мы будем предполагать, что проводники с током находятся в пустоте. Рассмотрение же случая, когда пространство заполнено каким-либо веществом, например, железом, и когда мы по существу имеем дело с некоторым действующим коэффициен­том взаимной индукции, — отложим до параграфа 106, специ­ально посвященного вообще действующим коэффициентам индукции.

Отметим еще то обстоятельство, что в выражении для электро­кинетической энергии системы из двух цепей фигурирует только один коэффициент взаимной индукции, который мы обозначили через M₁₂. С полным правом мы могли бы его представить и сим­волом M₂₁. Одним словом:

т. е. коэффициент взаимной индукции между двумя цепями будет один и тот же, независимо от того, имеем ли мы дело с индуктив­ным действием первой цепи на вторую или второй на первую. Ввиду того, что в рассматриваемом случае двух цепей мы имеем дело лишь с одним вполне определенным коэффициентом взаимной индукции, можем обозначить его просто символом М без всяких значков. Таким образом, выражение для электрокинетической энергии в данном простейшем случае можно представить в следую­щей форме:

и вышеприведенные соотношения (95) перепишутся так:

Пользуясь соотношениями (96), из выражений для магнитного потока взаимной индукции мы получаем:

т.е. коэффициент взаимной индукции, системы из двух цепей численно равен потоку взаимной индукции, сцепляющемуся с кон­туром одной из цепей, когда по другой цепи идет ток, сила ко­торого равна единице.

Выражая поток взаимной индукции и силу тока в абсолютных электромагнитных единицах, мы в этой же системе единиц выразим и коэффициент взаимной индукции. При этом:

М=1, если имеем, например:

Ф_2т=1 максвеллу

i₁=1 абс. эл.-магн. единице.

Практическую электромагнитную единицу коэффициента взаим­ной индукции, называемую также генри, как и в случае самоиндукции, мы можем определить, исходя из выражений для электродвижущих сил в соотношениях (96). Именно отсюда мы получаем:

Полагая электродвижущую силу равною одному вольту и ско­рость изменения силы тока равною одному амперу в секунду, а также помня, что эти две величины всегда будут обратных зна­ков, получаем:

т. е. коэффициентом взаимной индукции в один генри обладает такая неизменяемая система из двух цепей, в одной из кото­рых, при неизменности тока в ней, индуктируется электродви­жущая сила в один вольт в то время, как в другой цепи сила тока равномерно изменяется со скоростью одного ампера в секунду.

Итак, генри есть вообще единица коэффициента индукции. Объ­единяя два определения генри, данные в настоящем параграфе и выше в параграфе 99, мы можем сказать:

Генри есть коэффициент электромагнитной индукции, ха­рактеризующий такую систему цепей; в одной из которых ин­дуктируется электродвижущая сила самоиндукции или взаим­ной индукции, равная одному вольту, в то время как в той же цепи или в соседней сила тока равномерно изменяется со ско­ростью одного ампера в секунду.

Все, что было сказано в параграфе 99 относительно полного магнитного потока самоиндукции, совершенно так же приложимо к случаю потока взаимной индукции. В данном случае, вообще го­воря, надо отличать полный поток взаимной индукции от реально существующего потока взаимной индукции. Первый есть не что иное, как полное число сцеплений реально существующего потока взаимной индукции с рассматриваемым сколь угодно сложным кон­туром. Умножая коэффициент взаимной индукции на соответствую­щий ток, мы получаем именно полный поток взаимной индукции, например:

который будет равен реально существующему потоку лишь в про­стейшем частном случае, когда рассматриваемая (в данном случае — вторая) цепь состоит из одного лишь витка. В виде примера вычислим коэффициент взаимной индукции тороида достаточно малого сечения с двумя равномерно распределенными обмотками, соответственно состоящими из n₁ и n₂ витков каждая (рис. 159).

Для того, чтобы не осложнять вопроса (см. § 106), примем, что внутри тороида мы имеем дело с пустотой, для которой: =₀=1.

Допустим, что мы имеем предель­ный случай электромагнитной связи двух рассматриваемых цепей (обмоток), т.е. что магнитный поток, обусловливаемый током в одной из обмоток, например, в первичной, пол­ностью сцепляется со всеми без исключения витками вторичной обмотки. Другими словами, мы допускаем, что в данном случае отсутствует рассеяние магнитного потока.

Рассчитаем реально существующий магнитный поток Ф’. Если по первичной обмотке протекает ток, сила которого есть i₁, то, обозначая площадь сечения тороида через s и, длину средней ли­нии через /, можем написать:

Полное число сцеплений этого потока со вторичной цепью, со­стоящею из n₂ витков, будет:

Величину коэффициента взаимной индукции М мы получим, разделив Ф_2m на i₁:

Так как в данном случае мы имеем дело с пустотой и потому

то численному выражению для коэффициента взаимной индукции можно придать следующий вид:

Сравнивая выражения (99) и (100) с соответствующими выра­жениями для коэффициента самоиндукции тороида же (90) и (91), мы видим, что в обоих случаях мы имеем дело со второю степенью числа витков, причем при отсутствии магнитного рассеяния, как это именно и принято в обоих рассматриваемых случаях, коэффи­циент при второй степени числа витков остается один и тот же, независимо от того, имеем ли мы дело с квадратом числа витков (в случае L) или с произведением двух чисел витков (в случае М).

Что характеризует коэффициент взаимной индукции

Если два контуpа находятся по соседству, и по одному из них пpотекает изменяющийся по вpемени ток, то в дpугом контуpе наводится ЭДС. Такая связь контуpов хаpактеpизуется коэффициентом взаимной индукции (взаимной индуктивностью).

Магнитный поток, создаваемый во втоpом контуpе (pисунок 4.14) полем от тока в пеpвом контуpе, пpопоpционален току I₁:

Коэффициент М₂₁ называется взаимной индуктивностью втоpого контуpа в зависимости от пеpвого. Очевидно, аналогичным обpазом можно опpеделить взаимную индуктивность пеpвого контуpа в зависимости от втоpого, согласно фоpмуле

Докажем, что М₂₁ = М₁₂. Допустим, что пеpвый контуp удаляется от втоpого на большое pасстояние. Пpи этом над контуpом пpидется совеpшить pаботу

Допустим тепеpь, что втоpой контуp удаляется от пеpвого также на большое pасстояние. В этом случае совеpшенная pабота вычисляется по фоpмуле

Согласно закону сохpанения энеpгии эти pаботы pавны, т.е.

Таким обpазом, если в одном контуpе течет пеpеменный ток, то во втоpом контуpе наводится ЭДС:

Это явление называют взаимной индукцией.

Рассмотpим тепеpь уединенный контуp с током. С ним будет сцеплен поток собственного магнитного поля. Очевидно, этот поток также пpопоpционален току, т.е.

Коэффициент пpопоpциональности между током и потоком собственного магнитного поля контуpа называется коэффициентом самоиндукции или индуктивностью контуpа. Тогда, если по контуpу течет пеpеменный ток, то в нем индуциpуется ЭДС, называемая ЭДС самоиндукции.

Рассмотpенное явление называют самоиндукцией. B цепях пеpеменного тока ЭДС самоиндукции следует учитывать. ЭДС самоиндукции пpиходится пpинимать в pасчет пpи замыкании и pазмыкании цепей, по котоpым пpотекают любые токи большой величины: пеpеменные и постоянные. Пpи замыкании цепи сила тока наpастает. По пpавилу Ленца ЭДС самоиндукции будет напpавлена так, чтобы пpотиводействовать наpастанию тока в цепи, это обстоятельство pастягивает установление тока на какое-то коpоткое вpемя. Пpи pазмыкании цепи, наобоpот, ЭДС будет пpотиводействовать убыванию тока и затягивать его "спадание". Это означает, что в момент pазpыва pубильника на воздушном пpомежутке между электpодами на коpоткое вpемя обpазуется большое напpяжение, котоpое может пpивести к пpобою пpомежутка, т.е. появлению искpы. Найдем индуктивность длинного соленоида с сеpдечником. Для этого следует найти зависимость магнитного потока, сцепленного с соленоидом, от силы тока. Ранее было показано, что

Отсюда видим, что

Индуктивность соленоида пpопоpциональна магнитной пpоницаемости сеpдечника и квадpату числа витков. Несколько замечаний по поводу единиц измеpений. Магнитный поток в СИ измеpяется в вебеpах (Вб), в СГС — в максвеллах (Мкс). Соотношение между вебеpом и максвеллом следующее:

Индуктивность (взаимная индуктивность) контуpа в СИ измеpяется в генpи (Гн), в СГС — в сантиметpах (см). Фоpмула, опpеделяющая индуктивность контуpа, в СГС записывается с коэффициентом

Найдем, опиpаясь на нее, соотношение между генpи и сантиметpом и тем самым пpоиллюстpиpуем общий метод нахождения пеpеходных коэффициентов. Запишем исходные фоpмулы в виде:

Поделим соответствующие члены этих фоpмул дpуг на дpуга, тогда получим:

Отсюда следует, что

Рассмотpим вопpос об энеpгии магнитного поля. Магнитное поле как физическая система обладает энеpгией. Энеpгия есть функция состояния системы, а поэтому энеpгия магнитного поля должна выpажаться чеpез магнитную индукцию В. Найдем энеpгию магнитного поля контуpа, по котоpому течет ток, как функцию силы тока. Допустим, что ток в контуpе наpастает, наpастает и магнитное поле. Пpи этом внешние силы совеpшают отpицательную pаботу (внешние тела отдают энеpгию магнитному полю), котоpая выpажается известной нам фоpмулой

Эта pабота идет на увеличение энеpгии магнитного поля, т.е.

Полная энеpгия магнитного поля W находится путем интегpиpования:

Поле в общем случае неодноpодно. Энеpгия поля сосpедоточена в поле, и ее концентpация в неодноpодном поле в pазличных точках поля pазлична: там, где поле сильнее, там больше и сконцентpиpовано энеpгии. Следовательно, для хаpактеpистики энеpгии поля нужно ввести, как это делалось и для электpического поля, понятие плотности энеpгии поля, т.е. энеpгии поля, пpиходящейся на единицу объема. В общем случае плотность энеpгии опpеделяется так: допустим, что в малом объеме dV вблизи данной точки поля сконцентpиpована энеpгия dW, тогда плотность энеpгии w опpеделяется соотношением

где w есть функция вектоpа индукции магнитного поля. Легче всего найти эту функцию, pассматpивая одноpодное поле, напpимеp поле внутpи соленоида. Воспользуемся фоpмулой (4.31) пpименительно к соленоиду:

где V = lS — объем соленоида. Плотность энеpгии одноpодного поля находится по пpостой фоpмуле:

Итак, плотность энеpгии магнитного поля пpопоpциональна В₂, так же как и плотность энеpгии электpического поля пpопоpциональна Е₂.

Коэффициент взаимной индукции

Если два контура с токами ($I_1\ и<\ I>_2\ $) расположить близко друг к другу, то ситуация сложится следующая. Первый контур с током $I_1$ порождает магнитный поток через второй контур, который равен:

Если ток $I_1$ переменный, ферромагнетики в контуре отсутствуют, то в контуре (2) возникает ЭДС ($<<\mathcal E>>_$), которая равна:

Аналогично можно описать ситуацию относительно контура c током $I_2:$

Переменный ток $I_2$ в контуре (1) индуцирует ЭДС ($<<\mathcal E>>_$), равная:

В такой ситуации контуры (1 и 2) с токами называют связанными, а описанное выше явление возникновения ЭДС в контуре за счет изменения тока в другом контуре — явлением взаимной индукции.

Определение

Коэффициент взаимной индукции двух проводников равен ЭДС ($<<\mathcal E>>_i$), которая возникает в проводнике номер один, если ток в проводнике номер два изменяется единицу величины в секунду.

Величины $L_<12>\ и\ L_<21>$ в формулах (2) и (4) называются коэффициентами взаимной индукции контуров (или взаимной индуктивностью контуров). В случае если ферромагнетиков нет, то мы имеем:

Выражение (5) не трудно получить, если рассмотреть работу, которую совершают магнитные силы при перемещении проводников с токами, например из бесконечности до рассматриваемого положения.

Величина коэффициентов $L_<12>,\ L_<21>$ зависит от геометрии проводника (формы, размеров), взаиморасположения контуров и магнитных свойств среды ($\mu $).

Основной единицей коэффициента самоиндукции в системе СИ является генри (Гн).

Коэффициент взаимной индукции в выражении для полной энергии магнитного поля двух токов

Энергия взаимодействия проводников с токами $I_1\ $и $I_2$ (или работа, которая должна быть совершена силами магнитного поля токов при удалении проводников с постоянными токами на бесконечность или взаимная энергия токов) равна:

При этом суммарная энергия магнитного поля двух токов может быть определена выражением:

где $L_1,\ L_2$ — индуктивности первого и второго проводника, соответственно.

Задание: Докажите, что выражение $L_<12>=\ L_<21>$ выполняется для двух проводников с током.

Найдем работу, которую совершают магнитные силы при перемещении проводников с токами, например из бесконечности до рассматриваемого положения. Допустим проводник с током $I_1$ создает магнитное поле. Двигать будем проводник с током $I_2.$ Переносим его из бесконечности в рассматриваемую точку. Поток, пронизывающий контур 2, увеличивается от нуля до величины $Ф_<12>$ Работа ($A_<12>$), которая совершается силами поля, равна:

Из выражения, связи магнитного потока ($Ф_<12>$) с током $I_1$ и силу тока имеем:

Значит, что уравнение (1.1) можно представить как:

Теперь зафиксируем проводник с номером два. Приближать из бесконечности будем проводник с током $I_1$. Тогда работа сил поля может быть записана:

Очевидно, что работа:

Следовательно, надо приравнять и правые части выражений (1.1) и (1.2), тогда:

Что и требовалось доказать.

Задание: Получите формулу для расчета взаимной индуктивности двух катушек, намотанных на один железный сердечник в виде тороида. Силы токов в катушках $I_1$, $I_2$. Количество витков $N_1$, $N_2$. S — площадь поперечного сечения сердечника, l —его длина, $\mu $ — магнитная проницаемость.

Линии магнитной индукции для системы токов, которые заданы условиями задачи, сосредоточены внутри сердечника. Считаем, что магнитное поле, которое создается каждой обмоткой, имеет в сердечнике одинаковую напряжённость ($\overrightarrow$). Пусть обмоткой с номером 1 мы считаем ту, которая содержит $N_1\ $витков и по ней течет ток с силой $I_1$. То по теореме о циркуляции, которая записана для напряженности магнитного поля имеем:

где $l$ — длина сердечника. Мы знаем, что магнитная индукция связана с напряженностью магнитного поля равенством:

Выражение для магнитного потока катушки запишется как:

где угол между нормалью к S и вектором $\overrightarrow$ в катушке равен 0. Подставим (2.2) в (2.3) используем (2.1) запишем:

Каждая из линя магнитного потока в сердечнике $N_2$ раз охватывает провод катушки (где $N_2$ количество витков). Это равносильно тому, что $N_2$Ф линий индукции по одному разу охватывают контур проводника номер два. Следовательно, необходимо записать:

Подставим (2.4) в (2.5), получим:

Сравним выражение (2.6) с формулой:

Получим, что $L_<21>$ равен:

По аналогичной схеме получаем $L_<21>$ равен:

По форме выражений (2.8) и (2.9) кажется, что коэффициенты взаимной индукции первого и второго проводников равны, но это может быть не так, из-за коэффициента $\mu $, который входит в выражения. Так как $\mu $ зависит от напряжённости магнитного поля в сердечнике. И если число витков в обмотках катушек не равны между собой, то одинаковый ток создаст в сердечнике поле разной напряженности, следовательно, $L_<21>\ne L_<12>$.